La matematica non un aggregato di formule astratte ma rappresenta il cammino del pensiero dell uomo
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La matematica non è un aggregato di formule astratte, ma rappresenta il cammino del pensiero dell'uomo. I numeri Irrazionali. Giulia Bellezza Anastasia De Giglio Alessia Lentano Giorgia Ruta Roberta. Scusate, mi presento sono Pitagora Filosofo un po’ antico.

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I numeri Irrazionali..

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Presentation Transcript


La matematica non un aggregato di formule astratte ma rappresenta il cammino del pensiero dell uomo

La matematica non è un aggregato di formule astratte, ma rappresenta il cammino del pensiero dell'uomo.

I numeri Irrazionali..

  • Giulia Bellezza

  • Anastasia De Giglio

  • Alessia Lentano

  • Giorgia Ruta

  • Roberta


I numeri irrazionali

Scusate, mi presento sono

Pitagora

Filosofo un po’ antico

Mileto 375 a.C Metaponto 495 a.C.

Riflettevosulfatto che..


I numeri irrazionali

Pitagora

Figura maggiore della filosofia rivestito da un alone di leggenda.

Prototipo del “filosofo antico” propone ai suoi discepoli:

  • uno stile di vita dedicata alla ricerca della verità

  • un isolamento dai problemi della città (biòs theoreticòs).


I numeri irrazionali

Scuola pitagorica

Nasce la

matematica = “insegnamento” (in greco);

  • i matematici (discepoli più esperti nell’insegnamento)

  • che hanno superato l’iniziazione

  • gli acusmatici invece possono solo ascoltare

  • una leggenda narra che Pitagora parlava loro dietro una tenda


I numeri irrazionali

2

10

0,51

matematica

1

3

1009756

124

i principi della matematica

sono i numeri

  • nei numeri credettero

  • più che nel fuoco

  • capirono che nel numero

  • vi era l’essenza di ogni realtà:

  • tutto è numero

  • tutto è numeralizzabile

I pitagorici si chiedevano cosa ci fosse al principio dell’universo (αρχή).


I numeri irrazionali

2

10

0,51

matematica

1

3

1009756

124

i principi della matematica

sono i numeri

  • I pitagorici associavano:

  • il cosmo, qualcosa di tangibile, illimitato e concreto allarazionalità dei numeri

  • la negativitàdel chaosall’irrazionalitàdei numeri

  • Il calcolus o “sassolino” era utilizzato dai pitagorici per compiere i calcoli...


Incommensurabili quando non ammettono una grandezza sottomultipla comune

Le grandezze incommensurabili

Due grandezzeomogenee

sidicono

incommensurabili

quando non ammettono

una grandezza sottomultipla comune…


Dimostrazione

AC e AB sono incommensurabili?

AC= DIAGONALE

AB= LATO

Per ASSURDO

QUADRATO

Dimostrazione..

Supponiamo che AC e AB siano segmenti commensurabili: data una grandezza sottomultipla comune U contenuta m volte in AC e n volte in AB.

n AC = m AB.

Con il teorema di Pitagora sul triangolo ABC si ha n2= 2 m2.

Si è giunti ad un assurdo perché n2 contiene 2 elevato ad esponente pari, mentre il secondo membro contiene 2 elevato ad esponente dispari.

Questo è un assurdo.

Ne consegue che AC e AB

sono segmenti incommensurabili.


I numeri irrazionali

Grandezze commensurabili

Grandezze incommensurabili

Riprendiamo il caso precedente. Confrontiamo AC e AB :

AB<AC<2AB

riportando ABsu AC si nota che ABè contenuto una sola volta con il resto dir.

La definizione di rapporto per le grandezze commensurabili non ha significato per quelle incommensurabili.

Nuovo rapporto


I numeri irrazionali

Q+

I+

R+

Ripetendo il procedimento possiamo dedurre che non si avrà mai un resto nullo. Se ciò accadesse si otterrebbe un numero irrazionale.

Si viene a costruire così un allineamento decimale, illimitato, non periodico.

Q+ U I+ =R+

Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale (positivo); esso è un numero razionale nel caso di grandezze commensurabili, irrazionale nel caso di grandezze incommensurabili.


Esplorare come esplorare l universo david chudnovsky

“ Esplorare πè come esplorare l’Universo…”David Chudnovsky


La storia del

π

La storia del π:

Nasce nel 1706 dal matematico inglese William Jones

Non può essere scritto come quoziente di due interi

La sua approssimazione è 3,14

È un numero irrazionale e trascendente

Non è una costante fisica, bensì matematica

È anche conosciuto come la costante di Archimede


Costruzione geometrica delle radici quadrate dei numeri naturali

Costruzione geometrica delle radici quadrate dei numeri naturali


I numeri irrazionali

Consideriamo il triangolo OAB di figura in cui OA=1

costruisce geometricamente le radici quadrate dei numeri interi a partire da un triangolo rettangolo isoscele avente cateti di lunghezza unitaria

La spirale di Teodoro


I numeri irrazionali

l'ipotenusa di OBCOC =√3Iterando il procedimentosi ottengono tutte le radici quadrate dei numeri naturali (√N)

Per il teorema di PitagoraOB =√2.si costruisce un nuovo triangolo rettangolo retto in B con cateti OB e BC, tale che BC=1

Si ottiene inoltre tale figura:


Ma c un numero razionale che al quadrato fa esattamente due

…ma c’è un numero razionale che al quadrato fa esattamente due?

1,442 = 2,0736

1,432 = 2,0449

1,412 = 1,9881

1,41422 =1,99996164

1,4152 = 2,002225

1,414212 =1,999989924


I numeri irrazionali

“ La reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide è una delle più belle armi di un matematico. E’ un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita.”

G.H.Hardy


I numeri irrazionali

Le grandezze non sempre possono essere espresse sotto forma di frazioni.

Per questo esiste un’altra categoria di numeri chiamati irrazionali.

Questinon possono essere scritti come decimali, né come decimali periodici.

La misura esatta della diagonale del quadrato di lato 1 è √2

ogni tentativo di scriverlo in forma decimale può soltanto essere un’approssimazione ad 1,414213562373..


I numeri irrazionali

1

2

valore approssimato per difetto a meno di una unità

valore

approssimato per eccesso a meno di

una unità

Quindi 1<√2<2


I numeri irrazionali

La ricerca della posizione di √2 all’interno dell’intervallo avvia un procedimento infinito

e genera due classi di numeri

i cui elementi sono gli infiniti valori

approssimatirispettivamente

per difetto e per eccesso


I numeri irrazionali

determina

separa

Proprietà di Cd e Ce

º Le classi sono separate: Cd<Ce

º Fra le due classi c’è un avvicinamento indefinito

ºLe classi si dicono contigue

√2

Cd

Ce

Si definisce numero irrazionale l’elemento separatore di una coppia di classi contigue di numeri razionali che rappresentano i suoi valori approssimati rispettivamente per difetto e per eccesso.


I numeri irrazionali

Grazie per avermi ascoltato..il mio lavoro finisce qui…ora torno ai miei pensieri. Buona fortuna!


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