第  三  章
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第 三 章 集 合 与 关 系 PowerPoint PPT Presentation


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第 三 章 集 合 与 关 系. 第三章 集合与关系. 3-1 集合的概念和表示. 3-7 复合关系和逆关系. 3-2 集合运算. 3-8 关系的闭包运算. *3-3 包含排斥原理. 3-9 集合的划分与覆盖. 3-4 序偶与笛卡尔积. 3-10 等价关系与等价类. 3-5 关系及其表示. 3-11 相容关系. 3-6 关系的性质. 3-12 序关系. 3-1 集合的基本概念.

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第 三 章 集 合 与 关 系

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第 三 章

集 合 与 关 系


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第三章集合与关系

3-1 集合的概念和表示

3-7 复合关系和逆关系

3-2 集合运算

3-8 关系的闭包运算

*3-3 包含排斥原理

3-9 集合的划分与覆盖

3-4 序偶与笛卡尔积

3-10 等价关系与等价类

3-5 关系及其表示

3-11 相容关系

3-6 关系的性质

3-12 序关系


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3-1 集合的基本概念

Cantor描述定义:把一些确定的、彼此不同的事物汇集到一起组成一个整体即为集合。

组成集合的对象称为集合的成员(member)

或元素(elements)。

一般用大写字母表示集合,用小写字母表示元素。

例如A表示一个集合,a表示元素,如果a是A的元素,记为:aA,读作“a属于A”、“a是A的元素”、“a是A的成员”、 “a在A之中”、“A 包含a”。

如果A不是A的元素,记为: aA,读作“a不属于A ”、


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集合的规定方式有三种:

(l)列举法

将集合的元素列举出来。

(2)描述法

利用一项规则(一个谓词公式),描述集合中的元素的共同性质,以便决定某一物体是否属于该集合。

(3)归纳法

用递归方法定义集合。


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空集和只含有有限多个元素的集合称为有限集(finite sets),否则称为无限集(infinite sets)。有限集合中元素的个数称为集合的基数(cardinality)

集合A的基数表示为 A。


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外延公理

两个集合 A和B相等当且仅当它们具有相同的元素。即对任意集合A、B,

A=B x(xAxB)

概括公理

对任意个体域,任一谓词公式都确定一个以该域中的对象为元素的集合。即对给定个体域U,对任意谓词公式P(x),存在集合S,使得

S={x xU∧P(x)}

抽象原理

对任意谓词公式P(x),均存在集合S,使得

S = {xP(x)}


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定义3-1.1设A、B是任意两个集合,如果A的每一个元素都是B的元素,则称集合A是集合B的子集合(或子集,subsets),或称A包含在B内,记为AB ;或称B包含A,记为BA。

ABx(xAxB)

设A,B,C为任意集合,根据定义,显然有:

包含关系具有自反性:A  A

包含关系具有传递性:若A  B且B  C,则A  C。


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定理3-1.1 对任意集合A,B,A=B当且仅当A  B且B  A 。即

A=BA  B ∧ B  A 。

证明思路:第一步先证充分性:

A=B A  B ∧ B  A

(见P-83页倒数第2段)

第二步再证必要性:

A=B  A  B ∧ B  A

(或A  B ∧ B  A  A=B )

(见P-83页倒数第1段)。 


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定义3-1.2如果AB且AB,则称集合A是集合B的真子集,“A是B的真子集”,记为AB。

A  Bx(xAxB) ∧x(xA ∧xB)

A  B A  B∧A  B

定义3-1.3不包含任何元素的集合是空集,记为。

定理3-1.2 对任何集合A,A。即空集是任意集合的子集。

证明:反证法。

空集是唯一的


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定义3-1.4在一定范围内,如果所有集合均为某一集合的子集,则称该集合为全集,记为E。即

x(xE)恒真

或E={ x | p(x) ∨ p(x) }

定义3-1.5 对任意集合A,ρ(A)称为A的幂集(Power set)定义为

ρ(A)={x | xA }

即A的全体子集构成A的幂集。此种运算称为集合A的求幂运算。

定理3-1.3 设 A 为一有限集合,A n,那么 A的子集个数为2n。


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定理3-1.3 设 A 为一有限集合,A n,那么 A的幂集ρ(A)的元素个数为2n。

 证明思路:利用从n个元素中选k个元素来组成子集,计算所有可能的选法为Cnk种,

n

子集的总数是Cn1 + Cn2 + … + Cnn =  Cnk

k=1

n

根据二项式定理(x+y)n=  Cnk · xk · yn-k

k=1

再令x=1,y=1,代入上式后定理得证。

幂集的元素可以对子集合的脚标用二进制编码来唯一地确定。具体方法见P-85页。


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E

A

B

A∩B

3-2 集合运算

定义3-2.1设A、B是任意两个集合, 由A和B的所有共同元素组成的集合S,则称集合S是集合A和B的交集,记为A∩B。即

S=A∩B ={ x | (xA) ∧ (xB) }

A∩B的文图如下:


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交运算性质:

a) A∩A=A 幂等律

b) A∩ =  0律

c) A∩E = A 同一律

d) A∩B = B∩A交换律

e) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 结合律

对e)的证明思路:根据交运算的定义,利用谓词逻辑中的联结词“∧”的结合律推导,再利用交运算的定义,转换为集合交运算“∩”的结合律。

详细证明过程见P-88页。 


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  • 例2

    (1) ABA C B  C

    (2) AB C  D  A C B D

    保序性


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E

A

B

A∪B

定义3-2.2设A、B是任意两个集合, 由所有属于A或属于B的元素组成的集合S,称集合S是集合A和B的并集,记为A∪B。即

S=A∪B ={ x | (xA) ∨(xB) }

A∪B的文图如下:


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并运算性质:

a) A∪A=A 幂等律

b) A∪ =A同一律

c) A∪E =E 1律

d) A∪B = B∪A交换律

e) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 结合律

对e)的证明思路:根据并运算的定义,利用谓词逻辑中的联结词“∨”的结合律推导,再利用并运算的定义,转换为集合并运算“∪”的结合律。


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  • 例3

    (1) ABA C B  C

    (2) AB C  D  A  C B  D

    保序性


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定理3-2.1 设 A、B、C 为三个集合,则下列分配律成立:

a) A (BC)=(AB)(AC)(交对并分配)

b) A (BC)=(AB)(AC)(并对交分配)

证明思路:

根据并运算和交运算的定义,

先证: 等式的左端 等式的右端。

对任意x 左端  x 右端

再证: 等式的右端 等式的左端。

对任意x 右端  x 左端 


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定理3-2.2 设 A、B 为任意两个集合,则下列关系式(吸收律)成立:

a) A (AB)=A

b) A (AB)=A

证明思路:

先证a) :根据1律,将等式左端的第一个A换成

“A  E”,再根据分配律提出A,得到A (EB),再根据1律即得右端。

再证b) :根据幂等律,将等式左端的第一个A换成“A A”,再根据分配律提出A,得到A(A  B),再根据刚证出的a)式即得右端。 


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定理3-2.3 A  B 当且仅当 AB=B或AB=A成立。

证明思路:本定理表示成如下两式:

a) ABAB=B

b)AB AB=A

a)式的证明步骤:

先证 AB AB=B:以“AB”为条件推导出

“AB=B”的结论。

再证AB=B AB : 以“AB=B”为条件推导出“AB”的结论。

b)式的证明步骤与a)式类似。 


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E

A

A–

定义3-2.4设E是全集,对于任意集合,A关于E补集E-A,称集合E-A是集合A的绝对补,记为A–。即

S= E-A ={ x | (xE) ∧(xA) }

={ x | (xE) ∧(xA) }

A–的文图如下:


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定义3-2.3设A、B是任意两个集合, 由所有属于A或而不属于B的元素组成的集合S,称集合S是集合B和对于集合A的补集,或相对补,记为A-B,又称为A与B的差。即

S=A-B ={ x | (xA) ∧(xB) }

={ x | (xA) ∧(xB) }

A-B的文图如下:

E

A

B

A-B


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补集的性质: 对任意集合 A,B,C,下式成立:

a) A - B=AB–

A - B=A - (AB)

b) A - A=

A - =A

A – E = 

c) A - (BC)=(A - B)(A - C)

A - (BC)=(A - B)(A - C)

(见定理3-2.5)

0-1律

分配律

d)    A––=A (双重否定律)

e)     E–=

–=E

f) AA–=E

AA–=

g) (AB)–=A– B–

(AB)–=A– B–

补余律

互否律

德·摩根律(见定理3-2.4)


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 德·摩根律(见定理3-2.4) 的证明:

(AB)–={ x | x (AB)– }

={ x | x (AB) }

={ x | (xA ) ∧(xB) }

={ x | (x  A– ) ∧(x  B–) }

=A– B–

(AB)–=A– B–的证明同上。 

 定理3-2.5第2式A - B=A - (AB)的证明思路:

先证A - B  A - (AB)

从对于任意的 x A - B出发,推出xA - (AB)

再证A - (AB) A - B

从对于任意的xA - (AB)出发,推出x A - B 


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定理3-2.6 对任意集合A、B 、C,下式成立:

A  (B -C)= (A  B ) - ( A  C)

 证明思路:

先将“- ”运算转换成“”运算,利用“运算结合律”和“德·摩根律”进行集合运算。 

定理3-2.7 对任意集合A , B ,若A B,则

a)B–A–

b)(B-A)A=B

 证明思路: a)A B 若 xA则xB 若非xB则非xA 若 xB–则xA– B–A–

b)先将“- ”运算转换成“”运算,利用“运算分配律”进行集合运算。 


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定理3-2.8 对任意集合A,B.若它们满足

(l)AB=U

(2)AB=

那么B=A–

定理3-2.9 设A,B为任意集合, AB当且仅当

ρ(A) ρ(B) 。


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定义3-2.5设A、B是任意两个集合,A和B的对称差为集合S,其元素或属于A,或属于B,但不能即属于A又属于B,的元素组成的集合S,记为A⊕B。即

S=A⊕B=(A-B) (B-A)

= { x | (xA) ∨(xB) }

A ⊕B的文图如下:

E

A

B

A⊕B


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对称差的性质:对任意集合 A,B,C,下式成立:

a) A ⊕ B= B ⊕ A交换律

b)A ⊕ = A

c) A ⊕ A =

d)   A ⊕ B= (A  B– )(A– B)

e)   (A ⊕ B)⊕ C=A ⊕(B ⊕ C) 结合律

结合律e)式的证明思路:

见P-92页~94页。 

定义3-2.6 若集合C的每个元素都是集合,则称C为集合族

(collections)。若集合族C可表示为

C ={Sd|d D}

则称 D为集合族的标志集(index set)。


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3-4 序偶与笛卡尔积

设x,y为任意对象,称集合<x,y>为二元有序组,或序偶(ordered pairs)。称x为<x,y>的第一分量,称y为第二分量。

定义3-4.1 对任意序偶<a,b> , <c, d >,

<a,b> = <c, d >当且仅当a=c且b = d。

递归定义n元序组<a1,… , an>

<a1 , a2 , a3 > = < <a1 , a2 >, a3 >

… … … …

<a1,…an>=<<a1,…an-1>, an>


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两个n元序组相等

<a1,… , an>= <b1,… , bn>(a1=b1) ∧…∧(an=bn)

定义3-4.2 对任意集合 A1,A2 , …,An,

(1)A , B 的笛卡尔积(Cartesian product)或直积,定义为集合 A B={ <u,v>u A∧vB}

(2)递归地定义 A1  A2  …  An

A1A2 … An= (A1A2 … An-1 )An

当A1=A2 =…=An=A时, AA… A简记为An

由例题1可知,一般情况下,笛卡尔积不满足交换律和结合律。


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定理3-4.1 设A, B, C为任意集合,*表示 ,或 – 运算,那么有如下结论:

(1)笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即:

A(B*C)=(A B)*(AC)

(2)笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即:

(B*C)A=(BA)*(CA)

 当*表示 时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)先证明A(B  C)  (A B) (AC)

从<x,y>∈A(BC)出发,推出<x,y>∈(AB)(AC)

再证明(A B) (AC)  A(B  C)

从<x,y>∈(AB)(AC)出发,推出<x,y>∈A(BC)

当*表示 时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法)

见P-103页。 


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定理3-4.2 设A, B, C为任意集合,若C ≠ ,那么有如下结论:

AB(A C BC)(CACB)

 定理前半部分证明思路:(谓词演算法)

先证明AB(A C BC)

以AB为条件,从<x,y>∈AC出发,推出<x,y>∈BC

得出(A C BC)结论。

再证明(A C BC)AB

以C≠为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用附加式,推出x∈B

得出(A B)结论。 见P-103页。 


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定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:

AB  CD的充分必要条件是AC,B D

证明思路:(谓词演算法)

先证明充分性: AB CD AC,BD

对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈AB出发,利用条件AB CD, <x,y>∈CD,推出x∈C, y∈D。

再证明必要性: AC,BDAB CD

对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈AB出发,推出<x,y>∈CD。 见P-104页。 


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3-5 关系及其表示

定义3-5.1 任一序偶的集合确定一个二元关系R,R中的任一序偶<x,y>可记为<x,y>∈R,或xRy。不在R中序偶<x,y>记为<x,y>R,或xRy。

定义3-5.2 R为一个二元关系, 由<x,y>∈R的所有x组成的集合domR称为R的前域,即

domR ={x| (y)(<x,y>∈R)}

由<x,y>∈R的所有y组成的集合ranR称为R的值域,即

ranR ={ y | (x)(<x,y>∈R)}

R的前域和值域一起称作R的域,记为FLDR,即

FLDR= domR ranR。


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定义3-5.3 令A和B是任意两个集合,直积AB的子集 R称为X到Y的二元关系。

x3

y1

x1

y3

x4

y2

x2

y4

x5

y5

A

y6

R

B

domR

ranR


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几个特殊的二元关系

domR A

ranR B

FLDR= domR ranR  AB

AB, 称为A到B的空关系。

ABAB,称AB为A到B的全关系。

IA={<x,x>|xA},称为A上恒等关系。(定义3-5 .4)


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有限集合上的二元关系的图形表示:

设给定两个有限集合X={x1, x2 ,… , xm}, Y ={y1, y2 ,… , yn} 。R为从X到Y的一个二元关系。分别用m个结点表示x1, x2 ,… , xm,用n个结点表示y1, y2 ,… , yn。如果< xi, yj >R,则自结点xi向结点yj做一有向弧,箭头指向yj;如果< xi, yj >R,则自结点xi到结点yj之间不做有向弧。

x3

y1

x1

y3

x4

y2

x2

y4

x5

y5

y6

R

X

Y

见P109页例题7、8。


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有限集合上的二元关系的矩阵表示:

设给定两个有限集合X={x1, x2 ,… , xm}, Y ={y1, y2 ,… , yn} 。R为从X到Y的一个二元关系。则对应于关系R有一个矩阵MR=[rij]m×n,其中

1 当< xi, yj >R

rij =

0当< xi, yj >R

(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)

示例见P108页例题5、6。


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3-6 关系的性质

定义3-6.1设关系R是定义在集合X上的二元关系,如果对任意xX,均有xRx ,则称R是自反的(reflexive)。即:

R在X上自反x(xX→xRx)

定义3-6.2设关系R是定义在集合X上的二元关系,如果对任意x,yA,xRy蕴涵yRx,则称R是对称的(symmetic)。即:

R在X上 对称xy(x,yX∧xRy→yRx)

示例见P111页例题1。


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定义3-6.3设关系R是定义在集合X上的二元关系,如果对任意x,y,zX,xRy且yRz蕴涵xRz,则称R是传递的(transitive)。即:

R在X上传递xyz(x,y,zX∧xRy∧yRz→xRz)

示例见P111页例题2。

定义3-6.4设关系R是定义在集合X上的二元关系,如果对任意xA,xRx均不成立,则称R是反自反的(irreflexive)。 即:

R在X上反自反x(xX→┐xRx)

示例见P111页例题3。


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定义3-6.5设关系R是定义在集合X上的二元关系,如果对任意x,yA,xRy且yRx蕴涵x=y,称R是反对称的(antisymmetric)。 即:

R在X上反对称xy(x,yX∧xRy∧yRx→x=y)

或者:

R反对称xy(x,yX∧x≠y∧xRy→┐yRx)

因为两个定义式是等价的:

(xRy)∧(yRx)→(x=y)(x≠y)∧(xRy)→(┐yRx)

证明过程见P-112页。 


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(1)若关系R是自反的,当且仅当在关系矩阵中,对角线上的所有元素都是1,在关系图上每个结点都有自环。

(2)若关系R是反自反的,当且仅当在关系矩阵中,对角线上的所有元素都是0,在关系图上每个结点都无自环。

(3)若关系R是对称的,当且仅当在关系矩阵是对称的,且在关系图上,任两个结点间若有定向弧线,必是成对出现的。

(4)若关系R是反对称的,当且仅当在关系矩阵中,以主对角线对称的元素不能同时为1,在关系图上两个结点间的定向弧线不可能成对出现。


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关系的运算

关系并、交、补、差运算

定理3-5.1 若Z和S是从集合X到集合Y的两个关系,则Z、S的并、交、补、差仍是从集合X到集合Y的关系。

证明思路:根据“关系是直积的子集”立即可得。 


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3-7 复合关系和逆关系

定义3-7.1 设R为X到Y的二元关系,S为Y到Z的二元关系,那么RS为X到Z的二元关系,称为关系R与S的合成(compositions),定义为

RS={<x,z>xX∧zZ∧y(yY∧xRy∧yRz)}

两个关系的合成运算可以推广到多个。例如:

RS P、 RS PQ等。且合成运算满足结合律。即:

(RS) P = R(S P)

关系R自身合成n次可以记为:R R  ... R= R(n)


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合成关系的矩阵计算:

设X={x1 ,…, xm},Y={y1 ,…, yn},Z={z1 ,…, zp},RXY,SYZ,MR=[uij]mn 为R的关系矩阵,MS=[vij]np为S的关系矩阵。那么,合成关系R  S的关系矩阵MRS=[wij]为一mp矩阵,其各分量wij可如下求取


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定义3-7.2设R是X到Y的关系,R的逆关系或逆(converse)是Y到X的关系,是将R中的每一序偶的元素顺序互换所得到的。记为Rc,规定为:

Rc= {<y,x>  xRy}

定理3-7.1 设R和S都是A到B的二元关系,为,  , - 运算,那么

(1) (Rc)c = R

(2)( R¯)c= (Rc)¯

(3)(RS)c= Rc Sc

(4)R  S当且仅当 Rc Sc

(5)(R  S)c= Sc  Rc

证明思路:对< x, y >(RS)c


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定理3-7.2 设T为X到Y的二元关系,S为Y到Z的二元关系,那么

(TS)c= Sc Tc

证明思路: < z, x>  (TS)c <x,z>  TS

 y(yY∧ <x,y> T ∧<y,z> S )

 y(yY∧ < y,x > Tc ∧ < z,y > Sc )

 y(yY∧ < z,y > Sc ∧ < y,x > Tc)

 < z, x >  Sc Tc 


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定理3-7.3 设R为X上的二元关系,那么

a)R是对称的当且仅当R=Rc

b)R是反对称的当且仅当R  Rc IX

 a)证明思路:先证 R是对称的 R=Rc

若R是对称的, <x, y>R  <y, x>R  <x, y>Rc

 R=Rc

再证 R=Rc  R是对称的

若R=Rc, <x, y>R  <y, x> Rc  <y, x> R

R是对称的 


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3-8 关系的闭包运算

定义3-8.1 设R是集合X上二元关系,如果有另一个二元关系R’满足:

(1)R’是自反(对称的,传递的)。

(2) R’R (或RR’ )。

(3)对任意A上关系R '',若R ''满足(1)和(2),则 R’R'’

则称R ’为R的 自反闭包(对称闭包,传递闭包),分别记为:r(R),( s(R),t(R) )

上述定义的含义: R ’是包含R的“最小”关系,如果还有包含R的关系R’’ ,那么, R’’比R ’要大。


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定理3-8.1 设R是集合X上任一关系,那么

a)R自反当且仅当 r(R) = R。

b)R对称当且仅当 s(R) = R。

c)R传递当且仅当 t(R) = R。

 a)证明思路:先证R自反  r(R) = R

若R是自反的,因为 RR ,且对于任何包含R的自反关系R”,都有R” R ,故R就是满足自反闭包的定义,即:r(R) = R

再证 r(R) = R  R自反

若r(R) = R 根据r(R)的定义, r(R)自反推出R自反。


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定理3-8.2 设R是集合X上的二元关系,那么

r(R) = IXR

 证明思路:先证IXR在X上自反

因为<x,x>IX,所以<x,x>IXR,得证。

再证 IXR是最小的包含R的自反关系

又 R  IXR,若还有自反关系R”, 且R R”,由自反性知

IX R”,所以R’  R'’.

据r(R)的定义, r(R)=IXR。


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定理3-8.3 设R是集合X上的二元关系,那么s(R) = RRc

 证明思路:先证RRc在X上对称

R  RRc,若:<x,y>RRc,

则:<x,y>R,或<x,y>Rc。

即:<y,x>Rc,或<y,x>R 。

故:<y,x> RRc。 RRc对称性得证。

再证 RRc是最小的包含R的对称关系

R  RRc,若还有对称关系R”,且R R”,

 对任意的<x,y>RRc,则:<x,y>R,或<x,y>Rc。

当 <x,y>R时, <x,y>R”;

当<x,y>Rc时,<y,x>R,<y,x>R”,由R” 对称, <x,y>R”;

综合以上了两种情况得:RRcR” 。

  根据传递闭包的定义,得 s(R) = RRc。


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定理3-8.4 设R是集合X上的二元关系,那么

t(R)= Ri= RR2R3 ...

 证明思路:先证 Ri t(R)

  用归纳法:当i=1时,R t(R),关系式成立;

  设当i=n(n>1)时,Rn  t(R)关系式成立;要证i=n+1时,Rn+1t(R)关系式成立。Rn+1=Rn R,存在cX,

使得<x,c> Rn,<c,y>R,从而<x,c>t(R), <c,y>t(R),即<x,y>t(R); 推得Rn+1  t(R) 。归纳法证完。

再证 t(R)  Ri Ri =R*

对于<x,y>R* ,<y,z>R*,必存在整数s和t,使得<x,y>Rs,<y,z>Rt,这样<x,z>Rs Rt,即<x,z>R*,所以R*是传递的。根据t(R)的定义,结论得证。 

见P-121页例题1。

i=1

i=1

i=1

i=1


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k

i=1

定理3-8.5 设R为X上二元关系,X=n,那么,存在一个正整数k≤n,使得

t(R)= Ri= RR2 R3 ...Rk

证明思路:设有xi,xjX,记t(R)=R+,如果<xi,xj>R+,则存在整数p>0,使得<xi,xj>Rp成立,即存在一个序列e1,e2,…,ep-1,满足<xi, e1>R,<e1, e2>R,…,<ep-1,xj>R,

设满足上述条件的p大于n(反正假设)

则在序列e1,e2,…,ep-1中,必存在整数t和q,0≤tq≤p,

使得et=eq(鸽笼原理),因此序列就成为

<xi, e1>R,<e1, e2>R,…, <et-1,et>R;<et,eq+1>R, …,

<ep-1,xj>R,“;”前有t个,“;”后有p-q个,令k=t+p-q,

使得<xi,xj>Rk成立。但是k=t+p-q=p-(q-t)<p,矛盾。


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定理3-8.6 设R为集合X上的任一二元关系,那么

a)rs(R)=sr(R)

b)rt(R)=tr(R)

c)st(R)ts(R)

证明思路:利用r(R)=IX R

s(R)=R  Rc

“”交换律、“”结合律

和“并之逆=逆之并”证明


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3-9 集合的划分与覆盖

定义3-9.1若把集合A分成若干个称为分块的非空子集,使得A中每个元素至少属于一个分块,那么,这些分块的全体构成的集合叫做A的一个覆盖。如果A中每个元素属于且仅属于一个分块,那么,这些分块的全体构成的集合叫做A的一个划分(partitions)(或分划),用π表示分块集合。

定义3-9.1’令A为给定集合,S={S1,S2,...,Sm}

m

其中SiA,Si≠Φ(i=1,2,…,m)且∪Si=A,集合S称为集

i=1

合A的覆盖。

如果除上述条件外,另有Si∩Sj=Φ(i≠j)则集合S称为集合A的划分。


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定义3-9.2设π1={A1,A2,…,Ar}与π2={B1,B2,…,Bs}为同一集合X的两个划分。则其中所有Ai∩Bj≠组成的集合,称为是原来两个划分的交叉划分。

定理3-9.1设π1={A1,A2,…,Ar}与π2={B1,B2,…,Bs}为同一集合X的两个划分。则其交叉划分Ai∩Bj亦是原集合的一种划分。


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定义3-9.3给定X的任意两个划分π1={A1,A2,…,Ar}和 π2 ={B1,B2,…,Bs} ,若对于每一个均有使AiBi,则{A1,A2,…,Ar} 称为是{B1,B2,…,Bs}的加细。并称π1细于π2。

定理3-9.2任何两种划分的交叉划分,都是原来各划分的加细。


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3-10 等价关系

定义3-10.1设R为定义在集合A上的二元关系,如果R是自反、对称、传递的,则称集合A上关系R是等价关系(equivalent relation)。

定义3-10.2设R为集合A上的等价关系。对任何aA,a的等价类(equivalent class)记为 [a]R是指下列集合

[a]R={x  xA∧xRa}


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定理3-10.1 设R是集合A上的等价关系,那么,对任意a , bA, aRb 当且仅当[a]R=[b]R

证明思路:

先证:[a]R=[b]R aRb

因为a[a]R,则a[b]R,即aRb。

再证:aRb  [a]R=[b]R

设c[a]R,则aRc ,由对称性cRa,由传递性cRb。

即c [b]R,得出: [a]R[b]R

再设c[b]R,则bRc ,由传递性aRc。

即c [a]R,得出: [b]R [a]R

从而 [a]R=[b]R


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定义3-10.3 设R为集合A上的等价关系,那么称R的等价类集合{[a]R aA}为A关于R的商集(quotient sets),记为A/R。

定理3-10.2 设R为集合A上的等价关系, 那么R决定了A的一个划分,并且R对应的A划分是{[x]RxA}。

证明思路: 3步:

第一步:证所有等价类之并=集合A

第一步:集合A的每一个元素确实属于一个分块等价类

第一步:用反证法证明每一个元素只属于一个分块等价类。


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定理3-10.3 集合A的一个划分π确定 A的元素间的一个(元素在同一分块内)等价关系。

证明思路:

设集合A有一个划分S={S1,S2,…,Sm},现定义一个关系R,<a,b>R当且仅当a,b在同一分块中。可以证明,这样规定的关系R是一个等价关系。

用3步证明“自反性”、“对称性”和“传递性”。


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定理3-10.4 设R1和R2是非空集合A上的等价关系,那么, R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。

证明思路:

先证R1=R2A/R1=A/R2

若R1=R2,对任意aA, 则

[a]R1={x|xA,<a,x>R1}={x|xA,<a,x>R2}= [a]R2

故 {[a]R1|aA}={[a]R2|aA}即 A/R1=A/R2

再证:A/R1=A/R2R1=R2

由{[a]R1|aA}={[a]R2|aA} ,对任意[a]R1A/R1, 必存在[c]R2A/R2,使得[a]R1 = [c]R2,

故<a,b>R1 a[a]R1∧b[a]R1

a[c]R2∧b[c]R2

<a,b> R2

得R1 R2,同理可证R2R1,R1=R2证得。


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3-11 相容关系

定义3-11.1 设R为定义在集合A上的二元关系,如果R是自反、对称的,则称集合A上关系R是相容关系。

例:设R为定义在集合A上的二元关系,其中:

A={ cat, teacher, cold, desk, knife, by }

R={ <x,y> |x,y  A 且 x和y有相同字母 }

验证关系R是相容关系。

解:根据定义,只需验证R是自反、对称的。


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关系R的矩阵MR如下:

cat teacher cold desk knife by

cat 1 1 1 0 0 0

teacher 1 1 1 1 1 0

cold 1 1 1 1 0 0

MR=

desk 0 1 1 1 1 0

knife 0 1 0 1 1 0

by 0 0 0 0 0 1

MR主对角线元素全是1, 且对称,所以R是自反、对称的。


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定义3-11.2 设R为定义在集合A上的相容关系,如果CA,如果对于C中任意两个元素都有关系R,则称集合C是由相容关系R产生的相容类。

定义3-11.3 设R为定义在集合A上的相容关系,如果不能真包含在任何其他相容类中的相容类,称作最大相容类,记为CR。

  • 用相容关系图求最大相容类:

    • 最大完全多边形的顶点集合;

    • 不在完全多边形的孤立边的顶点集合;

    • 孤立点。


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定理3-11.1 设R为定义在有限集合A上的是相容关系。C是一个相容类,那么,必存在一个最大相容类CR,使得C  CR。

证明思路:

设A={a1,a2,…,an} ,构造相容类序列

C=C0C1C2...,

且Ci+1 = Ci∪{aj},其中j是满足ajCi而aj与Ci中各元素都有相容关系的最小足标。

由于A的元素个数|A|=n,所以至多经过n-|C|步,就使这个过程终止,而此序列的最后一个相容类,就是所要找的最大相容类。


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定义3-11.4 设R为定义在集合A上的相容关系,其最大相容类的集合称作集合A的完全覆盖,记为CR (A)。

给定相容关系R,只能对应唯一的完全覆盖。

定理3-11.2 给定集合A的覆盖{A1,A2,…,An},由它确定的关系R= A1A1∪A2  A2 ∪ … ∪ An An是相容关系。

证明思路:

第一步: 证R是自反的

因为所有分块Ar之并=全集A,所以对于任意的xA分必存在某个j>0使得xAj ,<x,x>AjAj。

第二步: 证R是对称的

对于任意x,yA,且<x,y>R,则必存在某个h>0,设 <x,y>AhAh ,故必有<y,x>AhAh,即

<y,x>R,所以R是对称的。


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定理3-11.3 集合A上的相容关系R与完全覆盖CR(A)存在一一对应。


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5-12 序关系

定义3-12.1 设R是集合A上的二元关系,如果R是自反、反对称、传递的,则称R为偏序关系,记为 “≤” ;如果集合A上有偏序关系≤,则称A为偏序集,用序偶<A, ≤>表示之。

定义3-12.2 在偏序集<A, ≤>中,如果x,yA, x ≤y, x  y,且没有其他元素z满足x ≤z、y ≤z,则称元素y盖住元素x。并且记

COVA={<x,y>|x,yA, y盖住元素x}

≤诱导出COVA


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依据COVA画偏序集合图-----哈斯图。其作图规则:

(1)用小圆圈代表元素。

(2)如果<x,y> COV A,则将代表y的小圆圈画在代表x的小圆圈之上,且在x与y之间用直线连接。


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定义3-12.5、6 设<A, ≤>为偏序集,B  A。 bB,(1)如果对每一xB,均有x ≤b,则称b为B的最大元(greatest element)。即

b为B之最大元 bB∧x(xB→x ≤b)

(2)如果对每一xB,均有b ≤x,则称b为B的最小元(least element)。即

b为B之最小元 bB∧x(xB→b ≤x)

(3)如果没有xB,xb,使得b≤x,则称b为B的极大元(maximal element)。即

b为B之极大元bB∧┐x(xB∧xb∧b ≤ x)

(4)如果没有xB,xb,使得x ≤ b,则称b为B的极小元(minimal element)。即

b为B之极小元bB∧┐x(xB∧xb∧x ≤ b)


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例题6 设<A, ≤>为偏序集, B  A,其中

A={ 2,3,5,7,14,15,21 }

={<2,14>,<3,15>,<3,21>,<5,15>,<7,14>,<7,21>,

<2,2>, <3,3>, <5,5>, <7,7>, <14,14>, <15,15>, <21,21>}

B ={2,3,7,14,21 }。

求B的极小元,极大元。

COV B ={<2,14>,<3,15>,<3,21>,<5,15>,<7,14>,<7,21>}

B之极小元:2,3,7,B之极大元:14,21 。

14 21 15


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定理3-12.1设<A, ≤>为偏序集, B  A。若B有最大(最小)元,则B的最大(最小)元唯一。

证明利用反证法


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定义3-12.7、8 设<A,≤>为有序集,B  A。 aA,

(1)如果且对每一xB,x ≤a,则称a为B的上界(upper bound)。即

a为B的上界 aA∧x(xB→x ≤a)

(2)如果aA,且对每一xB,a ≤x,则称a为B的下界(lower bound),即

a为B的下界 aA∧x(xB→a ≤x)

(3)如果a是B的所有上界的集合中的最小元。则称a为 B的最小上界或上确界LUB(Least Upper Bound)。

(4)如果a是B的所有下界的集合中的最大元。 则称a为 B的最大下界或下确界GLB(Greatest Lower Bound)。


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j

j

k

k

h

h

i

i

f

f

g

g

b

b

c

c

d

d

e

e

a

a

设<A,≤>为有序集,B  A。

A={ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k }

≤的哈斯图如下所示。

B ={ a,b,c,d,e,f,g }

B’={ h,i,j,k }

B’

B的上界

B’的下界

B


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定义3-12.3设<A, ≤>偏序集,B  A。如果B 中任何两个元素x和y都是可比较的(有关系的),即

xy(x,yB→x≤y∨y≤x)

则称B为A上的链(chain),

如果B中任何两个不同元素都是不可比较的,即

xy(x,yB∧xy→┐x≤y∧┐y≤x)

则称B为反链(antichain),

B 称为链或反链的长度。


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定义3-12.4 设<A, ≤>偏序集,如果A 中是一个链,则称<A, ≤>为全序集合或线序集合,在这种情况下,二元关系≤称为全序关系或线序关系。

例题5:P={{},{a},{a,b},{a,b,c}}上的包含关系是,<P,  >是全序集。

定义3-12.4设<A, ≤>偏序集,如果A 中每个非空子集都存在最小元,则称<A, ≤>为良序集。


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定理3-12.2 每一个良序集合,一定是全序集合。

证明:设<A, ≤>是良序集,那么对任意两个元素x,y  A可构成子集{x,y} ,必存在最小元素,这个最小元素不是x就是y,因此一定有x ≤y或y ≤x 。


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定理3-12.3 每一个有限的全序集合,一定是良序集合。

证明:设A={a1,a2,…,an},令<A, ≤>是全序集,现假定<A, ≤>不是良序集合,那么必存在一个非空集合B  A,在B中不存在最小元素,由于B是一个有限集合,故一定可以找到两个元素x与y是无关的,由于 <A, ≤>是全序集,x,y∈A,所以x,y必有关系,得出矛盾。故<A, ≤>是良序集合。

上述结论对于无限的全序集合不一定成立。


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