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三、应用 PowerPoint PPT Presentation


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§ 4.2 Pascal 定理与 Brianchon 定理. 作二阶曲线上的点. 1. 作图题. 作切线. 2. 证明题. 证明共线点 , 共点线问题. 三、应用. § 4.2 Pascal 定理与 Brianchon 定理. 例 3. 如图 , 设 ABCDEF 是一条二次曲线的内接六点形 , 且 AB × CD = P , CD × EF = Q , DE × AF = L , AF × BC = M , BC × DE = N , EF × AB = R . 求证 : PL , MQ , RN 共点.

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三、应用

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Presentation Transcript


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§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理

作二阶曲线上的点

1. 作图题

作切线

2. 证明题

证明共线点, 共点线问题

三、应用


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§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理

例3. 如图, 设ABCDEF是一条二次曲线的内接六点形, 且 AB×CD=P, CD×EF=Q, DE×AF=L, AF×BC=M, BC×DE=N, EF×AB=R.求证: PL,MQ,RN共点.

证明. 考察简单六点形ABCDEF, 利用Pascal定理, 再利用Desargues定理即得结论.

例4. 若两个三点形ABC和A'B'C'的对应顶点连线交于一点S(如图), 且其中一个三点形的边与另一个三点形的非对应边交于D,E,F,G,H,I六个点,证明此六点在同一条二次曲线上.

证明. 应用Desargues定理于ABC和A'B'C', 再考察简单六点形DEFGHI, 利用Pascal定理的逆定理, 即得结论.


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§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理

例5. 如图, 三点形ABC内接于二阶曲线, 其每一顶点处的切线构成另一个三点形A'B'C'. 求证:AA', BB', CC'共点.

证明. 由利用Pascal定理的极限情况定理4.12知, 三点形ABC与A'B'C'的对应边交点共线, 据Desargues透视定理得结论.

例6. 如上题图及条件.

求证:A(BC,A'C') = B(AC,B'A') = C(CA,C'B') = -1.

提示:利用上例结论以及完全四点形的调和性(思考).

例7. (P.116, Ex.6)设A,B,C,D为二阶曲线上四个定点, P,Q为上的动点. PA×DC=X, PB×QD=Y. 求证XY过定点.

做不出!必定题目有问题!

改正: 将PA×DC=X 改为 PA×QC=X.

考察六点形APBCQD, 由Pascal定理, XY经过定点AD×BC.


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§ 4.3 配极变换

在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定:非退化.

一、极点与极线

1. 引入

定义4.6 两点P, Q关于共轭. (如图)

定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.

证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与: S=0的交点M(pi+qi)满足

设其两根为1, 2. 则交点为Mj( pi+ jqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)=–1  1/ 2=–1 1+ 2=0

将qi改为流动坐标xi, 得P关于的共轭点的轨迹为直线Sp=0.


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§ 4.3 配极变换

一、极点与极线

1. 引入

定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0.

推论4.5 两点P, Q关于共轭Spq=0. 即

注1. 验证两点P, Q关于共轭, 只要验证上式.

注2. P在上, 则Spp=0, 由推论4.5, 规定:上的点关于自共轭.

2. 极点与极线

共轭点轨迹p

则称P关于的

定义4.7 对于点P, 若

切线p

为P关于的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于的极点.

注. 由定义4.7及推论4.5, 有

定义4.6': 相互在对方极线上的两点称为关于的共轭点.


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§ 4.3 配极变换

一、极点与极线

2. 极点与极线

推论4.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一.

证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于的极点.设P(pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与Sp=0为同一直线, 即


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§ 4.3 配极变换

一、极点与极线

2. 极点与极线

推论4.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一.

展开上式, 得

因为|aij|≠0, 故(4.17)对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在.

(4.17)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组.


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§ 4.3 配极变换

一、极点与极线

根据推论4.5, 可以对偶地给出下列定义

定义4.8相互通过对方极点的直线称为关于的共轭直线.

注. 利用Maclaurin定理及对偶原则, 有: 两直线p[pi], q[qi]关于: S=0共轭Tpq=0

3. 极点与极线的计算

(1). 已知P(pi), 求极线, 直接求Sp=0.

(2). 已知u[ui], 求极点, 将[ui]代入(4.17), 解出(pi). (注:在实际计算时, 可取=1, 见教材, 例4.11)

注:(4.17)是一个非奇异线性变换, 是由: S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射.


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§ 4.3 配极变换

二、配极变换

1. 配极变换

定义4.9 称由

决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线: S=0的配极变换.

注1. (4.18)表示点x与直线u是关于: S=0的极点极线关系. 另一种写法为.

注2. 任一非退化二阶曲线都决定了平面上的一个配极变换.

注3. 配极变换是异素变换, 是一个双射.


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§ 4.3 配极变换

二、配极变换

1. 配极变换

定理4.14(配极原则)点P关于的极线p通过点Q点Q关于的极线q通过点P.

定理4.14'(配极原则) 直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极点Q在直线p上.

注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质.

证明. (左边)设: S=0, P(pi), Q(qi). 则P的极线Sp= 0 过点Q Spq= 0  Sqp= 0  Q的极线Sq过点P.

对偶地, 可得右边.


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§ 4.3 配极变换

二、配极变换

1. 配极变换

推论4.7 两点连线的极点为此二点极线的交点;两直线交点的极线为此二直线极点的连线.

推论4.8 共线点的极线必共点;共点线的极点必共线.

推论4.9 关于非退化二阶曲线的配极变换使得点列对应于线束, 线束对应于点列;图形对应于其对偶图形.

推论4.10 关于非退化二阶曲线的配极变换使得共线四点的交比等于其对应共点四直线的交比.

因此, 配极变换规定了一个点列与其对应线束之间的一个射影对应.

综上:

非退化二阶曲线

配极变换

二维异素射影变换

二维异素射影变换

对偶变换

从而

配极原则

特殊的对偶原则


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§ 4.3 配极变换

二、配极变换

2. 自极三点形(应用性极强的重要概念)

定义4.10 若一个三点形关于每个顶点是其对边的极点(即每边是其对顶的极线), 则称此三点形为关于的一个自极三点形.

定理4.15 内接于非退化二阶曲线的完全四点形的对边三点形是关于的一个自极三点形.

证明:如图, 设完全四点形ABCD内接于非退化二阶曲线, PQR为其对边三点形.

设QR交一组对边AD, BC于点E, F. 则由完全四点形的调和性有

于是点E, F均为点P关于共轭点, 即QR为P关于的极线.

同理, RP, PQ为Q, R关于的极线.

所以, PQR为关于的一个自极三点形.


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§ 4.3 配极变换

二、配极变换

2. 自极三点形(应用性极强的重要概念)

定义4.10 若一个三点形关于每个顶点是其对边的极点(即每边是其对顶的极线), 则称此三点形为关于的一个自极三点形.

定理4.15 内接于非退化二阶曲线的完全四点形的对边三点形是关于的一个自极三点形.

注1. 自极三点形的任一顶点不在上.

注2. 自极三点形恰有一个顶点在的

“内部”.

注3. 自极三点形任意两顶点相互共轭;

任意两边相互共轭.

例1. 给定不在上的一点P(pi), 任求的一个自极三点形PQR.

解. (i) 求P(pi)的极线p: Sp=0.

(ii) 在p上任取不属于的一点Q(qi), 求Q的极线q: Sq=0.

(iii) 求p与q的交点R(ri), 则PQR必为的一个自极三点形.


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§ 4.3 配极变换

一、极点与极线

二、配极变换

3. 配极变换的基本应用

2. 自极三点形

1. 配极变换

(1). 几何证明题

灵活运用配极原则以及自极三点形等概念

(2). 极点极线作图

例2. 已知非退化二阶曲线及不在上一点P, 求作P关于的极线p.

例3. 已知非退化二阶曲线以及一直线p, 求作p关于的极点P.

作法. 在p上任取不在上两相异点Q,R, 利用上例, 作Q,R关于的极线q,r. 则q×r=P.

例4. 已知非退化二阶曲线及Γ外一点P, 过P求作的两切线.

作法一. 利用例2, 设p交于E,F, 连PE, PF即可.

作法二. 如图. 过P任作三割线, 可得切线.


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今日作业

P.122, 1(2), 2(1), 3(1)

The Class is over. Goodbye!


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