1 / 80

第 三 章 集 合 与 关 系

第 三 章 集 合 与 关 系. 第三章 集合与关系. 3-1 集合的概念和表示. 3-7 复合关系和逆关系. 3-2 集合运算. 3-8 关系的闭包运算. *3-3 包含排斥原理. 3-9 集合的划分与覆盖. 3-4 序偶与笛卡尔积. 3-10 等价关系与等价类. 3-5 关系及其表示. 3-11 相容关系. 3-6 关系的性质. 3-12 序关系. 3-1 集合的基本概念.

bud
Download Presentation

第 三 章 集 合 与 关 系

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第 三 章 集 合 与 关 系

  2. 第三章集合与关系 3-1 集合的概念和表示 3-7 复合关系和逆关系 3-2 集合运算 3-8 关系的闭包运算 *3-3 包含排斥原理 3-9 集合的划分与覆盖 3-4 序偶与笛卡尔积 3-10 等价关系与等价类 3-5 关系及其表示 3-11 相容关系 3-6 关系的性质 3-12 序关系

  3. 3-1 集合的基本概念 Cantor描述定义:把一些确定的、彼此不同的事物汇集到一起组成一个整体即为集合。 组成集合的对象称为集合的成员（member） 或元素（elements）。 一般用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。 例如A表示一个集合，a表示元素，如果a是A的元素，记为：aA，读作“a属于A”、“a是A的元素”、“a是A的成员”、 “a在A之中”、“A 包含a”。 如果A不是A的元素，记为： aA，读作“a不属于A ”、

  4. 集合的规定方式有三种： （l）列举法 将集合的元素列举出来。 （2）描述法 利用一项规则（一个谓词公式），描述集合中的元素的共同性质，以便决定某一物体是否属于该集合。 （3）归纳法 用递归方法定义集合。

  5. 空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集（finite sets），否则称为无限集（infinite sets）。有限集合中元素的个数称为集合的基数（cardinality） 集合A的基数表示为 A。

  6. 外延公理 两个集合 A和B相等当且仅当它们具有相同的元素。即对任意集合A、B, A=B x(xAxB) 概括公理 对任意个体域，任一谓词公式都确定一个以该域中的对象为元素的集合。即对给定个体域U，对任意谓词公式P(x)，存在集合S，使得 S＝{x xU∧P(x)} 抽象原理 对任意谓词公式P(x)，均存在集合S，使得 S = {xP(x)}

  7. 定义3-1.1设A、B是任意两个集合，如果A的每一个元素都是B的元素，则称集合A是集合B的子集合（或子集，subsets），或称A包含在B内，记为AB ；或称B包含A，记为BA。 即 ABx(xAxB) 设A，B，C为任意集合，根据定义，显然有： 包含关系具有自反性：A  A 包含关系具有传递性：若A  B且B  C，则A  C。

  8. 定理3-1.1 对任意集合A，B，A＝B当且仅当A  B且B  A 。即 A＝BA  B ∧ B  A 。 证明思路：第一步先证充分性： A＝B A  B ∧ B  A （见P-83页倒数第2段） 第二步再证必要性： A＝B  A  B ∧ B  A （或A  B ∧ B  A  A＝B ） （见P-83页倒数第1段）。 

  9. 定义3-1.2如果AB且AB，则称集合A是集合B的真子集，“A是B的真子集”，记为AB。定义3-1.2如果AB且AB，则称集合A是集合B的真子集，“A是B的真子集”，记为AB。 A  Bx(xAxB) ∧x(xA ∧xB) A  B A  B∧A  B 定义3-1.3不包含任何元素的集合是空集，记为。 定理3-1.2 对任何集合A，A。即空集是任意集合的子集。 证明：反证法。 空集是唯一的

  10. 定义3-1.4在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记为E。即定义3-1.4在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记为E。即 x(xE)恒真 或E={ x | p(x) ∨ p(x) } 定义3-1.5 对任意集合A，ρ(A)称为A的幂集（Power set）定义为 ρ(A)＝｛x | xA ｝ 即A的全体子集构成A的幂集。此种运算称为集合A的求幂运算。 定理3-1.3 设 A 为一有限集合，A n，那么 A的子集个数为2n。

  11. 定理3-1.3 设 A 为一有限集合，A n，那么 A的幂集ρ(A)的元素个数为2n。  证明思路：利用从n个元素中选k个元素来组成子集，计算所有可能的选法为Cnk种， n 子集的总数是Cn1 + Cn2 + … + Cnn =  Cnk k=1 n 根据二项式定理(x+y)n=  Cnk · xk · yn-k k=1 再令x=1，y=1，代入上式后定理得证。 幂集的元素可以对子集合的脚标用二进制编码来唯一地确定。具体方法见P-85页。

  12. E A B A∩B 3-2 集合运算 定义3-2.1设A、B是任意两个集合， 由A和B的所有共同元素组成的集合S，则称集合S是集合A和B的交集，记为A∩B。即 S=A∩B ={ x | (xA) ∧ (xB) } A∩B的文图如下：

  13. 交运算性质： a) A∩A=A 幂等律 b) A∩ =  0律 c) A∩E = A 同一律 d) A∩B = B∩A交换律 e) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 结合律 对e)的证明思路：根据交运算的定义，利用谓词逻辑中的联结词“∧”的结合律推导，再利用交运算的定义，转换为集合交运算“∩”的结合律。 详细证明过程见P-88页。 

  14. 例2 (1) ABA C B  C (2) AB C  D  A C B D 保序性

  15. E A B A∪B 定义3-2.2设A、B是任意两个集合， 由所有属于A或属于B的元素组成的集合S，称集合S是集合A和B的并集，记为A∪B。即 S=A∪B ={ x | (xA) ∨(xB) } A∪B的文图如下：

  16. 并运算性质： a) A∪A=A 幂等律 b) A∪ =A同一律 c) A∪E =E 1律 d) A∪B = B∪A交换律 e) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 结合律 对e)的证明思路：根据并运算的定义，利用谓词逻辑中的联结词“∨”的结合律推导，再利用并运算的定义，转换为集合并运算“∪”的结合律。

  17. 例3 (1) ABA C B  C (2) AB C  D  A  C B  D 保序性

  18. 定理3-2.1 设 A、B、C 为三个集合，则下列分配律成立： a) A (BC)=(AB)(AC)（交对并分配） b) A (BC)=(AB)(AC)（并对交分配） 。 证明思路： 根据并运算和交运算的定义， 先证： 等式的左端 等式的右端。 对任意x 左端  x 右端 再证： 等式的右端 等式的左端。 对任意x 右端  x 左端 

  19. 定理3-2.2 设 A、B 为任意两个集合，则下列关系式（吸收律）成立： a) A (AB)=A b) A (AB)=A 证明思路： 先证a) ：根据1律，将等式左端的第一个A换成 “A  E”，再根据分配律提出A，得到A （EB），再根据1律即得右端。 再证b) ：根据幂等律，将等式左端的第一个A换成“A A”，再根据分配律提出A，得到A（A  B），再根据刚证出的a)式即得右端。 

  20. 定理3-2.3 A  B 当且仅当 AB=B或AB=A成立。 证明思路：本定理表示成如下两式： a) ABAB=B b)AB AB=A a)式的证明步骤： 先证 AB AB=B:以“AB”为条件推导出 “AB=B”的结论。 再证AB=B AB : 以“AB=B”为条件推导出“AB”的结论。 b)式的证明步骤与a)式类似。 

  21. E A A– 定义3-2.4设E是全集，对于任意集合,A关于E补集E-A,称集合E-A是集合A的绝对补，记为A–。即 S= E-A ={ x | (xE) ∧(xA) } ={ x | (xE) ∧(xA) } A–的文图如下：

  22. 定义3-2.3设A、B是任意两个集合， 由所有属于A或而不属于B的元素组成的集合S，称集合S是集合B和对于集合A的补集，或相对补，记为A-B，又称为A与B的差。即 S=A-B ={ x | (xA) ∧(xB) } ={ x | (xA) ∧(xB) } A-B的文图如下： E A B A-B

  23. 补集的性质: 对任意集合 A，B，C，下式成立: a) A - B＝AB– A - B＝A - (AB) b) A - A＝ A - ＝A A – E =  c) A - (BC)＝(A - B)(A - C) A - (BC)＝(A - B)(A - C） (见定理3-2.5) 0-1律 分配律 d)    A––＝A （双重否定律） e)     E–＝ –＝E f) AA–＝E AA–＝ g) (AB)–＝A– B– (AB)–＝A– B– 补余律 互否律 德·摩根律(见定理3-2.4)

  24.  德·摩根律(见定理3-2.4) 的证明: (AB)–＝{ x | x (AB)– } ＝{ x | x (AB) } ＝{ x | (xA ) ∧(xB) } ＝{ x | (x  A– ) ∧(x  B–) } ＝A– B– (AB)–＝A– B–的证明同上。   定理3-2.5第2式A - B＝A - (AB)的证明思路: 先证A - B  A - (AB) 从对于任意的 x A - B出发，推出xA - (AB) 再证A - (AB) A - B 从对于任意的xA - (AB)出发，推出x A - B 

  25. 定理3-2.6 对任意集合A、B 、C，下式成立： A  (B -C)＝ (A  B ) - ( A  C)  证明思路: 先将“- ”运算转换成“”运算，利用“运算结合律”和“德·摩根律”进行集合运算。  定理3-2.7 对任意集合A , B ,若A B,则 a)B–A– b)(B-A)A=B  证明思路: a)A B 若 xA则xB 若非xB则非xA 若 xB–则xA– B–A– b)先将“- ”运算转换成“”运算，利用“运算分配律”进行集合运算。 

  26. 定理3-2.8 对任意集合A，B．若它们满足 （l）AB＝U （2）AB＝ 那么B＝A– 定理3-2.9 设A,B为任意集合, AB当且仅当 ρ(A) ρ(B) 。

  27. 定义3-2.5设A、B是任意两个集合，A和B的对称差为集合S，其元素或属于A，或属于B，但不能即属于A又属于B，的元素组成的集合S，记为A⊕B。即定义3-2.5设A、B是任意两个集合，A和B的对称差为集合S，其元素或属于A，或属于B，但不能即属于A又属于B，的元素组成的集合S，记为A⊕B。即 S=A⊕B=(A-B) (B-A) = { x | (xA) ∨(xB) } A ⊕B的文图如下： E A B A⊕B

  28. 对称差的性质:对任意集合 A，B，C，下式成立: a) A ⊕ B＝ B ⊕ A交换律 b)A ⊕ ＝ A c) A ⊕ A ＝ d)   A ⊕ B＝ (A  B– )(A– B） e)   (A ⊕ B)⊕ C=A ⊕(B ⊕ C) 结合律 结合律e)式的证明思路: 见P-92页~94页。  定义3-2.6 若集合C的每个元素都是集合，则称C为集合族 （collections）。若集合族C可表示为 C =｛Sd|d D｝ 则称 D为集合族的标志集（index set）。

  29. 3-4 序偶与笛卡尔积 设x，y为任意对象，称集合<x,y>为二元有序组，或序偶（ordered pairs）。称x为<x,y>的第一分量，称y为第二分量。 定义3-4.1 对任意序偶<a，b> , <c, d >, <a，b> = <c, d >当且仅当a＝c且b = d。 递归定义n元序组<a1，… , an> <a1 , a2 , a3 > = < <a1 , a2 >, a3 > … … … … <a1，…an>=<<a1，…an-1>, an>

  30. 两个n元序组相等 <a1，… , an>= <b1，… , bn>(a1=b1) ∧…∧(an=bn) 定义3-4.2 对任意集合 A1，A2 , …，An， （1）A , B 的笛卡尔积(Cartesian product)或直积，定义为集合 A B=｛ <u,v>u A∧vB｝ （2）递归地定义 A1  A2  …  An A1A2 … An= (A1A2 … An-1 )An 当A1=A2 =…=An=A时， AA… A简记为An 由例题1可知，一般情况下，笛卡尔积不满足交换律和结合律。

  31. 定理3-4.1 设A, B, C为任意集合，*表示 ，或 – 运算，那么有如下结论： （1）笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即： A(B*C)＝(A B)*(AC) （2）笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即： (B*C)A＝(BA)*(CA)  当*表示 时，结论（1）的证明思路:(讨论叙述法)先证明A(B  C)  (A B) (AC) 从<x,y>∈A(BC)出发，推出<x,y>∈(AB)(AC) 再证明(A B) (AC)  A(B  C) 从<x,y>∈(AB)(AC)出发，推出<x,y>∈A(BC) 当*表示 时，结论（2）的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。 

  32. 定理3-4.2 设A, B, C为任意集合，若C ≠ ，那么有如下结论： AB(A C BC)(CACB)  定理前半部分证明思路:(谓词演算法) 先证明AB(A C BC) 以AB为条件，从<x,y>∈AC出发，推出<x,y>∈BC 得出(A C BC)结论。 再证明(A C BC)AB 以C≠为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用附加式，推出x∈B 得出(A B)结论。 见P-103页。 

  33. 定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合，那么有如下结论： AB  CD的充分必要条件是AC，B D 证明思路:(谓词演算法) 先证明充分性： AB CD AC，BD 对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>∈AB出发，利用条件AB CD， <x,y>∈CD，推出x∈C， y∈D。 再证明必要性： AC，BDAB CD 对于任意的x∈A、y∈B，从<x,y>∈AB出发，推出<x,y>∈CD。 见P-104页。 

  34. 3-5 关系及其表示 定义3-5.1 任一序偶的集合确定一个二元关系R，R中的任一序偶<x,y>可记为<x,y>∈R，或xRy。不在R中序偶<x,y>记为<x,y>R，或xRy。 定义3-5.2 R为一个二元关系， 由<x,y>∈R的所有x组成的集合domR称为R的前域，即 domR =｛x| (y)(<x,y>∈R)｝ 由<x,y>∈R的所有y组成的集合ranR称为R的值域，即 ranR =｛ y | (x)(<x,y>∈R)｝ R的前域和值域一起称作R的域，记为FLDR，即 FLDR= domR ranR。

  35. 定义3-5.3 令A和B是任意两个集合，直积AB的子集 R称为X到Y的二元关系。 x3  y1 x1  y3   x4  y2 x2   y4  x5 y5 A   y6 R  B domR ranR

  36. 几个特殊的二元关系 domR A ranR B FLDR= domR ranR  AB AB, 称为A到B的空关系。 ABAB，称AB为A到B的全关系。 IA=｛<x,x>|xA｝,称为A上恒等关系。(定义3-5 .4)

  37. 有限集合上的二元关系的图形表示： 设给定两个有限集合X=｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, y2 ，… , yn｝ 。R为从X到Y的一个二元关系。分别用m个结点表示x1, x2 ，… , xm，用n个结点表示y1, y2 ，… , yn。如果< xi, yj >R，则自结点xi向结点yj做一有向弧，箭头指向yj；如果< xi, yj >R，则自结点xi到结点yj之间不做有向弧。 x3  y1 x1  y3   x4  y2 x2   y4  x5 y5   y6 R  X Y 见P109页例题7、8。

  38. 有限集合上的二元关系的矩阵表示： 设给定两个有限集合X=｛x1, x2 ，… , xm｝, Y =｛y1, y2 ，… , yn｝ 。R为从X到Y的一个二元关系。则对应于关系R有一个矩阵MR=[rij]m×n,其中 1 当< xi, yj >R rij = 0当< xi, yj >R (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 示例见P108页例题5、6。

  39. 3-6 关系的性质 定义3-6.1设关系R是定义在集合X上的二元关系，如果对任意xX，均有xRx ，则称R是自反的（reflexive）。即： R在X上自反x(xX→xRx) 定义3-6.2设关系R是定义在集合X上的二元关系，如果对任意x,yA，xRy蕴涵yRx，则称R是对称的（symmetic）。即： R在X上 对称xy(x,yX∧xRy→yRx) 示例见P111页例题1。

  40. 定义3-6.3设关系R是定义在集合X上的二元关系，如果对任意x,y,zX，xRy且yRz蕴涵xRz，则称R是传递的（transitive）。即：定义3-6.3设关系R是定义在集合X上的二元关系，如果对任意x,y,zX，xRy且yRz蕴涵xRz，则称R是传递的（transitive）。即： R在X上传递xyz(x,y,zX∧xRy∧yRz→xRz) 示例见P111页例题2。 定义3-6.4设关系R是定义在集合X上的二元关系，如果对任意xA，xRx均不成立，则称R是反自反的（irreflexive）。 即： R在X上反自反x(xX→┐xRx) 示例见P111页例题3。

  41. 定义3-6.5设关系R是定义在集合X上的二元关系，如果对任意x,yA，xRy且yRx蕴涵x＝y，称R是反对称的（antisymmetric）。 即： R在X上反对称xy(x,yX∧xRy∧yRx→x=y) 或者： R反对称xy(x,yX∧x≠y∧xRy→┐yRx) 因为两个定义式是等价的： (xRy)∧(yRx)→(x=y)(x≠y)∧(xRy)→(┐yRx) 证明过程见P-112页。 

  42. （1）若关系R是自反的，当且仅当在关系矩阵中，对角线上的所有元素都是1，在关系图上每个结点都有自环。（1）若关系R是自反的，当且仅当在关系矩阵中，对角线上的所有元素都是1，在关系图上每个结点都有自环。 （2）若关系R是反自反的，当且仅当在关系矩阵中，对角线上的所有元素都是0，在关系图上每个结点都无自环。 （3）若关系R是对称的，当且仅当在关系矩阵是对称的，且在关系图上，任两个结点间若有定向弧线，必是成对出现的。 （4）若关系R是反对称的，当且仅当在关系矩阵中，以主对角线对称的元素不能同时为1，在关系图上两个结点间的定向弧线不可能成对出现。

  43. 关系的运算 关系并、交、补、差运算 定理3-5.1 若Z和S是从集合X到集合Y的两个关系，则Z、S的并、交、补、差仍是从集合X到集合Y的关系。 证明思路：根据“关系是直积的子集”立即可得。 

  44. 3-7 复合关系和逆关系 定义3-7.1 设R为X到Y的二元关系，S为Y到Z的二元关系，那么RS为X到Z的二元关系，称为关系R与S的合成（compositions），定义为 RS=｛<x,z>xX∧zZ∧y(yY∧xRy∧yRz)｝ 两个关系的合成运算可以推广到多个。例如： RS P、 RS PQ等。且合成运算满足结合律。即： （RS） P = R（S P） 关系R自身合成n次可以记为：R R  ... R= R(n)

  45. 合成关系的矩阵计算： 设X=｛x1 ,…, xm｝，Y=｛y1 ,…, yn｝，Z=｛z1 ,…, zp｝,RXY，SYZ，MR=[uij]mn 为R的关系矩阵，MS＝[vij]np为S的关系矩阵。那么，合成关系R  S的关系矩阵MRS＝[wij]为一mp矩阵，其各分量wij可如下求取

  46. 定义3-7.2设R是X到Y的关系，R的逆关系或逆（converse）是Y到X的关系，是将R中的每一序偶的元素顺序互换所得到的。记为Rc，规定为：定义3-7.2设R是X到Y的关系，R的逆关系或逆（converse）是Y到X的关系，是将R中的每一序偶的元素顺序互换所得到的。记为Rc，规定为： Rc= ｛<y,x>  xRy｝ 定理3-7.1 设R和S都是A到B的二元关系，为,  , - 运算，那么 （1） (Rc)c = R （2）( R¯)c= (Rc)¯ （3）(RS)c= Rc Sc （4）R  S当且仅当 Rc Sc （5）(R  S)c= Sc  Rc 证明思路：对< x, y >(RS)c 

  47. 定理3-7.2 设T为X到Y的二元关系，S为Y到Z的二元关系，那么 (TS)c= Sc Tc 证明思路： < z, x>  (TS)c <x,z>  TS  y(yY∧ <x,y> T ∧<y,z> S )  y(yY∧ < y,x > Tc ∧ < z,y > Sc )  y(yY∧ < z,y > Sc ∧ < y,x > Tc)  < z, x >  Sc Tc 

  48. 定理3-7.3 设R为X上的二元关系，那么 a)R是对称的当且仅当R=Rc b)R是反对称的当且仅当R  Rc IX  a)证明思路：先证 R是对称的 R=Rc 若R是对称的, <x, y>R  <y, x>R  <x, y>Rc  R=Rc 再证 R=Rc  R是对称的 若R=Rc， <x, y>R  <y, x> Rc  <y, x> R R是对称的 

  49. 3-8 关系的闭包运算 定义3-8.1 设R是集合X上二元关系，如果有另一个二元关系R’满足： （1）R’是自反（对称的，传递的）。 （2） R’R (或RR’ )。 （3）对任意A上关系R ''，若R ''满足（1）和（2），则 R’R'’ 则称R ’为R的 自反闭包（对称闭包，传递闭包），分别记为：r(R)，( s(R)，t(R) ) 上述定义的含义： R ’是包含R的“最小”关系，如果还有包含R的关系R’’ ，那么， R’’比R ’要大。

  50. 定理3-8.1 设R是集合X上任一关系，那么 a）R自反当且仅当 r(R) = R。 b）R对称当且仅当 s(R) = R。 c）R传递当且仅当 t(R) = R。  a)证明思路：先证R自反  r(R) = R 若R是自反的，因为 RR ，且对于任何包含R的自反关系R”，都有R” R ，故R就是满足自反闭包的定义，即：r(R) = R 再证 r(R) = R  R自反 若r(R) = R 根据r(R)的定义， r(R)自反推出R自反。

More Related