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Comparaison de plusieurs moyennes Analyse de variance

Comparaison de plusieurs moyennes Analyse de variance. FRT C5. Question posée. Etude de la relation entre Une variable qualitative à plus de 2 classes Une variable quantitative X résumée par sa moyenne et sa variance. Question posée. Etude de la relation entre

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Presentation Transcript

  1. Comparaison de plusieurs moyennesAnalyse de variance FRT C5

  2. Question posée • Etude de la relation entre • Une variable qualitative à plus de 2 classes • Une variable quantitative X résumée par sa moyenne et sa variance

  3. Question posée • Etude de la relation entre • Une variable qualitative à plus de 2 classes • Une variable quantitative X résumée par sa moyenne et sa variance • La variable qualitative qui distingue les populations est le facteur étudié; il peut être aléatoire ou fixe • Comparaison du poids moyen de plusieurs portées de souris : facteur « portée » est aléatoire • Comparaison d’un dosage biologique chez 3 groupes de malades traités par 3 traitements différents : facteur traitement est fixe • Même problème mais 1 groupe recevant un placebo

  4. Hypothèses • H0 : 1 = 2 = ……. = k • H1 : il existe au moins une différence entre les k moyennes (2 moyennes parmi k sont ≠) • On fera l’hypothèse que la variance est la même ² dans les k populations • Exemple : k=3, même variance ² • Sous H1, 1,2,3 sont différentes • en regroupant, la moyenne générale est et la variance totale T²

  5. Représentation graphique ² T² X 2 ● 1 ●  ● 3● H1 : les moyennes sont différentes La variance totale T²estplus grande que la variance ² de chaque population et d’autant plus grande que les moyennes sont + dispersées

  6. Hypothèses • H0 : 1 = 2 = ……. = k • H1 : il existe au moins une différence entre les k moyennes • On fera l’hypothèse que la variance est la même ² dans les k populations • Exemple : k=3, même variance ² • Sous H1, 1,2,3 sont différentes • en regroupant la moyenne générale est et la variance totale T² • Si H0 est vraie, T² = ²

  7. Représentation graphique ² T² T² ² 2 ● 1 ●  ● 1● 2 ● 3●  ● 3● H0 : moyennes et variances étant égales dans les 3 populations, T² = ² H1 : les moyennes sont différentes La variance totale T²estplus grande que la variance ² de chaque population et d’autant plus grande que les moyennes sont + dispersées

  8. Principe • On peut comparer les moyennes de X dans les différentes populations en comparant la var ² de X à « l’intérieur » de chacune des populations à la var T² • On transforme le problème initial en une comparaison de variance = analyse de variance

  9. Principe • On peut comparer les moyennes de X dans les différentes populations en comparant la var ² de X à « l’intérieur » de chacune des populations à la var T² • On transforme le problème initial en une comparaison de variance = analyse de variance • L’ampleur de la dispersion totale de T² dépend : • De la dispersion au sein de chacune des k populations comparées, mesurée par ² • De la dispersion entre ces populations

  10. Principe de l’ANOVA • Décomposer la dispersion (=variabilité) totale en 2 parties permettant de distinguer : • variabilité intra population et • variabilité inter population • Puis comparer ces 2 parties

  11. Principe de l’ANOVA • Décomposer la dispersion (=variabilité) totale en 2 parties permettant de distinguer : • On s’intéresse à la somme des carrés des écarts qui est le numérateur de la variance • Une réécriture de la SCET permet de faire apparaître • SCET =  (xij – mj)² +  nj(mj – m)² = SCER + SCEA ij ij intra groupe inter groupes *résiduelle : ce qui reste une fois le facteur d’intérêt pris en compte résiduelle* ou intraclasses à (n-k) ddl due au facteur A ou interclasses à (k-1) ddl

  12. Principe de l’ANOVA • Les variances sont donc : • SCER et SCEA et sR²est une n – k k – 1 estimation de ² • Hypothèses : • H0 : A² = R² = ² • H1 : A² > R² • Test : sA² SCEA/(k-1) suit une loi de Fisher sR² SCER/(n-k) à (k-1) et (n-k) ddl notée F = k-1 n-k

  13. Quand faire une ANOVA • Quand la question posée est celle d’une comparaison globale de plusieurs moyennes • 3 molécules anti-virales, mesure de la charge virale à S4 • Il n’y a pas d’a priori sur la supériorité de l’une ou les autres • Comparaison des 3 : • Non rejet d’H0 : on ne peut pas conclure à une différence • Si H0 est rejetée, il est légitime de rechercher où se situe la différence par comparaisons 2 à 2

  14. Erreurs à éviter X X =  m2 m1   1● 2 ● 3●  m3  Les fluctuations d’échantillonnage rendent compte d’une différence non significative entre les 3 moyennes Il ne serait pas correct de comparer d’emblée 2 à 2, et notamment m2 et m3 qui sont les plus éloignées de 

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