高中数学多媒体课堂
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高中数学多媒体课堂. 等差数列的前 n 项和. 理 0301 班 占国仙 27 号. a n. ·. ·. ·. ·. ·. n. 0. 1. 2. 3. 4. 5. a+b. A = ———. 2. 复习回顾. 1. 等差数列的概念. a n = a 1 +( n -1) d. 2. 等差数列的通项公式. ∵ a k = a 1 +(k-1)d, 即 a 1 = a k - (k-1)d. ∴ 通项公式又可改写为 a n = a k +( n -k)d. 3. 等差中项. 等差数列的前 n 项和.

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Presentation Transcript


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高中数学多媒体课堂

等差数列的前n项和

理0301班 占国仙 27号


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an

·

·

·

·

·

n

a+b

A=———

2

复习回顾

1.等差数列的概念

an=a1+(n-1)d

2.等差数列的通项公式

∵ak=a1+(k-1)d, 即a1=ak-(k-1)d.

∴通项公式又可改写为

an=ak+(n-k)d .

3.等差中项


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等差数列的前n项和

有一堆钢管,最底下放了15根,上一层是14根,再上一层是13根,……,最顶层是3根.这堆钢管共有多根?

3+15=18,

4+14=18,

5+13=18,

…… ,

6+12=18,

15+3=18,

∴3+4+…+15=

18×13/2=117(根).


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n个

设等差数列{an}的前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+…+an, 则

根据通项公式得 Sn=a1+(a1+d)+ … +[a1+(n-1)d],

把项的次序反过来,可写成 Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]

两式相加,得

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an)

=n(a1+an)

∴等差数列的前n项和公式是

等差数列的前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半

∵an=a1+(n-1)d,∴公式又可写成


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等差数列前n项和公式

类比可知,第一个公式与梯形面积公式相似,而第二个公式又很容易由第一个公式推出,这样我们记忆公式就容易得多了.

例1德国古代著名数学家高斯9岁的时候很快就解决了老师给他的问题:1+2+3+…+100=?你想知道高斯是怎样算出的吗?其结果是多少?

1+2+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(55+51)

=101×50=5050.

利用公式计算也得5050.


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n(n+1)

2

等差数列前n项和公式

思考:①在正整数列中,前n个数的和是多少?

②在正整数列中,前n个偶数的和是多少?

1+2+…+n=

2 + 4 +…+ 2n=

n(n+1)


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例2等差数列-10, -6, -2, 2 , …前多少项的和是54?

解:

设该数列为{an}, 前n项的和是54 ,

∵a1=-10, d=-6-(-10)=4 ,

整理得 n2-6n-27=0.

解得 n=9, n=-3(舍弃).

因此等差数列-10, -6, -2, 2 , …前9项的和是54.


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练习

1.根据条件,求相应等差数列{an}的Sn:

①a1=5, an=95, n=10;

②a1=100, d=-2, n=50;

③a1=14.5, d=0.7, an=32.

答案:①500;

②2550;

③604.5

2.等差数列5,4,3,2,…前多少项的和是-30?

提示:先化为n2-11n-60=0,得n=15,或n=-4(舍弃)


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课堂小结

等差数列前n项和公式

(关于n的二次函数)

公式的推证用的是倒序相加法

在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.


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(机动内容)

例3求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素个数, 并求这些元素的和.

解:

由7n<100得 n<100/7,

由于满足它的正整数n共有14个,∴集合M中的元素共有14个. 即

7, 14, 21, … , 91, 98.

这是一个等差数列, 各项的和是

=735

答:集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.


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