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INTEGRAL CALIBRADO. Integral de Riemann Generalizado Integral de Henstock-Kurzweil. Definições de INTEGRAL. Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral Impróprio de Riemann Integral Calibrado Ralph Henstock (1955) Jaroslav Kurzweil (1957). Definições de INTEGRAL.

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INTEGRAL CALIBRADO

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Presentation Transcript


Integral calibrado l.jpg

INTEGRAL CALIBRADO

Integral de Riemann Generalizado

Integral de Henstock-Kurzweil

Maria Cristina Gonçalves Silveira de Serpa


Defini es de integral l.jpg

Definições de INTEGRAL

  • Integral de Riemann

  • Integral de Lebesgue

  • Integral Impróprio de Riemann

  • Integral Calibrado

    Ralph Henstock (1955)

    Jaroslav Kurzweil (1957)


Defini es de integral3 l.jpg

Definições de INTEGRAL

Integral Calibrado

Integral de Lebesgue

  • Integral Impróprio de Riemann

Integral de Riemann


A defini o de integral de riemann l.jpg

A definição deIntegral de Riemann

Sejam f: [a,b]→R uma função e V ∈R.

V é o integral de Riemann de f e escreve-se

V= se, para cada Ɛ > 0, Ǝ δ > 0, tal que:

∀ n ∈N e os números t0,t1 , t2 ,…, tn e s1, s2 ,…, sn,

satisfazendo a = t0 ≤ s1 ≤ t1 ≤ s2 ≤ t2 ≤…≤ tn-1 ≤ sn ≤ tn = b

e ti - ti-1 < δ, para todo o i, então


A defini o de integral calibrado l.jpg

Sejam f: [a,b]→R uma função e V ∈R.

V é o integral calibrado de f e escreve-se

V= se, para cada Ɛ > 0, Ǝ δ: [a,b] → (0,+∞):

∀ n ∈N e os números t0, t1 , t2 ,…, tn e s1, s2 ,…, sn,

satisfazendo a = t0 ≤ s1 ≤ t1 ≤ s2 ≤ t2 ≤…≤ tn-1 ≤ sn ≤ tn = b

e ti - ti-1 < δ(si), para todo o i, então

A definição deIntegral Calibrado


O que h de novo l.jpg

O que há de novo?

--- δ ---

  • Integral de Riemann

    • δ é uma constante positiva

  • Integral Calibrado

    • δ é uma função positiva, chamada calibre


Exemplo com integral calibrado l.jpg

Exemplo comIntegral Calibrado

Temos:

Dado Ɛ > 0, seja e para s > 0, δ(s) > 0 é tal que:

Demonstração:

Seja f uma função tal que:

Com a definição integral calibrado, temos:


Exemplo com integral calibrado8 l.jpg

Exemplo comIntegral Calibrado

Logo, , pelo que concluímos que existe uma

função δ, nas condições exigidas para mostrarmos que

Concretizando, podemos considerar a função:

, que satisfaz as condições.


Exemplo com integral calibrado9 l.jpg

Exemplo comIntegral Calibrado


Teorema fundamental do c lculo l.jpg

Teorema Fundamental do Cálculo

Sejam F:[a,b] → R, uma função diferenciável e f a sua derivada:

F’(x) = f(x), para cada x ∈ [a,b]. Então, f é integrável em [a,b] e

tem-se:

Temos então um calibre δ sobre [a,b].

Seja para cada 1 ≤ j ≤ m, xj – δ(xj) ≤ aj-1 ≤ xj ≤ aj ≤ xj+ δ(xj)

Demonstração:

Fixado Ɛ > 0. Para cada x ∈ [a,b], como F’(x) = f(x), Ǝ δ(x) > 0, tal que,

para cada u ∈[a,b] ∩ [x –δ(x),x +δ(x)], temos:


Teorema fundamental do c lculo11 l.jpg

Teorema Fundamental do Cálculo


Teorema fundamental do c lculo12 l.jpg

Teorema Fundamental do Cálculo


Teorema da converg ncia mon tona l.jpg

Teorema da Convergência Monótona

Sejam f : I → R uma função e fk : I → R , k ∈N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições:

  • A sucessão (fk)k converge pontualmente para f

  • A sucessão (fk)k é monótona

  • Cada função fk é integrável

  • A sucessão real (∫I fk)k tem limite finito

    Então f é integrável em I e ∫I f = lim ∫I fk

    K → ∞

    Este Teorema não é aplicável ao Integral de Riemann


Teorema da converg ncia mon tona14 l.jpg

Teorema da Convergência Monótona

Corolário

Sejam f : I → R uma função e fk : I → R , k ∈N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições:

  • A série Σkfk converge pontualmente para f

  • Para cada k ∈ N e cada x ∈ I, temos fk (x) ≥ 0

  • Cada função fk é integrável

  • A série Σk (∫I fk)k converge

    Então f é integrável em I e


Teorema da converg ncia dominada l.jpg

Teorema da Convergência Dominada

Este Teorema não é aplicável ao Integral de Riemann

Lema: Sejam f1, f2, …, fn : I → R funções integráveis

Se existe uma função integrável g: I → R tal que, para cada x ∈ I e 1 ≤ k ≤ n tem-se: g(x) ≤ fk(x),

então também são integráveis:

min {f1, f2, …, fn} e max {f1, f2, …, fn}


Teorema da converg ncia dominada16 l.jpg

Teorema da Convergência Dominada

Sejam f : I → R uma função e fk : I → R , k ∈N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições:

  • A sucessão (fk)k converge pontualmente para f

  • Cada função fk é integrável

  • Existem duas funções g, h : I → R tal que g(x) ≤ fk(x) ≤ h(x), para cada k ∈I

    Então a sucessão (∫I fk)k tem limite finito, f é integrável em I e


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