INGENIERÍA ECONÓMICA
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INGENIERÍA ECONÓMICA. MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO. Relación prestamista - prestatario. Formas de pago de un préstamo. Pago único. Serie uniforme. Amortización constante. MODULO II FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO. Serie gradiente. Serie gradiente porcentual.

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INGENIERÍA ECONÓMICA


MODULO II

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

  • Relación prestamista - prestatario.

  • Formas de pago de un préstamo.

  • Pago único.

  • Serie uniforme.

  • Amortización constante.


MODULO II

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

  • Serie gradiente.

  • Serie gradiente porcentual.

  • Equivalencias para formas de pago.


RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO

  • Prestamista: persona natural o jurídica que concede dinero en préstamo.

  • Prestatario: persona que recibe dinero en préstamo.

  • Elementos de un préstamo:

  • Magnitud o monto.

  • Valor de la tasa de interés.

  • Plazo.


RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO

  • Forma de pago.

  • Garantía o fiador.

  • Requisitos de capacidad de pago.

  • Periodo de gracia: tiempo durante el cual se pueden pagar únicamente los intereses o también puede ser el tiempo durante el cual los intereses se capitalizan, pero no hay desembolso alguno por el prestatario.


RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO

  • Amortización del préstamo original: toda cuota o pago de un préstamo la podemos descomponer en dos partes: una correspondiente a la disminución o abono que hagamos al préstamo original, la otra será el componente de interés. La amortización nunca será negativa y cuando no hay amortización se entenderá que toda la cuota corresponde a intereses.


P

1 2 3 4 n

0

A

A

A

A

A

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

  • SERIE UNIFORME:

  • Se hace un préstamo a una tasa de interés por periodo y se paga en cuotas exactamente iguales.


P

1

2

3

n

0

An

A3

A2

A1

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

  • SERIE DE PAGOS DE

  • AMORTIZACIÓN

  • CONSTANTE:

  • El préstamo se paga en cuotas periódicas de las cuales el contenido de amortización del principal siempre es igual.


P

1

2

3

n

0

A1

A2

A3

An

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

  • SERIE GRADIENTE:

  • El préstamo de paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un monto uniforme cada periodo (sucesión aritmética).


P

1

2

n

0

A1

A2

An

FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO

  • SERIE GRADIENTE

  • PORCENTUAL:

  • El préstamo se paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un porcentaje cada periodo (sucesión geométrica).


P

1 2 n

0

F

PAGO ÚNICO

F = P(1+i)n


PAGO ÚNICO

Demostración de la formula de valor futuro, donde:

P: préstamo

i: tasa de interés

n: plazo

F: pago único

SK: saldo o deuda al final de cualquier

período K

Total intereses: I = Total pagado-Total prestado

I = F-P (1)


PAGO ÚNICO


PAGO ÚNICO

EJEMPLO:

Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual.

¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?

Valor futuro: F = P(1+i)n(3)

Para tablas: F = P(F/P,i,n)(3´)

Valor futuro 31/12/2003:1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86

Saldo:Sk = P(1+i)k (2)

Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01


P

1 2 3 4 n

i (1+i)n(1+i)n -1

0

A = P *

A

A

A

A

A

SERIE UNIFORME


SERIE UNIFORME

Demostración de las fórmulas para serie uniforme, donde:

A: cuota uniforme.

ak:abono o parte de la cuota que amortiza la

deuda.

Ik: parte de la cuota que cubre intereses.

Pk: valor presente equivalente a la cuota del

periodo k.


SERIE UNIFORME

P será equivalente a los pagos efectuados considerando la tasa i, ello implica que P será igual a la suma de los valores presentes de las cuotas.

Pk =A * (1+i)-k según formula (3)

P =  Pkpor principio N°2

P =  A * (1+i)-k

P = A *  (1+i)-k

P=A*{(1+i)-1+(1+i)-2+ ... +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n} (1*)

P(1+i)=A{(1+i)0+(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n+2+(1+i)-n+1} (2*)


i (1+i)n(4)(1+i)n -1

A = P *

SERIE UNIFORME

Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja A.

El factor de P en la formula (4) para uso de tablas se identificará así: (A/P,i,n)

Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n)(4’)


(1+i)n - 1

i (1+i)n

P = A *

SERIE UNIFORME

Despejando P de (4) tendremos:

(4’’)

Para las tablas:

P = A * (P/A,i,n) (4’’’)


P

SK

(n-k)PENDIENTES

1

2

3

4

k

k+1

n

0

........ ...

A

A

A

A

A

A

A

A

K PAGADAS

SERIE UNIFORME

Saldo o deuda:


(5)

(1+i)n-k -1

i (1+i)n-k

Sk = A

SERIE UNIFORME

Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk será el valor presente de las (n-k) restantes.

Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)


SERIE UNIFORME

En la cuota A ¿qué parte es abono al capital y que parte corresponde a intereses?

ak = Sk-1 - Sk(6)

Ik = i  S(k-1) (7)

Ik= A- ak


Sk

P

k

0 1 2 3 4 . . . n

Comportamiento del saldo (Sk) para la forma de pago serie uniforme

En una serie uniforme el comportamiento del saldo es decreciente siendo cero en el periodo n.


P

1 2 3 24

0

A

A

A

A

A

SERIE UNIFORME

Ejemplo:

Se hace un préstamo de un millón de pesos al 0.5% de interés mensual efectivo para pagarlo en cuotas iguales de fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota mensual?

Solución:


0.005 (1+0.005)24

(1+0.005)24 -1

= $44.320,61

A =1000000

SERIE UNIFORME

  • Resolver el ejemplo anterior si el trabajador paga a principio de mes.

  • Solución:

  • Se debe transladar el préstamo a un periodo

  • antes con la formula de pago único y luego

  • aplicamos la formula de A.


P

0.005 (1+0.005)23

(1+0.005)23 -1

A = 1000000

= $ 44.100

0´ 1 2 3 4 23 24

0

A

A

A

A

A

F = P(1+i)n= 1000000(1+0.005)-1 = 995.024,87

SERIE UNIFORME


S19

$1000.000

(24-19)

i:0.5%

1 2 3

24

19

0

.......

A A A A

A

A

A

A

19 PAGADAS

SERIE UNIFORME

  • Cuál es la deuda del trabajador en el ejemplo después de haber pagado la cuota 19.

  • Solución:


  • En la cuota 19 ¿qué parte es abono al capiltal y que parte es interés?

  • Solución:

  • a19 = S18 – S19

(1+0.005)24-19 -1

0.005 (1+0.005)5

S19 = 44.320,61

=$218.317,399

(1+0.005)24-18 -1

0.005 (1+0.005)6

= $261.331,35

S18 = 44.320,61

SERIE UNIFORME


SERIE UNIFORME

  • a19=$43.013,9

  • I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66

  • Para ese trabajador ¿cuál es el total de intereses pagados?

  • Solución:

  • I = total de intereses pagados – total pagado

  • I= n  A-P = $63.644,40


F = ?

Interés = i

0 1 2 3 n Periodos

......

A

A

A

A

A: Ahorro

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME


Dados A, i y n se deberá calcular F.

F: será el valor futuro en n equivalente al valor presente de la serie uniforme.

F = P (1+i)n aplicando (3)

Pero:

(1+i)n - 1

i (1+i)n

P = A

aplicando (4’’)

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME


Entonces:

(1+i)n - 1

i (1+i)n

F = A *

(1+i)n

(1+i)n - 1

i

F = A *

Para el uso de tablas:

F = A * (F/A, i, n) (8´)

(8)

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME


CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

Ejemplo:

Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al principio de mes en una entidad que le reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace durante 5 años.

¿ Cual es el valor acumulado al final del ultimo mes?


F = ?

i

= 2% ef. mensual

0´ 0

1

2

59

60 meses

200.000

CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME


CAPITALIZADORASUNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

Solución:

F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el mes 59.

F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60)

F59 = 200.000 (114.051539)

F59 = 22’810.307,8

F =F59 (1.02)1

F = (22’810.307,8) (1.02)

F = 23’266.513,96


P

1 2 3 n

0

An

A3

A2

A1

1 - (k - 1)P

n n

Ak= i  P +

AMORTIZACIÓN CONSTANTE


AMORTIZACIÓN CONSTANTE

Demostración de la formulas para amortización constante, donde:

Ak: cuota al final del periodo k.

Sk: saldo después de pagar la cuota Ak.

Como su nombre lo indica, en esta forma de pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto:

a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n (9)


1

n

S1 = P 1 -

A2 = i  S1 + (P/n)

1

n

P

n

i  P 1 - +

2P

n

2

n

S2 = P - = P 1 -

AMORTIZACIÓN CONSTANTE

A1 = i  P + (P/n)

Si se abonó (P/n), entonces S1 = P - (P/n)

Entonces:


P

n

(k-1)

n

Ak = i  P 1 - +

(10)

(11)

(12)

k

n

Sk = P 1 -

(k-1)

n

Ik = i  P 1 -

AMORTIZACIÓN CONSTANTE


AMORTIZACIÓN CONSTANTE

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de un millón de pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante,¿cuál es el valor de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?


Solución:

(3 - 1)1000000

10 10

A3= 0.031000000 1 - +

3

10

A1=130.000

S3 = 1000000 1 - = 7000000

A3=124.000

(1- 1)1000000

10 10

A1=0.031000000 1 - +

AMORTIZACIÓN CONSTANTE


P

1 2 3 n

0

A1

A2

A3

An

AK = A1 + (K - 1)*g

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)


SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Esta forma de pago se compone por la suma de dos series, una que se comporta de manera uniforme y otra que sufre un cambio aritmético para cada periodo.

Demostración de la formula para serie gradiente, donde:

g :aumento aritmético de la cuota.

Ak seria:

A1 = A1

A2 = A1 + g

A3 = A2 + g = A1 + g + g = A1 + 2g

AK = A1 + (k - 1)  g (en funciòn de A1) (13)


P

1 2 3 n-1 n

0

A1

+

Ag

. . .

. . .

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

La parte gradiente se transforma en una serie equivalente uniforme que se llama Ag, entonces, la serie gradiente original será equivalente a la suma de las dos series uniformes.

At=A1+Ag (14)

A1:serie parte uniforme.

Ag:serie uniforme equivalente a parte gradiente.

At :serie uniforme total equivalente a la serie gradiente original.


SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Ag se halla llevando cada uno de los aumentos (g, 2g, 3g,...) al presente y sumandolos, después esta sumatoria se distribuye en una serie uniforme y se obtendría:

(15)

Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n) (15’)


De (14) tenemos: A1= At - Ag

(16)

Por tabla seria:

A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n)(16’)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)


Partiendo de (16) se obtiene:

(17)

Para uso de tablas:

P(A/P,i,n) = A1 + g(A/g,i,n) (17’)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)


SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

P Sk = ?

n - k

Pendientes

1 2 3 4 k k-1

0

.

.

.

.

.

.

Ak

Ak + 1

k pagados

An

Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en An. Sk será el valor presente en k de esas cuotas pendientes.


Utilizando (17) con "A1" = Ak+1

Y remplazando en (13) tenemos:

Ak+ 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde

"A1" = A1 + kg

De lo anterior:

(18)

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)


SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una tasa de interés anual del 30% para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan 200 pesos . Cuàl es el valor de la primera y la ùltima cuota?


SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

Solución:

A1 = 1000(A/P,30%,n) - 200(A/g,305,5)

A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031)

A1 =112.519

A5 = A1 + (5 - 1)*$200

A5 =112.519+ 4*$200

A5 = 912.519


  • Para los datosdel ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota.

  • Solución:

  • P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519

S3 = 1.088,05

SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)


SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

PARA LA SERIE GRADIENTE DECRECIENTE SE UTILIZAN LAS MISMAS FÓRMULAS QUE EN LA CRECIENTE, PERO SE REEMPLAZA gPOR -g.


P

1 2 n-1 n

0

A1

A2

An-1

An

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Ak = A1 (1+ ig)k-1


SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Demostración de la formula para serie gradiente porcentual, donde:

ig :incremento porcentual en las cuotas.

A1 = A1

A2 = A1 + A1 * ig = A1(1+ ig)

A3 = A2+A2*ig = A2(1+ig) = A1 (1+ ig)2

A4 = A3 + A3*ig = A3 (1+ ig) = A1 (1+ ig)3

Ak = A1 (1+ ig)k-1(en función de A1) (19)


Para obtener Al se debe llevar el valor de cada cuota al presente (Pk) y después realizar la sumatoria la cual es equivalente al préstamo P.

pero Pk = Ak (1+i)-k

Al reemplazar en la fórmula (19), obtenemos:

Pk = A1(1+ig)k-1 (1+i)-k

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)


SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Expandiendo la sumatoria:

P=A1(1+ig)0(1+i)-1+(1+ig)1 (1+i)-2 +...+(1+ig)(n-1)-1 (1+i)-(n-1)

+ (1+iG)n-1 (1+i)-n (1*)

Multiplicando a ambos lados por: (1+ig)1 (1+i)-1

tendremos:

P(1+ig)(1+i)-1=A1(1+ig)1 (1+i)-2 + (1+ig)2 (1+i)-3 +...+

(1+ig)(n-1) (1+i)-n + (1+ig)n (1+i)-n-1 (2*)


Restar de (1*) a (2*), simplificar y despejar para obtener:

(20)

El factor del corchete solo será válido para iig, pues el denominador no puede ser cero.

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)


(20’)

iig

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

De la fórmula (20) podemos despejar P:

Partiendo de esta fórmula se puede hallar Sk.


P

Sk = ?

n-k cuotas

Pendientes

1

2

k

k+1

n

0

A1

A2

Ak

Ak+1

k Pagadas

An

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

El saldo (Sk) será el valor presente en k de las cuotas pendientes (n-k).


Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando en (19) tenemos:

Ak+ 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde

"A1" = A1(1+ig)k

De lo anterior:

(18)

iig

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)


SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

Ejemplo:

Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota?.


Solución:

A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69

SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)


SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

  • Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?

  • Solución:

  • ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19


Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.


Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Análisis de los tres intervalos.

Intervalo I:

El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P

No hay amortización: ak = 0

La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik

La cuota es inferior a los intereses generados en el período: Ak = Ik < i. Sk-1


Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Intervalo II:

El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1

No hay amortización: ak = 0

La cuota es intereses: Ik = Ak

La cuota paga intereses acumulados e intereses del período: Ak = Ik > i  Sk-1


Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Intervalo III:

El saldo es decreciente pero inferior a P:

P > Sk-1 > Sk

Hay amortización: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk

Los intereses contenidos en la cuota son:

Ik = Ak - ak

Como no se pagan intereses acumulados, entonces: Ik = i  Sk-1


Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.

Cuando eventualmente se pase del intervalo II al intervalo III:

Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortización contenida en Ak será: ak = P - Sk

Recordemos que se amortiza sólo lo que abonamos al principal. Así que: Ik = Ak - ak

No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik


EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE PAGO


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