MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 69

KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR PowerPoint PPT Presentation


  • 221 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ. KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR. DERS ÖĞRETMENİ:. BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN. LİNEER CEBİR. MATRİSLER DETERMİNANTLAR. TANIM : m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan;. i. satır. j. sütun.

Download Presentation

KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ

KONU: MATRİSLER VE DETERMİNANTLAR

DERS ÖĞRETMENİ:

BAŞLAMAK İÇİN TIKLAYIN...


LİNEER CEBİR

  • MATRİSLER

  • DETERMİNANTLAR


TANIM: m,n için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , reel sayılarından oluşturulan;

i. satır

j. sütun

tablosuna, m x n biçiminde (tipinde) bir matris denir.

Satranç tahtası 8x8 tipinde bir matris örneğidir.


A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve

elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A = şeklinde gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir.

.

A matrisinin elemanlarına i.satır elemanları;

elemanlarına da j. sütun elemanları denir.


Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisidenir.

B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)

B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi)

. . . .

. . . .

. . . .

Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi)

şeklinde

gösterilir.

A= [aij]m x n =

A matrisi satır matrisine bağlı olarak,

Satır Matris


Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir.

  • A1 :1.satır matrisi

  • A2 : 2.satır matrisi

  • ...

  • ...

  • An : n.satır matrisi

A matrisi sütun matrisine bağlı olarak ,

A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.

Sütun Matris


Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan kare matris denir.

matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir.

Satranç tahtası aynı zamanda 8x8 ‘lik bir kare matris örneğidir.

Kare Matris


Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir ve O harfi ile gösterilir.

matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.

Sıfır Matrisi


Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann elemanlarının oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir.

a11,a22,a33 : asal köşegen

a31,a22,a13 :yedek köşegen

Yedek köşegen

Asal köşegen

Asal Köşegen , Yedek Köşegen


Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir.

matrisi, 3.sıradan bir köşegen matrisidir.

Köşegen Matris


Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a11 = a22 = a33 ...= ann = k ise, (k R) bu matrise, skalar matris denir.

matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir.

Skalar Matris


Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n tipindeki bir birim matrisIn ile gösterilir.

matrisi , 4.sıradan bir birim

matrisidir. I4 ile gösterilir.

(asal köşegen)

Birim Matris


Şekildeki bulmaca 15x15 tipinde bir matris örneğidir.


Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler, eşit matrisler denir.

 (i, j)  M x N için, aij = bij  [aij]m x n = [bij]m x n

ÖRNEK:

é

ù

+

é

ù

a

4

x

5

3

a

2

b

=

=

A

ve

B

ê

ú

ê

ú

+

b

y

2

a

2

b

5

ë

û

ë

û

olmak üzere, A = B ise

kaçtır ?

İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ


5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan

é

ù

+

a

5

3

a

2

b

é

ù

4

x

matrislerinin

eşitliğinden,

=

ÇÖZÜM : A = B 

ê

ú

ê

ú

+

b

a

2

b

5

y

2

ë

û

ë

û

5a = 22

5b = 2  52b = 22

 5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer x/y de yerine yazılırsa;

bulunur.


+

é

ù

é

ù

x

y

1

0

6

1

0

=

Örnek

:

ise

ê

ú

ê

ú

-

-

-

1

4

2

1

x

y

2

ë

û

ë

û

2

3

2

3

x

x

=

x

?


+

=

Çözüm

:

x

y

6

=

=

Þ

=

x

-

y

4

2x

10

x

5


Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun.A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B matrislerinin toplamı denir.

O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ


ÖRNEK:

A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B

matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?


ÇÖZÜM:

İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi.

Buna göre;

m+1 = n+1  p-2 = 2  m = n  p = 4

3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3  k = 2

m =n 2 , p = 4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.


é

ù

é

ù

é

ù

-

2

5

z

ê

ú

ê

ú

ê

ú

+

=

-

=

Örnek

:

1

y

1

ise

(x,

y,

z)

?

ê

ú

ê

ú

ê

ú

ê

ú

ê

ú

ê

ú

-

x

4

2

ë

û

ë

û

ë

û


=

Þ

=

Çözüm

:

x

-

4

2

x

6

+

=

Þ

=

1

y

-1

y

-2

+

=

Þ

=

-

2

5

z

z

3


1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özeliği vardır.

2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özeliği vardır.

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ


3. Sıfır matrisi, toplama işleminin etkisiz elemanıdır.

4. matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,

matrisidir.

A+(-A) =


Tanım: matrisi verilmiş olsun. matrisine ,

matrisinin toplama işlemine göre tersi denir.

Örneğin: matrisinin toplama işlemine göre tersi,

matrisidir.

Bir Matrisin Toplama İşlemine Göre Tersi


İKİ MATRİSİN FARKI

Tanım : matrislerinin farkı,


MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI

C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir

Örneğin: k=5 bir reel skalar dır.

Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin çarpımı denir.

é

ù

2

-

3

=

Örnek

:

matrisi

ve

k

3

sayısı için

ê

ú

4

1

ë

û

k.A

matrisini

bulalım.

-

é

ù

é

ù

2

-

3

6

9

=

=

Çözüm

:

k.A

3.

bulunur.

ê

ú

ê

ú

4

1

12

3

ë

û

ë

û


Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k1,k2 olsun.

Her ve

  • k.(A+B) = k.A + k.B

  • (k1+ k2).A = k1.A + k2.A

  • k1.(k2.A) = (k1.k2).A

Skalarla Çarpmanın Özellikleri


-

é

ù

é

ù

-

1

2

0

1

0

1

+

-

=

Örnek

:

3.

(

4

).

?

ê

ú

ê

ú

-

-

2

-

3

1

2

3

2

ë

û

ë

û


-

é

ù

é

ù

-

3

6

0

4

0

4

+

Çözüm

:

ê

ú

ê

ú

-

-

-

6

-

9

3

8

12

8

ë

û

ë

û

-

é

ù

7

6

4

=

ê

ú

-

-

14

21

11

ë

û

2

3

x


Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için ;1. matrisin sütun sayısı , 2.

matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.

olmak üzere; elemanları

toplamıyla bulunan matrisine A ve B

matrislerinin çarpımı denir ve biçiminde

gösterilir.

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ


Örnek: olduğuna göre A.B ve B.A’yı

bulalım.


Çözüm:

Buna göre A.B ve B.A birbirine eşit değildir.


MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

  • 2. A  O ve B  O olduğu halde, A . B = O olabilir.

ve

olup;

dır.

1.Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B  B . A


3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde yutan elemandır.

4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.

5.Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ; A.(B .C) = (A .B) . C dir.


6.Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.

a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği;

A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ;

A.(B +C) = A .B + A . C dir.

b.Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği;

A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde iseler,

(A +B) C . = A .C + B . C olur.


Örnek: veriliyor.A.B=B.C

olduğunu gösterelim.

7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir.

8. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.


Çözüm:

O halde A.B=A.C dir. Dikkat edilirse , A.B =A.C iken , B , C’ye eşit değildir.


Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. kN+ olmak üzere

A0 = In , A1 =A, A2 = A.A , A3 =A.A2 , ..., Ak =A.Ak-1 dir.

KARE MATRİSİN KUVVETİ


BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ

Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisininçarpma işlemine göre tersi denir.

A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir.

A.A-1 = A-1.A =In dir.

Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri

  • olmak üzere , n. sıradan bir A kare matrisinin

  • çarpma işlemine göre tersi varsa,


2.n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri,

ve ise;

3. ise, dır.

Eğer ad-bc=0 ise, yoktur.


BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ)

Tanım: matrisinin sütunları satır ya da satırları

sütun haline getirmekle elde edilen matrisine

A matrisinin devriği denir ve AT veya Ad ile gösterilir.

matrisinin transpozu,

Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise;

1. 2. 3.


Teorem: ve matrisleri için,

dir.

Teorem: A tersi olan bir matris ise, dir.

-

é

ù

1

1

2

Örnek:

=

T

T

A

.

B

ise

,

B

.

A

matrislerini

bulalım

.

ê

ú

3

4

5

ë

û

é

ù

1

3

Çözüm:

T

-

é

ù

1

1

2

ê

ú

(

)

T

=

=

=

-

T

T

T

T

A

.

B

B

.

A

için

B

.

A

1

4

dir

.

ê

ú

ê

ú

3

4

5

ë

û

ê

ú

2

5

ë

û


Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun;

1. = A ise, A matrisine, simetrik matris denir.

2. = -A ise A matrisine, antisimetrik matris denir.

3. = ise A matrisine, ortogonal matris denir.

Örnek:

matrislerinin hangisinin

simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.

Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal


Çözüm:

Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.

simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir.

matrisi, antisimetrik matristir. Çünkü, AT = -A dır.


Tanım:1x1 biçimindeki matrisinin determinantı, dir.

Örneğin; A=[7] matrisi için dir.

Tanım: 2x2 biçimindeki matrisinin determinantı

dir.

DETERMİNANTLAR


-

é

ù

3

6

olduğuna göre , yı hesaplayalım.

=

Örnek

:

A

ê

ú

Tanım

-

2

8

ë

û

-

é

ù

3

6

3.8-(-2).(-6) = 24-12 = 12 bulunur.

=

=

Çözüm:

A

ê

ú

-

2

8

ë

û


é

ù

-

1

0

3

ê

ú

=

Örnek

:

A

2

1

0

oldu

ğldu

göre,

A

y

ı

hesaplayal

ım.

ê

ú

ê

ú

0

5

-

4

ë

û


-

1

0

3

=

Çözüm

:

A

2

1

0

0

5

-

4

[

]

[

]

=

-

-

+

+

-

+

-

+

-

(

1

).

1

.(

4

)

2

.

5

.

3

0

.

0

.

0

3

.

1

.

0

0

.

5

.(

1

)

(

4

).

0

.

2

=

+

+

-

+

+

=

(

4

30

0

)

(

0

0

0

)

34

bulunur.


MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)

Tanım:n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin determinantına, elemanının Minör’ü denir ve ile gösterilir.

ifadesine, elemanının kofaktörü yada işaretli minörü denir.

Tanım:3x3 türünden bütün matrislerin kümesi olsun.

olmak üzere,

ile tanımlı fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.


Örnek:determinantını hesaplayalım.

Çözüm:3000=a dersek, olur.

Buna göre, açılımını yapalım:

=(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8 bulunur.


Tanım:n. Mertebeden kare matrislerin kümesi Mn olsun.

é

ù

a

a

a

11

12

1

n

ê

ú

a

a

a

Î

olmak üzere

M

ê

ú

ile tanımlı

fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= ifadesine de A matrisinin determinantı denir.

n

21

22

2

n

ê

ú

a

a

a

ë

û

n

1

n

2

nn

DETERMİNANT FONKSİYONU


-

1

0

2

0

-

Örnek: değerini bulalım.

1

1

0

1

=

A

0

1

2

1

-

1

3

2

4


Çözüm:

= -1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) = -1.(-10)+2.(3)=16

bulunur.


DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ

1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.

A karesel matris ise, dir.

2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin determinantının değeri sıfırdır.

determinantı verilmiş olsun.

Bu determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak orantılı olduğu için, dır.


=0 dır.

4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters işaretlisine eşittir.

3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise, determinantın değeri sıfırdır.

(Asal köşegen altındaki elemanlar sıfırdır.)


5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant işaret değiştirir.

ise dır. (1. Satır ile 2. Satır yer

değiştirmiştir.)

6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de k katına çıkar.

ise olur.


7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.

dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra eklenmiştir.)


8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

Determinantı aynı sıradan iki determinantın toplamı biçiminde yazılırsa ;

olur.


9) Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam sıfır olur.

3. Sıradan bir determinantta a11.A21+a12.A22+a13.A23 = 0 dır.

10) N. Mertebeden A ve B matrisleri için,

dir.

ve


Tanım: n. mertebeden kare matrisi verilmiş

olsun. aij elemanının kofaktörü Aij ise ; matrisine, A

matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir.

EK MATRİS


Örneğin;

matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma

göre matriste her elemanın yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen matrisin transpozu alınır.

İşaretleri değişir. Yerleri değişir.


A.Ek(A)=Ek(A).A=

.I

Yukarıdaki özelliği, A=

matrisi için gösterelim:

=(ad-bc)

Ek Matris Özelliği


Teorem: A matrisi

olan bir matris olmak üzere,

‘dır.

İspat: A.Ek(A) =A.I eşitliğinin her iki tarafını, soldan A-1 ile çarpalım:

A-1 Matrisinin Ek Matris Yardımıyla Bulunuşu:


Örnek:

Çözüm:

matrisinin tersini bulalım.

olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı bulalım.


SUNUM SONA ERMİŞTİR


  • Login