Matematikk på Vg2 - og Vg3 - nivå: Undervisning som skaper forståelse og læring

1. Matematikk på Vg2 - og Vg3 - nivå:Undervisning som skaper forståelse og læring Anne-Mari Jensen, 30.03.2009

2. Bakgrunn: • Mange år med samvittighetsfull gjennomgåelse av nytt stoff, hvorpå elevene regnet oppgaver og jeg gikk rundt for å hjelpe. Arbeidsplanen ble laget ved å ta antall kapitler og dele på antall timer. Samme opplegg hver time… • Ble utfordret på • Læringssyn • Fagsyn • Undervisningssyn

3. Læring – hvordan lærer elevene best? • Det man lærer, bygger på det man kan. • Kunnskap kan ikke ”overføres direkte” fra lærer til elev. Den enkelte må selv tilegne seg og forstå stoffet. • Man lærer i et sosialt fellesskap • Viktig å variere arbeidsformene, - flere innfallsvinkler, flere strategier, - målet er bedre forståelse

4. Fagsyn – hva er matematikk? • Regning? • Vitenskapen om tall? • Oppgaveløsning? • Regler og formler? • Mønstrenes vitenskap? • Kreativ, utfordrende og intuitiv aktivitet? • Løsning av ekte opplevde problemer? • Søken etter sannhet og skjønnhet?

5. Tre ulike oppfatninger blant eleverLena Lindenskov • ”Matematik er at regne stykker, som andre har formuleret” • ”Matematik er en samling regler, sat af andre” • ”Matematik er instrument for menneskelige intentioner” ”Teknologien giver os stadig kraftigere regneredskaber, så det bliver stadig vigtigere at kunne formulere matematiske spørgsmål i stedet for at svare på andres spørgsmål, og det bliver vigtigere at opfatte matematikk som et undersøgende og diskuterende fag”

6. God læring i matematikk innebærer • Å lete etter løsninger, ikke bare memorere prosedyrer • Å undersøke mønster, ikke bare pugge formler • Å formulere antagelser og teste dem ut, ikke bare produsere oppgaveløsninger

7. Ja, men.. • Matematikk på Vg2 og Vg3 er teoretisk.. Hvordan kan vi løsrive oss fra oppgaver som andre har formulert eller å lære en samling regler som andre har satt? • Vi skal ha med det også!

8. Undervisningssyn ”The teaching triad” Barbara Jaworski • Management of learning • Organisering av læringsarbeidet • Sensitivity to students • Se den enkelte elev, • Mathematical challenge • Faglig og didaktisk kompetanse

9. Tenk variasjon i arbeidsformer • Problemløsning • Modellering • Leting etter mønster, systemer og sammenhenger • Gjetting, refleksjon og vurdering av løsninger • Lytting, argumentasjon og forhandling • Skriving og presentasjon av resultater

10. Variasjon i arbeidsformer er ikke synonymt med å bare arbeide med konkreter • Men av og til er konkreter nyttige, f.eks: • Ved innføring av radianer (pappsirkel og hyssing med radiens lengde) • Lage enkle 3D-modeller • I kombinatorikken: Bruk mynter, terninger kortstokker osv

11. Problemløsning Når teoretisk stoff skal læres, er det ofte mulig å presentere det som et problem • Eks: Derivasjon Går det an å beskrive hvordan en funksjon endrer seg i ett bestemt øyeblikk / ett bestemt punkt? Hvordan skulle vi velge å beskrive det? Hvilke opplysninger vil i tilfelle være nødvendige?

12. Problemorientert tilnærming forts • Eks: ”Forske” i for eksempel GeoGebra på egenskapene til skjæringspunktene mellom ulike linjer i trekanter • Tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen • Hvordan finne arealet av områder som helt eller delvis er avgrenset av krumme linjer? • Hvordan oversette et praktisk problem til matematikkspråket?

13. Modellering Lærebøkene har mange oppgaver, men ”virkeligheten” gir oss også et tilfang av data: • Vi får oppgaver uten fasit, - og matematikken får betydning utenfor lærebok og mattetime • Eks: Gjøre konkrete målinger. Finne en funksjon som ser ut til å passe med målte data. Diskutere gyldighetsområde, evt. teste ut. Vurdere ulike modeller. • Eller la elevene finne data innenfor eget interessefelt

14. Eksempler • Måledata fra naturfagene • Data fra statistisk sentralbyrå (ssb.no): • Befolkning, helse og sosial, utdanning, økonomi, mm • Data fra yr.no • Beuforts vindskala – regne fra knop til m/s • Tidevannstabeller – regresjon til sinusfunksjon

15. Leting etter mønster, systemer og sammenhenger • Eks: Følger og rekker • La elevene lage følger eller rekker selv. Analysere hverandres forslag, finne systemet og prøve å skrive det generelle leddet. Er det mulig å finne et generelt uttrykk for summen av rekkene? • Systematisere rekker etter hvordan de er oppbygd – skille ut de aritmetiske og geometriske rekkene

16. Forske på funksjoner av samme type (andregrads-, tredjegrads-, eksponential-funksjoner osv.): Hva skjer når man endrer én og én parameter? • Tegne første- og andrederiverte til flere funksjoner av samme type: Lete etter sammenhenger mellom grafene til funksjonene og deres deriverte • Pascals talltrekant

17. Gjetting, refleksjon og vurdering av løsninger • Å gjette gir øvelse i å anslå, fokus på oppgavens problem • Hva slags løsning forventer vi? • Refleksjon over løsninger • Hva hvis…? Hva hvis ikke? Hvorfor blir det slik? Hva kan forandre resultatet? • Viktig å kunne vurdere en løsning – • Hvor god er modellen? Hvor godt stemmer den overens med målte data / virkeligheten? • Hva er et fornuftig gyldighetsområde?

18. Samtale og samarbeid – grunnleggende ferdigheter • Utnytt potensialet som ligger i at elevene samarbeider, argumenterer, diskuterer løsninger og løsningsstrategier. • God læring i å ”undervise” hverandre. • Gi elevene øving i å skrive, formulere matematikk med egne ”ord”. • Gi elevene øving i å lese matematikktekster.

19. ”Men det er jo lærerens ansvar å forklare hvordan det er…” • Ja. Vårt ansvar er – så godt vi kan - å se til at elevene forstår og lærer stoffet • Vi må kunne forklare • Og vi må kunne lytte • Og legge opp effektive arbeidsøkter: • Starte med et tilbakeblikk: oppsummere det elevene kan fra før eller se tilbake til forrige time og til hjemmearbeidet • Og gjøre det klart hva som er målene for læring i arbeidsøkta • Ved øktas avslutning: Oppsummere. Hva var hovedpunktene? Hva har vi lært?

20. ”Det som betyr noe er det som blir vurdert og gir grunnlag for karakterer” • Hvis bare skriftlige prøver er grunnlag for karakter, kan det være tilstrekkelig å satse på å lære metoder og regler for oppgaveløsning (?) • Hvis andre ferdigheter er viktige, må vi lage situasjoner der de blir vurdert • K 06: Elevene skal kunne bruke alle de fem grunnleggende ferdighetene i faget. Det må gjenspeiles i vurderingspraksisen

21. ”Lærerkompetanser og elevers læring i førskole og skole” – på grunnlag av 70 publiserte undersøkelser fra perioden 1998 – 2007 om sammenhengen mellom manifeste lærerkompetanser og elevenes læring • Et systematisk review utført for Kunnskapsdepartementet, Oslo av Dansk Clearinghouse for Utdannelsesforskning København 2008

22. Lærerens undervisningshandlinger er den faktoren som i størst utstrekning forklarer elevens femgang i læring

23. Undervisning som fremmer læring • Synlig og klar ledelse og helklasse -undervisning (plenum) er bedre enn prosjekt og gruppearbeide • Effektive lærere veksler mellom forskjellige undervisningsformer • Problemorientert undervisning framfor utenatlæring av algoritmiske teknikker • Lærere med en kombinasjon av solid faglig og didaktisk kunnskap fremmer elevlæring

24. Konneksjonistisk orientert undervisning, hvor undervisningsinnholdet relateres til mange forskjellige sammenhenger, er positivt korrelert med elevenes læring. • Det er en forutsetning for en effektiv undervisning i et fag at den ønskede læringen befinner seg innenfor elevenes læringspotensial • Lærere som oppfordrer elevene til metakognisjon, bidrar til økt elevlæring

25. Viktige lærerkompetanser • Relasjonskompetanse • Regelledelseskompetanse • Didaktikkompetanse

26. Vi ønsker mer enn god læring - - Vi ønsker også at elevene velger utdanning og yrke hvor de får bruk for realfagene …

27. Prosjekt i 3MX • ”Jeg likte dette prosjektet veldig godt, ikke bare fordi det var utfordrende å stå uten en problemstilling, men også fordi det gav meg et inntrykk av hvordan man kan få bruk for matematikk i arbeidslivet. For meg ble dette prosjektet også en motivasjonsfaktor for det videre arbeidet med matematikken, siden jeg fikk en bedre forståelse av hvordan vi kunne benytte oss av matematikken. - At det ikke bare var masse tall, likninger og funksjoner, men at vi faktisk kunne bruke den kunnskapen vi hadde fått opp gjennom årene til å finne svar på problemstillinger. Det var MEGAMORSOMT! :)”