מתמטיקה ב' לכלכלנים

1. מתמטיקה ב' לכלכלנים שיעור 2 – הגדרות, קבוצות, גבולות ורציפות תיאוריה

2. פונקציה בK משתנים • הגדרה: תהי D קבוצת K-יות של מספרים. פונקציה f ב-K משתנים מתאימה לכל K-יה בD- מספר יחיד.D נקרא התחום של f. • נסמן ב-W את אוסף כל הערכים ש-f מקבלת על D, W נקרא הטווח של f ומסמנים: • דוגמאות: • לעיתים מכונה התחום – תחום הגדרה

3. הצגה גרפית של פונקציה ב2 משתנים • נסתכל על הפונקציה • הצגה כגרף 3-ממדי:

4. הצגה גרפית של פונקציה ב2 משתנים • נסתכל על הפונקציה • הצגה כמספרים על ריבוע דו ממדי: Y 16 X 8-

5. הצגה גרפית של פונקציה ב2 משתנים • נסתכל על הפונקציה • הצגה כקווי גובה: Y X

6. מושגי יסוד במרחב ובמישור הגדרה: נקודה בRk-:K-יה של מספרים ממשים. מסומנת: ((x1, x2,…, xkאו ,(לפעמים נשמיט את החץ) מרחק: המרחק בין שתי נקודות Y (3,4) (1,1-) 5 X Y (3,4) סביבת : אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה (x,y) קטן מאפסילון נקרא סביבת  של (x,y). אם נרצה שלאלכלול את (x,y) בסביבה – נאמר כי הסביבה מנוקבת. X Y (3,2) =2 X

7. הכללת המרחק לממדים גבוהים • לא תמיד טבעי בממדים גבוהים. מרחק (רב ממדי): המרחק בין שתי נקודות הוא:

8. קבוצות פתוחות, סגורות וחסומות (אינטואיציה) • כשחיפשנו נקודות קיצון בקורס הקודם – חילקנו את פעולתנו לשני שלבים: • מציאת קיצון בפנים. • מציאת קיצון בשוליים. • למשל בקבוצה: חיפשנו בנקודות הקצה:

9. קבוצות פתוחות, סגורות וחסומות (אינטואיציה) • מהי שפה רב ממדית? • נקודה נמצאת בשפה אם קרוב אליה יש גם נקודות בקבוצה וגם נקודות מחוץ לה. נקודת שפה:נקודה x נקראת שפה בקבוצה A אם לכל, יש נקודה בסביבת  של x מחוץ לA ונקודה בסביבה זו בתוך A.

10. קבוצות פתוחות, סגורות וחסומות (אינטואיציה) • נסתכל על שתי קבוצות:A = אוסף הנקודות במישור שמרחקן מראשית הצירים קטן מ-2 • B = אוסף הנקודות במישור שמרחקן מראשית הצירים קטן או שווה 2. B A • A נקראת כדור פתוח ברדיוס 2(או סביבת 2 של x,y) • Bנקראת כדור סגור ברדיוס 2 Y Y X X

11. קבוצות פתוחות, סגורות וחסומות (אינטואיציה) קבוצה זו מכילה את שפתה. לא מכילה שום חלק משפתה. קבוצה סגורה B קבוצה פתוחה A Y Y X X

12. יש קבוצות שאינן פתוחות ואינן סגורות. סגורה  A פתוחה  מקיימת כי: אם בכל סביבת של נקודה X יש נקודה בקבוצה אזX בקבוצה לכול נקודה בקבוצה זו יש סביבה שנמצאת בתוך הקבוצה. Y Y (-5,1) X X (1,-5)

13. ויש קבוצות שהן גם פתוחות וגם סגורות קבוצות ללא שפה:

14. קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי) נקודה פנימית: נקודה x נקראת פנימית בקבוצה A אם קיים  כך שסביבת  של x כולה מוכלת בA. קבוצה משלימה: הקבוצה Acהנקראת משלימה של A (או A משלים) היא קבוצת כל הנקודות במרחב שאינן בA. Y קבוצה פתוחה: קבוצה שכל נקודותיה פנימיות. X קבוצה סגורה:A נקראת סגורה אם Acפתוחה, כלומר כל נקודותיה פנימיות. Y X

15. קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי) משפט: התכונות הבאות שקולות: Aפתוחה A לא מכילה את שפתה. תזכורת: קבוצה סגורה:A נקראת סגורה אם Acפתוחה, כלומר כל נקודותיה פנימיות. קבוצה פתוחה: קבוצה שכל נקודותיה פנימיות.

16. קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי) משפט: התכונות הבאות שקולות: A קבוצה פתוחה. A אינה מכילה שום חלק משפתה. הוכחה: 12 נקודה x נקראת פנימית אם יש קיים  כך שבסביבת  שלהכל הנקודות שייכות לקבוצה. בסביבה זו אין אף נקודה מחוץלקבוצה – ולכן זו אינה נקודת שפה. הוכחנו זאת עבור נקודה כללית ולכן אין בA אף נקודת שפה. לא 1לא 2 אם A אינה פתוחה – אז היא מכילה נקודהx שבכל סביבה שלה יש נקודה מחוץ לקבוצה. מצד שני בכל סביבה של x יש נקודה בקבוצה – x עצמה. מכאן שנקודה זו היא נקודת שפה שA מכילה.

17. קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי) המשפט הבא יתרגל אותנו בכתיבת הוכחה. משפט: התכונות הבאות שקולות: A קבוצה סגורה כל נקודה שלכל סביבותיה חיתוך לא ריק עם A נמצאת בA תזכורת: קבוצה סגורה:A נקראת סגורה אם Acפתוחה, כלומר כל נקודותיה פנימיות. קבוצה פתוחה: קבוצה שכל נקודותיה פנימיות.

18. קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי) משפט: התכונות הבאות שקולות: A קבוצה סגורה כל נקודה שלכל סביבותיה חיתוך לא ריק עם A נמצאת ב-A הוכחה: 21 לפי ההגדרה לכל נקודה שאינה ב-A קיימת סביבת  כלשהי מחוץ ל-A (אחרת היא היתה בA לפי תנאי 2). לכן כל נקודה בקבוצה המשלימה של A פנימית בה, ולפי הגדרה A סגורה. לא 2  לא 1 נניח כי טענה 2 שגויה  קיימת נקודה x כך שהיא שייכתל-Acאך אין לה אף סביבה שכולה ב-Ac. מכאן שזו לא נקודה פנימית ב-Ac; אנו מסיקים כי לא כל הנקודות ב-Acפנימיות ולכן A אינה סגורה.

19. קבוצות פתוחות וסגורות (פורמלי) שפה: אוסף כל נקודות השפה. מסקנה: קבוצה היא פתוחה אם ורק אם כל השפה שלה אינה שייכת לה. באופן דומה קבוצה היא סגורה אם שפתה שייכת לה. Y אותה שפה! Y X X

20. קבוצה חסומה קבוצה חסומה: קבוצה שהמרחק בין כל שתי נקודות בה חסום. הגדרה חלופית: קבוצה המוכלת בתוך סביבת  כלשהי של כל נקודה בה. אז מה הקשר בין האינטואיציה להגדרה הפורמלית? דוגמאות: Y Y Y X X X

21. גבולות (אינטואיציה) אנחנו מעוניינים להגדיר שיפועים רגעיים ושינויים רגעיים. בכדי לעשות זאת אנחנו רוצים לדבר על התנהגות של ערכי פונקציה כשהם הולכים ומתקרבים לערך מטרה. הצעה לניסוח מילולי של גבול: ככל שנתקרב לנקודה x0 כך הפונקציה תתקרב לערך מטרה בעיה: Y X צריך לוודא שמגיעים בסוף.

22. גבולות (אינטואיציה) ננסה לנסח מחדש אבל הפעם נדרוש להגיע. אבל אי אפשר להגיע ממש (כי אנחנו רק רוצים לדבר על מה שקורה כשמתקרבים). אז נבקש להגיע הכי קרוב שאפשר. הצעה לניסוח מילולי של גבול: לכל מידת קרבה ל-l שנבקש, אם נתקרב מספיק בציר הx לנקודה 0x כל ערכי הפונקציה יהיו קרובים ל-l במידה זו.

23. גבולות כעת ניזכר בהגדרת הגבול מהקורס הקודם, תהי פונקציה המוגדרת בתחום הגדרה: אם לכל 0< קיימת 0< כך שאם מתקיים . בזכות מושג הסביבה נוכל לתרגם הגדרה זו לכל מימד. הגדרה: אם לכל 0< קיימת סביבת 0< נקובה של x0 שנסמנה A כך שלכל מתקיים ניסוח ל2 משתנים: אם לכל 0< קיימת 0< כך שלכל ב- עבורם מתקיים מתקייםגם

24. גבולות ציור ממחיש:

25. גבולות – תכונות הגבול תכונות הגבול (כפי שראינו בסמסטר שעבר): בתנאי שכל הגבולות קיימים!

26. גבולות – תכונות הגבול תכונות הגבול בשני ממדים בלבד: אם הגבול קיים – ניתן להגיע אליו בכל מסילה. צריך רק להקפיד לבחור מסילה שאכן מגיעה אל נקודת הגבול.

27. גבולות – רציפות הגדרה: פונקציה נקראת רציפה בנקודה (x0,y0) אם מתקיים:

28. גבולות – תכונות הפונקציות הרציפות פונקציה במשתנה 1 נשארת רציפה כשמתייחסים אליה כפונקציה של 2 משתנים. אם f ו g רציפות בנקודה a אז גם: אם g(a) שונה מ-0. רציפות בa. כמו כן הרכבה של פונקציות רציפות היא רציפה. מסקנה: כל הפולינומים הם פונקציות רציפות.

29. וכעת נוכל לבנות על יסודות אלואת החשבון האינפיניטיסימלי! "לכל דבר יש גבול – לא ניתן ללמד עפרת ברזל להיות זהב" -- מארק טווין