DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA

1. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSA

2. A differenciálszámítás alkalmazása A gyakorlati életben előforduló mennyiségi változások, fizikai mozgások, szélsőérték-problémák stb… tanulmányozásának folyamata • a vizsgált folyamatban szereplő változók között keresünk • függvénykapcsolatot → a jelenséghez „matematikai modellt” • rendelünk • a függvény tulajdonságainak vizsgálata (menete, görbülete, • szélsőértéke stb…) fontos szerepe van a deriváltnak

3. Függvények menetének vizsgálata A függvény menetének és a derivált előjelének kapcsolata • Vizsgáljuk meg az függvényt: xє ] 0 ; [ esetén - a függvény szigorúan monoton növekvő - bármely pontban az érintő irányszöge pozitív → iránytangens pozitív → derivált előjele pozitív xє ]- ; 0 [ esetén - a függvény szigorúan monoton csökkenő - bármely pontban az érintő irányszöge negatív → iránytangens negatív → derivált előjele negatív A megfigyelés általánosítható:

4. Függvények menetének vizsgálata Tétel: Ha az ]a;b[ intervallumban differenciálható f(x) függvény az intervallumban monoton csökken, monoton nő akkor a derivált az intervallum minden pontjában nemnegatív nempozitív Megjegyzés: a függvény szigorú monotonitásából is csak az következik, hogy a derivált nemnegatív illetve nempozitív pl.: a többi helyen pontban

5. Függvények menetének vizsgálata 2. A függvényvizsgálatkor általában a derivált előjeléből következtetünk a függvény menetére: Tétel: Ha f ‘(x) az ]a;b[ intervallumban nemnegatív (nempozitív), akkor az f(x) függvény monoton növekvő (monoton csökkenő). Ha f ‘(x) az ]a;b[ intervallumban pozitív (negatív), akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő (szigorúan monoton csökkenő). f(x) monoton nő f(x) szigorúan monoton nő f(x) monoton csökken f(x) szigorúan monoton csökken

6. Függvények menetének vizsgálata A függvény szélsőértékének és a deriváltnak kapcsolata 1. Egy differenciálható f(x) függvény lokális szélsőérték helyén a görbéhez tartozó érintő párhuzamos az x tengellyel az érintő iránytangense nulla Megfordítva nem mindig teljesül, a derivált zérushelyén a függvénynek nincs mindig szélsőértéke

7. Függvények menetének vizsgálata 1. Példa: pontban - a görbéhez húzott érintő az x tengely - az érintő az érintési pontban a görbét átmetszi - az pontban a függvénynek nincs szélsőértéke, mert az minden más pontban, tehát a függvény mindenütt szigorúan monoton növekvő - az pont környezetében a derivált nem vált előjelet Az ilyen tulajdonságú grafikonpontot inflexiós pontnak, a grafikont az érintési pontban átmetsző érintőt inflexiós érintőnek nevezzük.

8. Függvények menetének vizsgálata 2. Példa: pontban - a görbéhez húzott érintő az x tengely - Ha , akkor az a függvény szigorúan monoton csökkenő - Ha , akkor az a függvény szigorúan monoton növekvő - az pont környezetében a derivált előjelet vált → a függvénynek lokális szélsőértéke van Általánosan:

9. Függvények menetének vizsgálata Tétel: Az ]a;b[ intervallumban differenciálható f(x) függvénynek az intervallum x0pontjában csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha f ‘(x0 )= 0. Ez a szélsőérték létezésének szükséges feltétele. Haemellett az x0pont környezetében a derivált még előjelet is vált, akkor az f(x) függvénynek az x0 pont környezetében lokális szélsőértéke van. A derivált előjelváltásának módjából a szélsőérték jellegére is következtethetünk.

10. Függvények menetének vizsgálata vagy

11. Függvények menetének vizsgálata A függvény deriváltjának és az inflexiós pont létezésének kapcsolata Bebizonyíthatók a következő tételek: Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallum x0pontjában kétszer differenciálható, és f ‘’(x0 )= 0, valamint a második derivált előjelet vált, akkor az f(x) függvénynek az x0helyen inflexiós pontja van. Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallum x0pontjában háromszor differenciálható, és , akkor az f(x) függvénynek az x0helyen inflexiós pontja van.

12. Függvények menetének vizsgálata Tétel: Ha az f(x) függvény az ]a;b[ intervallumban kétszer differenciálható, és f ‘’(x) > 0, akkor az f(x) függvény konvex, ha f ‘’(x ) < 0, akkor az f(x) függvény konkáv.

13. Függvények menetének vizsgálata A függvényvizsgálat célszerű lépései: • értelmezési tartomány meghatározása • zérushelyek kiszámítása • a derivált meghatározása • a derivált zérushelyeinek kiszámítása • a táblázat elkészítése • megvizsgáljuk, hogy páros-e, páratlan-e, periodikus-e stb… • a függvény grafikonjának felvázolása

14. Példák függvényvizsgálatra 1. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Inflexiós pont inflexiós pont

15. Példák függvényvizsgálatra Páratlan függvény: a függvény grafikonja szimmetrikus az origóra Az függvény vázlatos képe:

16. Példák függvényvizsgálatra 2. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek: Inflexiós pont: inflexiós pont

17. Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

18. Példák függvényvizsgálatra 3. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Inflexiós pont: inflexiós pont

19. Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

20. Példák függvényvizsgálatra 4. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

21. Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe:

22. Példák függvényvizsgálatra 5. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

23. Példák függvényvizsgálatra Inflexiós pont: inflexiós pont Az függvény vázlatos képe:

24. Példák függvényvizsgálatra 6. Példa: Zérushely: Deriváltfüggvény: Szélsőértékhelyek:

25. Példák függvényvizsgálatra Az függvény vázlatos képe: