F rel sning 4 5
Download
1 / 40

Föreläsning 4-5 - PowerPoint PPT Presentation


  • 160 Views
  • Uploaded on

Föreläsning 4-5. Logik med tillämpningar 97-11-11. Innehåll. Deduktiva system Gentzensystem Hilbertsystem Resolution Kapitel 2.7 - 2.10 i Ben-Ari Efter dagens föreläsning kan hela laboration 1 lösas.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Föreläsning 4-5' - brooke-gentry


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
F rel sning 4 5

Föreläsning 4-5

Logik med tillämpningar

97-11-11


Inneh ll
Innehåll

  • Deduktiva system

    • Gentzensystem

    • Hilbertsystem

  • Resolution

  • Kapitel 2.7 - 2.10 i Ben-Ari

  • Efter dagens föreläsning kan hela laboration 1 lösas.


  • Semantiska tablåer kontrollerar en given formels satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • En teoretiker har som uppgift att hitta på en mängd intressanta axiom, från vilka han/hon sedan kan härleda teorem.

  • I våra termer härleder teoretikern element ur T(U) för att hitta logiska konsekvenser av axiomen U. Definition (2.5.14)Låt T(U) = {A | UA}. T(U) kallas teorin av U och elementen i T(U) kallas teoremen av U. Elementen i U kallas axiomen av T(U).Teorem (2.5.11) Vi har visat att A  T(U) omm (A1  ...  An)  A är valid där U = {A1, ..., An}.


Problem
Problem: satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Mängden axiom behöver inte vara ändlig.

  • Inte alla logiska system har beslutsprocedurer för validitet som satslogiken.

  • En algoritm för validitet ger liten insikt i strukturen av beviset.

  • Vi har svårt att använda strukturen i ett bevis för att göra ett nytt bevis för en liknande formel.


Deduktiva bevis
Deduktiva bevis satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Välj

    • en mängd axiom och

    • en mängd regler för hur man får dra slutsaster

  • Slutsatser som man drar bildar teorem och beskrivningen av hur man nått teoremet kallas beviset för teoremet.


Skillnaden mellan semantiska och deduktiva system
Skillnaden mellan semantiska och deduktiva system: satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Semantiska system kräver inte att vi är smarta, bevisen är mekaniska.

  • Deduktiva system kräver att vi planerar vårt bevis, och att vi har viss erfarenhet. De är sämre för datorer.


Hilbert och gentzen

1862-1943 satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

”Wir müssen wissen, wir werden wissen.”

- Vi måste veta, vi ska veta.

1909-1945Blev Hilberts assistent 1934

Dog av undernäring i ryskt fångenskap

Hilbert och Gentzen

  • Hilbert-system

    • har flera axiom men bara en regel.

    • formaliserar klassiska metoder för matematiskt resonerande

  • Gentzen-system

    • har ettaxiom men många regler.

    • är lättare än Hilbert-system att mekanisera


Gentzensystem
Gentzensystem satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Brukar betecknas G och kallas även naturlig deduktion.

  • Använder mängder av formler, precis som de semantiska tablåerna.


Definition (2.8.1) satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Systemet G består av axiom och inferensregler. Ett axiom i G är en mängd formler U innehållande ett kompletterande par av literaler. Inferensreglerna har formen

och

Premisser

Slutsatser


Bevis och bevisbarhet
Bevis och bevisbarhet satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Definition (2.8.2)

Ett bevis i G är en sekvens av formelmängder så att varje element antingen är ett axiom eller kan härledas från en eller två tidigare element i sekvensen med hjälp av en inferensregel. Om A är sista elementet i en sådan sekvens, så kallas sekvensen för ett bevis av A, och A är bevisbar. Notation:  A.


satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.((p  q)  (p  q))

((p  q)  (p  q)) ((p  q)  (p  q))

p  q, (p  q) p  q, (p  q)

 p, (p  q) q, (p  q) p, (p  q) q, (p  q)

 p, p,  q q, p,  q p, p, q q, p, q

X X X X

q, p , q p, p, q q, p , q p, p, q

q, (p  q) p, (p  q) q, (p  q) p, (p  q)

(p  q), (p  q) (p  q), (p  q)

(p  q)  (p  q) (p  q)  (p  q)

(p  q)  (p  q)

Semantisk tablå för negationen

Gentzens deduktion i trädform

Gentzensystemet producerar träd som i princip är semantiska tablåer upp och ner med omvända tecken.


R systemet korrekt
Är systemet korrekt? satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • För att visa validitet med semantiska tablåer var vi tvungna att negera formeln och visa att den inte är satisfierbar.

  • Gentzensystemet gör precis detta, fast bakvägen.

  • Vi kan därför lätt visa att Gentzensystemet är sunt och fullständigt med hjälp av resultaten från semantiska tablåerna.


Teorem (2.8.5) satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden. (bevisas i boken)

  • Låt U vara en mängd formler och låt U' vara mängden av komplementen till formlerna i U. Det finns ett bevis för U i G om det finns en stängd semantisk tablå för U'.

  • Specialfall: Det finns ett bevis för A i G omm den semantiska tablån för A är stängd.


Sundhet och fullst ndighet f r g
Sundhet och fullständighet för satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.G

Teorem (2.8.6)

En formel A är valid omm A är bevisbar i G.

Bevis:

A är valid omm A är osatisfierbar omm den semantiska tablån för A är stängd omm det finns ett bevis för A i G.


Hilbertsystem
Hilbertsystem satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Hilbertsystemet har tre axiom och en inferensregel

  • Axiomen definierar en oändlig mängd axiom, eftersom A, B och C representerar godtyckliga formler.

    Definition (2.9.1)

    För godtyckliga formler A, B och C så är följande

    formler axiom i H:

     (A  (B  A))

     ((A  (B  C))  ((A  B)  (A  C))

     (B A)  (A  B)


Inferensregeln
Inferensregeln satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Definition (2.9.2)

För godtyckliga formler A och B så är

inferensregeln i H. Denna regel kallas för modus ponens eller MP.


H rledda inferensregler
Härledda inferensregler satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Vi kan utöka Hilbertsystem med s k härledda inferensregler. Vi kan då använda dessa regler precis som vi använder modus ponens.

  • Vi måste kunna visa att den nya regeln är sund.

  • Detta görs genom att visa hur ett bevis som använder den nya regeln kan transformeras till ett nytt bevis som bara använder MP.


Antaganden assumptions
Antaganden (assumptions) satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Definition (2.9.4)

Låt U vara en mängd formler och A en formel.

Notationen U  A betyder att formlerna i U är antaganden i beviset av A, dvs, de kan användas precis som axiomen i bevisföringen.


Deduktionsregeln
Deduktionsregeln satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.


Kontrapositiva regeln
Kontrapositiva regeln satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.


Tranisitivitets regeln
Tranisitivitets regeln satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Detta teorem visar att det är OK att visa ett teoremmed hjälp av en serie lemman.


Byte av antecedenter
Byte av antecedenter satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Det spelar ingen roll i vilken ordning man gör sinaantaganden.


Dubbla negeringsregeln

Vanligt resonemang i matematik. satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Om inte x y så är x = y

Kan vara lurigt att använda i dagligt tal…

”Det är inte sant att jag inte är glad” behöver inte vara samma sak som ”Jag är glad”.

Dubbla negeringsregeln


R hilbertsystemet korrekt
Är Hilbertsystemet korrekt? satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Sundhet: Om  A så gäller att  A.Dvs om A är bevisbar så ska A vara valid.

    • Visas genom att visa att axiomen är valida (med semantiska tablåer) och sedan göra ett motbevis. Vi antar att Modus Ponens inte är valid och når en motsägelse.

  • Fullständighet: Om  A så gäller att  A.Dvs om A är valid så ska A vara bevisbar.

    • Utnyttjar att vi bevisat fullständighet hos Gentzen-system och visar hur ett bevis i G transformeras till ett i H.


Exempel
Exempel satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • p  q  q  p  (p  q)  (q  p)

  • p  (p  q)  p  (p  (p  q))  p  (p  (p  q))  p


Resolution
Resolution satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Resolution lämpar sig ypperligt för att implementera automatisk bevissökning på dator.

  • Resolution är förhållandevis effektivt.

  • Resolution bildar den teoretiska basen för logikprogrammering.


CNF satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Definition (2.10.1)

En formel är i konjunktiv normalform (CNF) om den är en konjunktion av disjunktioner av literaler.

(p  q)  (r)  (p)

(p  q)  ((p q) r)  (p)

(p  q) (r  p)

Teorem (2.10.2)

Alla satslogiska formler kan omvandlas till konjunktiv normalform.


Klausul klausulform enhetsklausul
Klausul, klausulform, enhetsklausul satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Klausul = mängd med literaler

  • Formel = mängd med klausuler

  • Man säger att en formel enligt ovan är i klausulform

  • Enhetsklausul = en klausul med endast en literal

  • En formel i klausulform är satisfierbar omm motsvarande CNF-formel är satisfierbar.


F rkortad skrivform
Förkortad skrivform satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Formler i klausulform tex:

(p  q  r)  (q  r)  (r)

skrivs som

Notera att negation markeras med ett strecköver symbolen.


Transformationer av formler
Transformationer av formler satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

Definition (2.10.4)

Låt S och S' vara klausulmängder. S  S' betyder att S är satisfierbar omm S' är satisfierbar.

Vi kommer att titta på flera lemman där man kan transformera formlerna till en ny mängd utan att förändra satisfierbarheten.


  • I följande lemman och teorem kommer satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.S vara klausulmängder, C klausuler och l literaler. Om l är en literal, så är lc dess komplement.

  • Lemma (2.10.5) Antag att en literal l finns i S, men inte lc. Låt S' vara klausalmängden där alla klausuler som innehåller l tagits bort. Då gäller SS'.


  • Lemma (2.10.6) satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.Låt {l}S vara en enhetsklausul. S' fås från S genom att ta bort alla klausuler innehållande l och ta bort lc från alla klausuler i S. Då gäller SS'

  • Lemma (2.10.7)Om både l C och lcC för någon C S, låt S' = S - {C}. Då gäller S  S'.


Subsumering
Subsumering satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Definition (2.10.8)Om C1 C2, så säger vi att C1 subsumerar C2, och C2 är subsumerad av C1.

  • Lemma 2.10.9Om C1, C2 S och C1 subsumerar C2, låt S' = S - {C2}. Då gäller S  S', dvs den större klausulen kan tas bort.


Tomma m ngder av klausuler
Tomma mängder av klausuler satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Antag S = . S är uppenbart valid, dvs de möjliga interpretationerna v(p) = T och v(p) = F satisfierar båda S.

  • Enligt lemma (2.10.7) så kan vi ta bort alla klausuler som innehåller kompletterande literaler utan att påverka satisfierbarheten. S' = {} = , dvs tomma mängden.

  • En tom klausulmängd är alltså satisfierbar.


Tomma klausuler
Tomma klausuler satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Antag S ={p, }. S är ekvivalent med p p, en formel som är uppenbart osatisfierbar.

  • Enligt lemma (2.10.6) kan vi ta bort en enhets-klausul och samtidigt ta bort alla komplement till literalen ur kvarvarande klausuler i S utan att påverka satisfierbarheten. Vi får då S' = {}, där  står för den tomma klausulen.

  • En klausulmängd innehållande en tom klausul är alltså inte satisfierbar.


Resolutionsregeln
Resolutionsregeln satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Låt C1 och C2 vara klausuler så att lC1 och lcC2.C1 och C2 är då kolliderande (clashing) klausuler och de kolliderar på de kompletterande literalerna l och lc.

  • Klausulen C = Res(C1, C2) = (C1 - (l})  (C2 - (lc }) kallas för resolventen av C1 och C2.

  • C1 och C2 är föräldraklausuler till C.


R resolventen satisfierbar
Är resolventen satisfierbar?? satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Teorem (2.10.12)Resolventen C är satisfierbar omm föräldra-klausulerna C1 och C2 är (ömsesidigt) satsifierbara.


Resolutionsproceduren
Resolutionsproceduren satisfierbarhet. Den ”uppfinner” inga nya formler och utnyttjar inte några antaganden.

  • Låt S vara en mängd klausuler och definiera S0 = S. Antag att vi har konstruerat Si. Välj två kolliderande klausuler C1, C2 Si, och låt C vara resolventen Res(C1, C2).

  • Om C = kan proceduren avbrytas, eftersom S då är osatsifierbar.

  • Annars konstruera Si+1 = Si {C}.Om Si+1 = Si för alla möjliga kollisioner, avbryts proceduren, S är satisifierbar.


  • Resolution är inte en beslutsprocedur för validitet, utan för satisiferbarhet. Som vi vet sedan tidigare är detta inte ett problem.

  • För att avgöra om formeln A är valid, så kontrollerar vi om A är satisfierbar. Om A inte är satisfierbar, så är A valid.

  • Resolution är alltså en refuteringsprocedur.

  • Det normala användningssättet för resolution är att använda det för teorembevisning.


ad