Costruzione di un frattale
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Laboratorio di Didattica dell’Informatica a.a. 2001-2002. COSTRUZIONE DI UN FRATTALE. UTILIZZO DEL FOGLIO ELETTRONICO NELLA DIDATTICA DELLA MATEMATICA. I PREREQUISITI INFORMATICI. GLI OBIETTIVI INFORMATICI. NASCITA DELLA GEOMETRIA FRATTALE.

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COSTRUZIONE DI UN FRATTALE

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Presentation Transcript


Costruzione di un frattale

Laboratorio di Didattica dell’Informatica

a.a. 2001-2002

COSTRUZIONE DI UN FRATTALE

UTILIZZO DEL FOGLIO ELETTRONICO NELLA DIDATTICA DELLA MATEMATICA


I prerequisiti informatici

I PREREQUISITI INFORMATICI


Gli obiettivi informatici

GLI OBIETTIVI INFORMATICI


Nascita della geometria frattale

NASCITA DELLA GEOMETRIA FRATTALE

Sembra più adatta di quella che noi conosciamo (euclidea) a “leggere” alcune forme di irregolarità scritte in natura: una costa frastagliata, un albero, un fiocco di neve.

 Frattale (o fractal in inglese) deriva dall’aggettivo latino fractus che significa irregolare o frammentario e dal verbo frangere cioè rompere.

 Questo nome fu coniato dallo scopritore dei frattali, Mandelbrot nel 1979 che sosteneva:

 ” …Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono circoli e gli argini non sono regolari… la varietà di configurazioni è una sfida a studiare quelle forme che la geometria euclidea tralascia come informi, a investigare la morfologia dell’amorfo…”


Che cos e un frattale

CHE COS’E’ UN FRATTALE

il frattale è una curva in genere continua , che si presenta con un aspetto frastagliato tale che, se potessimo ingrandirne una parte, troveremmo un aspetto simile a quello osservato nell’ingrandimento minore.


A che cosa serve

A CHE COSA SERVE?

il frattale come strumento matematico è utile per la descrizione di tutti quei sistemi che presentano complessità di comportamento e/o andamento caotico.

le applicazioni del concetto di frattale sono molteplici: dalla fisica alla chimica , dalla sociologia alla psicologia, dalla finanza a….


L algoritmo

L’ALGORITMO

Ci si può avvicinare alla costruzione di un frattale in maniera molto semplice attraverso l’iterazione di una procedura costituita a sua volta da procedimenti elementari.

Da un semplice gioco di probabilità si può costruire il famoso Triangolo di Sierpinsky.


Da un gioco con i dadi alla costruzione del triangolo di sierpinsky

DA UN GIOCO CON I DADI ALLA COSTRUZIONE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKY

  • Disegniamo i tre vertici di un triangolo

k

qualsiasi e chiamiamoli 0, 1, 2

punto

-

  • Prendiamo un punto qualunque

del piano su cui si trova il triangolo

i

j

  • Lanciamo un dado a tre facce

-

se esce 0: il punto si sposta verso il vertice 0,

k

se esce 1 : il punto si sposta verso il vertice 1,

se esce 2: il punto si sposta verso il vertice 2.

era qui

si sposta qui

  • Di quanto si sposta? Di metà delladistanza dal vertice corrispondente.

i

j

k

Esempio: esce il valore 0

  • Adesso si ripete il procedimento, si itera

i

j


Utilizziamo un foglio di calcolo

UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO

Devo simulare il lancio del dado a tre facce quindi:

Prima colonna

: Scelgo un numero casuale tra 0 e 1 (FUNZIONE CASUALE)

Seconda colonna

: mi serve che sia tra 0 e 2 (FUNZIONE CASUALE*3)

Terza colonna

: mi serve che sia un

intero (FUNZIONE INT)

Ottengo un numero casuale che è 0 oppure 1 oppure 2.

casuale tra 0 e 1

casuale tra 0 e 3

arrotondo per difetto

0,523258667

1,569776001

1

0,134696652

0,404089955

0

0,067141872

0,201425617

0

0,611655739

1,834967216

1

0,282334974

0,847004922

0


Utilizziamo un foglio di calcolo1

UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO

Devo associare al numero casuale uno dei vertici del triangolo:

num.casuale=0

vertice A(0,0)

à

num.casuale=1

vertice B(5,0)

à

num.casuale=2

vertice C(5/2

,10)

à

Quarta colonna

: calcolo la x del vertice (FUNZIONE SE)

Quinta colonna

: calcolo la y del vertice (FUNZIONE SE)


Utilizziamo un foglio di calcolo2

UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO

Scelgo il punto di partenza :

il punto fisso: xpunto=2,5;

ypunto=4

un punto casuale : xpunto=(CASUALE*5); ypunto=(CASUALE*10)

ottava e nona colonna

lo scrivo nella

casuale tra 0 e 1

casuale tra 0 e 3

arrotondo per difetto

xvertice

yvertice

xpunto partenza

y punto partenza

2,5

4

0,523258667

1,569776001

1

5

0

0,134696652

0,404089955

0

0

0

0,067141872

0,201425617

0

0

0

0,611655739

1,834967216

1

5

0

0,282334974

0,847004922

0

0

0


Utilizziamo un foglio di calcolo3

UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO

Calcolo il punto medio delle coordinate x e delle coordinate y

Lo scrivo nelle

decima colonna

: x

(medio)=(xvertice+ xpunto)/2

undicesima colonna

: y(medio)=(yvertice+ypunto)/2

xmedio

ymedio

casuale tra 0 e 1

casuale tra 0 e 3

arrotondo per difetto

xvertice

yvertice

xpto partenza

y punto partenza

2,5

4

0,796365905

2,389097715

2

2,5

10

2,5

7

0,320881612

0,962644837

0

0

0

1,25

3,5

0,589642133

1,768926398

1

5

0

3,125

1,75

0,086713349

0,260140046

0

0

0

1,5625

0,875

0,823123087

2,46936926

2

2,5

10

2,03125

5,4375


Utilizziamo un foglio di calcolo4

UTILIZZIAMO UN FOGLIO DI CALCOLO


Facciamo il grafico

FACCIAMO IL GRAFICO

a dispersione (GRAFICO 1) delle 10000 coppie di x(medio) e y(medio)

(medio)


Alcune considerazioni

Dove cade la traccia del punto, nei triangoli bianchi o in quelli neri?

Dopo quante iterazioni perdi la traccia del punto?

Dove pensi sia caduto il punto?

Il punto cade mai due volte nello stesso triangolo bianco?

ALCUNE CONSIDERAZIONI

Su un altro grafico disegna le traiettorie dei primi 10

punti (GRAFICO 2) e sovrapponilo

al primo grafico (GRAFICO 1).

Che rapporto c’è tra due triangoli successivi?

Aumentando il numero di iterazioni, il triangolo verrà mai ricoperto del tutto?


Altre considerazioni

ALTRE CONSIDERAZIONI

Riduci la scala degli assi della metà ogni volta

La figura è cambiata?

Quante volte puoi ridurre la scala e ancora riconoscere la figura?

Pensi che se aumentassi il numero di punti ritroveresti ancora la figura sempre più piccola?

Itera adesso per 20.000 volte. Grafica le prima 10000 coppie di valori e su un altro

grafico le successive 10000 coppie di valori.

Il triangolo è ricostruito in entrambi i casi?

La ricopertura del triangolo dipende dal punto iniziale?


Un problema analogo

UN PROBLEMA ANALOGO


L esagono di sierpinsky

L’ESAGONO DI SIERPINSKY


Calcolo della dimensione frattale

CALCOLO DELLA DIMENSIONE FRATTALE


Deduzione della legge

DEDUZIONE DELLA LEGGE

1.

Prendiamo un SEGMENTO (dim=1)

Dividiamolo in due

Ci vogliono due copie di un segmento per farne uno gran

de il doppio.

2.

Prendiamo un QUADRATO (dim=2)

Dividiamo a metà il lato

Ci vogliono 4 copie dello stesso quadrato per farne uno grande il doppio.

3.

Prendiamo un CUBO (dim=3)

Dividiamo a metà il lato

Ci vogliono 8 copie dello stesso cubo per farne uno grande il doppio

Possiamo ricavare una legge:

il numero di copie di un oggetto necessarie per farne uno grande il doppio dipende

dalla dimensione nel seguente modo

1

segmento: 2=2

(fd=2 ncopie=2)

2

quadrato: 4=2

(fd=2 ncopie=4)

3

cubo: 8=2

(fd=2 ncopie=8)

IL NUMERO DI COPIE È IL “FATTORE DI DIVISIONE” ELEVATO ALLA DIMENSIONE DELL’OGGETTO


La curva a fiocco di neve

LA CURVA A FIOCCO DI NEVE

La costruzione base è:

Prendo un segmento

lo divido in 3 parti uguali

(fd=3)

Costruisco un triangolo sopra il

vuoto del segmento centrale

il numero dei segmenti è 4

(ncopie=4)

d

4=3

Quanto vale d, la dimensione?

d sarà un numero tra 1 e 2. Un numero decimale.


Calcolo della dimensione con excel

CALCOLO DELLA DIMENSIONE CON EXCEL

Disegniamo la curva y=3

ponendo nella

pr

ima

colonna

i valori di x: da 0 fino a 2 con un incremento

di 0,05

x

Imponiamo alla seconda colonna di essere 3

: utilizza

la funzione POTENZA

Disegna il grafico a dispersione corrispondente su un

nuovo foglio

Trova il valore di x corrispondente all’ordinata pari a 4


Calcolo della dimensione con excel1

CALCOLO DELLA DIMENSIONE CON EXCEL


Utilita di excel

UTILITA’ DI EXCEL

consente di:

a.Manipolare numeri ed effettuare su di essi ogni genere di operazioni matematiche e logiche anche complesse;

b.Visualizzare immediatamente dati complessi mediante grafici matematici e statistici;

c.Superare la staticità degli aspetti quantitativi di un singolo fenomeno mettendo in relazione variabili diverse e di simulare il loro comportamento al variare di alcuni parametri;

d.Trasformare i numeri in gioco facendo delle simulazioni e della previsioni.


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