DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA)

2. DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Zespół Szkół Publicznych w Reptowie ID grupy: 98/61_mf_g1 Opiekun: Maria Szyndlarewicz Kompetencja: Matematyczno – fizyczna Temat projektowy: Liczby wymierne Semestr/rok szkolny: IV/2011/2012

3. Projekt-„Liczby wymierne są ok” Zadanie główne Opracowanie biuletynu edukacyjnego z zakresu liczb wymiernych składającego się z 7 części Zaprezentowanie pracy dla młodszych kolegów za pomocą tablicy interaktywnej Zadania cząstkowe: Zapoznanie się z podstawami teoretycznymi i przykładami zastosowań liczb wymiernych w następujących obszarach: Rachunki z ułamkami Zaokrąglenia System rzymski Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne Szacowanie wartości Obliczenia w praktyce Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”

4. Biuletyn – „Liczby wymierne są ok.” • Spis treści: • Wstęp -Wiadomości ogólne o liczbach wymiernych • Działy: Rachunki z ułamkami Zaokrąglenia System rzymski Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne Szacowanie wartości Obliczenia w praktyce Oś liczbowa i jej „mieszkańcy”

5. Definicja liczb wymiernych. Liczby wymierne to takie, które można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych, innymi słowy są to liczby, które można przedstawić w postaci ułamka zwykłego: gdzie m i n są liczbami całkowitymi i n ≠ 0. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy: W • Przykłady liczb wymiernych: • W zbiorze liczb wymiernych można wykonać działania:dodawania, odejmowania,mnożenia oraz dzielenia (dzielnik musi być różny od zera)

6. Podział liczb wymiernych

7. Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne ( 1, 2, 3, 4, 5...) znano od niepamiętnych czasów,jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Wielu matematyków zalicza do liczb naturalnych również liczbę 0,która oznacza moc (liczbę elementów)zbioru pustego. Liczby naturalne Zbiór wszystkich liczb naturalnych zapisujemy następująco: N={0;1;2;3;4;5;6;....} Leopold Kronecker(1823 – 1891)

8. 2 3 4 5 6 1 Liczby całkowite • W zbiorze liczb naturalnych nie jest wykonalne odejmowanie.Zaistniała więc konieczność utworzenia zbioru, do którego należałyby, oprócz liczb naturalnych, wszystkie ich różnice, np. 2 – 7, 0 – 1000.W ten sposób powstał zbiór liczb całkowitych • Zbiór liczb całkowitych oznaczamyC • C= {...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;...}

9. Liczby całkowite • Zbiór liczb całkowitych jest nieskończony • W zbiorze liczb całkowitych nie ma liczby największej ani liczby najmniejszej • Liczba 0 nie jest liczbą dodatnią ani ujemną • Wynikami dodawania, mnożenia i odejmowania dwóch liczb całkowitych są liczby całkowite. Zatem są to działania w zbiorze liczb całkowitych

10. 1. Rachunki z ułamkami

11. Ułamki zwykłe • W życiu codziennym często znajdujemy się w sytuacji, gdy musimy jakąś całość podzielić na części. Wtedy to każdą z tych części możemy zapisać w postaci ułamka. • 1 • Jedna z czterech części – to • 4 • 2 • dwie z trzech części – to • 3

12. Ułamek to liczba oznaczająca część całości • Mianownik ułamka zwykłego mówi na ile jednakowych części dzielimy całość, a licznik ile tych części bierzemy Oznacza , że dana figura została podzielona na cztery jednakowe części i trzy z nich zostały zamalowane. Oznacza , że dana figura została podzielona na dwie jednakowe części i jedna z nich zostały zamalowane.

13. Zapis ułamka zwykłego składa się z trzech elementów • Licznika • Kreski ułamkowej • Mianownika 12 LICZNIK KRESKA UŁAMKOWA 47 MIANOWNIK

14. Podział ułamków zwykłych Ułamki zwykłe Ułamek niewłaściwy - to taki ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi. Ułamki niewłaściwe są większe lub równe 1 Ułamek właściwy - to taki ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamki właściwe są mniejsze od 1

15. Liczby mieszane reszta z dzielenia Z UŁAMKÓW NIEWŁAŚCIWYCH MOŻEMY WYŁĄCZYĆ CAŁOŚĆ . W TYM CELU DZIELIMY LICZNIK UŁAMKA PRZEZ JEGO MIANOWNIK : po wyłączeniu całości otrzymujemy liczby mieszane Przykłady liczb mieszanych :

16. Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe Liczby mieszane można zamienić z powrotem na ułamki niewłaściwe : Dodajemy licznik Mnożymy mianownik przez całość Mianownik przepisujemy bez zmian

17. Skracanie ułamków zwykłych Ułamki zwykłe możemy skracać dzieląc licznik i mianownik ułamka przez tą samą liczbę różną od 0 i 1. : 5 : 5 Ułamki zwykłe skracamy do momentu uzyskania ułamkównieskracalnych

18. Porównywanie ułamków zwykłych Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach większy jest ten , który ma większy licznik. Np. Z dwóch ułamków o jednakowych licznikach większy jest ten , który ma mniejszy mianownik. Np. Ułamki właściwe są zawsze mniejsze od ułamków niewłaściwych !

19. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych dodatnich. • Dodając lub odejmując ułamki zwykłe należy sprowadzić je do wspólnego mianownika. • Wspólny mianownik powinien być najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników dodawanych ułamków (najmniejszą liczbą podzielną przez wszystkie mianowniki dodawanych ułamków). • Dodając liczby mieszane możemy osobno dodawać całości i osobno ułamki. • Przy odejmowaniu liczb mieszanych, gdy odejmowany ułamek jest większy niż ten od którego odejmujemy, możemy „pożyczyć” 1całą z całości.

20. Przykłady. Wspólny mianownik: 12. Pierwszy ułamek rozszerzamy przez 3, a drugi przez 4. Wspólny mianownik: 14. Osobno dodajemy całości i osobno ułamki. Wspólny mianownik: 6. „Pożyczamy” 1 całą z 3 i dodajemy do ułamka. 1 zapisane w postaci ułamka o mianowniku 24 to

21. „Ekspresowy” sposób na wspólny mianownik. • Poniższe przykłady pokazują uniwersalny sposób na znalezienie wspólnego mianownika. Wystarczy „górę” i „dół” pierwszego ułamka pomnożyć przez „dół” drugiego i na odwrót.

22. Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych dodatnich. • Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków dziesiętnych możemy działania wykonywać pisemnie pamiętając o podpisywaniu ułamków „przecinek pod przecinkiem”. • Kiedy w jednym wyrażeniu występują liczby zapisane w postaci ułamków zwykłych i dziesiętnych przed obliczeniem zapisujemy je w jednej postaci (ułamków zwykłych lub dziesiętnych).

23. Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych dodatnich • Mnożąc ułamki zwykłe mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik („góra” razy „góra”, „dół” razy „dół”). • Zanim pomnożymy lub podzielimy ułamki zapisane w postaci liczb mieszanych, należy zapisać je jako ułamki niewłaściwe. • Skracać ułamki można tylko przy mnożeniu. • Dzielenie ułamków zwykłych zamieniamy na mnożenie przez odwrotność.

24. Przykłady Licznik razy licznik, a mianownik razy mianownik Liczby mieszane zamieniamy na ułamki niewłaściwe. Przy mnożeniu możemy skracać ułamki po przekątnej. Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność.

25. Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym • 1,11 • + 0,46 • 1,57 2,49 +0,046 2,536 3,71 -0,4 3,31 Przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków dziesiętnych sposobem pisemnym zapisujemy je tak, aby przecinek stał pod przecinkiem

26. Mnożenie ułamków przez 10, 100, 1000 itd.. • 0,1257• 100 = 12, 57 • 3,4 • 100 = 340 • 1,387 • 1000 =1387 • 3,005 • 10 = 30,05 Przy mnożeniu liczby dziesiętnej przez 10, 100, 1000 przesuwamy przecinek tej liczby w prawo o tyle miejsc, ile zer ma liczba, przez którą mnożymy

27. Dzielenie ułamków przez 10, 100, 1000 itd.. • 52: 10 = 5,2 • 123,4 : 100 = 1,234 • 0,87 : 1000 = 0,00087 • 3,005 : 10 = 0,3005 Przy dzieleniu liczby dziesiętnej przez 10, 100, 1000 przesuwamy przecinek tej liczby w lewo o tyle miejsc, ile zer ma liczba, przez którą dzielimy

28. Mnożenie pisemne ułamków dziesiętnych • 0,18 2 miejsca po przecinku • • 0,41 miejsce po przecinku • 0,072Razem 3 miejsca po przecinku 0,182 • 0,36 1 0 9 2 + 5 4 6 0, 0 6 5 5 2 zakaz wstawiania przecinka W iloczynie jest tyle miejsc po przecinku, ile jest razem cyfr po przecinku w obu czynnikach

29. Dzielenie pisemne ułamków dziesiętnych przez liczbę naturalną • 0,3 • 1,2 : 4 • -1 2 • = = w ilorazie przecinek stawiamy nad przecinkiem dzielnej 15 : 0 , 5 Zakaz dzielenia przez liczbę z przecinkiem

30. W dzieleniu pisemnym ułamków dziesiętnych pozbywamy się przecinka w dzielniku mnożąc obie liczby przez 10, 100, 1000 itd., aby dzielnik był liczbą naturalną • 31,5 • 15.75 : 0,5= 157,5 : 5 • -15 • 7 • - 5 • 25 • - 25 • = =

31. Kolejność wykonywania działań. Działania na liczbach wykonujemy w następującej kolejności: • Działania w nawiasach (zaczynamy od „najmniejszych” czyli (…) ). • Potęgowanie i pierwiastkowanie. • Mnożenie i dzielenie. • Dodawanie i odejmowanie. W podpunkcie 3 i 4 działania wykonujemy według kolejności występowania od lewej do prawej. PRZYKŁAD: 2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6najpierw mnożenie, potem dodawanie

32. 2. Zaokrąglenia

33. ZAOKRĄGLANIE LICZB • Ile masz wzrostu? • Jak daleko od twojego domu jest najbliższy sklep? • Na te pytania najczęściej nie udzielamy odpowiedzi z dokładnością do jednego milimetra. W drugim przypadku pewnie nie byłoby to nawet z dokładnością do jednego centymetra. W życiu codziennym bardzo często posługujemy się zaokrągleniami, ułatwia to komunikowanie się i pozwala na lepszą orientację w otaczającym nas świecie

34. Pamiętaj • Żeby poprawnie zaokrąglić liczbę trzeba pamiętać o jednej ważnej zasadzie • Jeżeli przed cyfrą do której zaokrąglamy stoi cyfra mniejsza od 5, zaokrąglamy w dół • Jeżeli przed cyfrą do której zaokrąglamy stoi 5 lub cyfra większa niż 5, zaokrąglamy w górę • Przy zaokrąglaniu zamiast symbolu „równa się”(=) używamy symbolu „równa się w przybliżeniu” (≈ ).

35. Zaokrąglanie liczb- zastąpienie zerami lub odrzucanie pewnej liczby jej cyfr końcowych, zgodnie z regułą zaokrąglania.Przybliżenie z nadmiarem- przybliżenie większe od liczby.Przybliżenie z niedomiarem- przybliżenie mniejsze od liczby.

36. Przybliżenie z nadmiarem ;Zamiast; W teatrze było 456 widzów, możemy powiedzieć; W teatrze było około 500 widzów.Przybliżenie z niedomiarem ;Zamiast; W teatrze było 608 widzów, możemy powiedzieć; W teatrze było około 600 widzów.

37. Ważne ! Jeżeli mówimy, że chcemy zaokrąglić liczbę do części dziesiątych, pozostawiamy tylko jedną cyfrę po przecinku (po zaokrągleniu), setnych części - 2 cyfry po przecinku, tysięcznych części - 3 i tak dalej. Przykład:Zaokrąglenie do części dziesiątych;246,445 ≈ 246,4Zaokrąglenie do części setnych; 0,(64) = 0,646464 ... ≈ 0,65

38. Przykłady 0,321 ≈ 0,32 12,789 ≈ 12,8 9,98 ≈ 10 159,9 ≈ 160 15,895 ≈ 15,9 56,875 ≈ 56,9

39. 3. System rzymski

40. Podstawowe znaki I – 1 V – 5 X – 10 L – 50 C – 100 D – 500 M - 1000 • Pisząc liczby w systemie rzymskim, pamiętaj o zasadach: • bezpośrednio przed V i X można zapisać tylko znak I • bezpośrednio przed L i C można zapisać tylko znak X • bezpośrednio przed D i M można zapisać tylko znak C • Jednakowe znaki I, X, C lub M można zapisać obok siebie najwyżej trzy razy • znaki V, L i D nie mogą być powtórzone obok siebie

41. Aby wskazać liczbę, którą zapisano cyframi rzymskimi, wykorzystujemy dodawanie, jak pokazują przykłady: • III = 1+1+1= 3 • XXXII = 10+10+10+1+1 = 32 • CCCV = 100+100+100+5 =305 • MMMX = 1000+1000+1000+10 = 3010 • MMDCCLXI = 1000+1000+500+100+100+50+10+1 = 2761 • Ale gdy znak oznaczający mniejszą liczbę umieszczamy przed znakiem oznaczającym większą , stosujemy odejmowanie • IV = 5-1 = 4 IX = 10-1 = 9 • XL = 50-10 = 40 XC = 100-10 = 90 • CD = 500-100 = 400 CM = 1000-100 = 900

42. Jak zapisać duże liczby ? 1562 – MDLXII 2453 – MMCDLII 360 – CCCXL 52 – LII 3589 - MMMDLXXXIX

43. Zadanie 1 Podane daty zapisz w postaci znaków rzymskich. a) 1568 b) 2012 c) 520 d) 999

44. Rozwiązanie a) MDLXVIII b) MMXII c) DXX d) CMXCIX

45. Zadanie 2 Odczytaj daty i podaj wydarzenia z nimi związane. a) MCDX b) MCMXVIII c) CMLXVI d) MCMXXXIX

46. Odpowiedzi a) 1410 – Bitwa pod Grunwaldem b) 1918 – odzyskanie przez Polskę Niepodległości c) 966 – chrzest Polski d) 1939 – wybuch II Wojny Światowej

47. 4. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne

48. Każdy ułamek zwykły można zapisać bez użycia kreski ułamkowej w postaci dziesiętnej. Liczbę przed przecinkiem nazywamy częścią całkowitą ułamka, a po przecinku - częścią ułamkową.Zapis taki nazywamy liczbą dziesiętną.

49. Ułamki dziesiętne • Ułamki o mianownikach 10,100, 1000, 10000 itd.. nazywamy ułamkami dziesiętnymi. Zapis ułamka za pomocą przecinka nazywamy postacią dziesiętną. = 1,01 = 0,1 = 3,06789

50. Każda liczba mająca rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe jest liczbą wymierną Jeśli podzielimy licznik ułamka przez jego mianownik otrzymamy rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego • Rozwinięcie dziesiętne może być skończone np.: • Rozwinięcie dziesiętne może być nieskończone okresowe np.: