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¿ Que es la Teoría de la Computación?. Sergio Rajsbaum Instituto de Matemáticas, UNAM. ¿ Cómo explicar que es la Teoría de la Computación?. Definiciones Breve introducción histórica Ejemplos de problemas Lista y clasificación de temas.

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¿ Que es la Teoría de la Computación?

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Presentation Transcript


¿Que es la Teoría de la Computación?

Sergio Rajsbaum

Instituto de Matemáticas, UNAM


¿Cómo explicar que es la Teoría de la Computación?

  • Definiciones

  • Breve introducción histórica

  • Ejemplos de problemas

  • Lista y clasificación de temas


En pocas palabras¿Que es la Teoría de la Computación?

Los cimientos del edificio


El Edificio

Ciencia e Ingeniería de la Computación:

  • conglomerado de disciplinas científicas y de ingeniería relacionadas -- estudio y aplicación del cómputo.

  • Desde

    • mas puras y básicas disciplinas científicas dedicadas a los fundamentos de la computación

    • hasta las de ingenierías dedicadas a aplicaciones especificas.


La Teoría de la Computación Pretende

Entender

Estudiando modelos matemáticos relacionados

al cómputo


¿Qué es el cómputo?

  • El interéspor diseñar métodos y dispositivos para cálculos aritméticos y lógicos es antiguo, pero

  • sin entendimiento de la naturaleza del cómputo en general

¿ método, dispositivo?


10o Problema de Hilbert(Paris, 1900)

un método mediante el cual se puede determinar en un número finito de operaciones”

“diseñar

si un polinomio tiene una

raíz entera


Yuri Matijasevic

En 1970 el matemático de Leningrado de 22 años

resolvió el problema al

probar que no existe tal

método

(basado en trabajo de Davis, Putnam y Robinson)

→ Lo cual hubiera sido difícil de lograr para los matemáticos

de 1900 con su noción intuitiva de algoritmo …


Alan Turing

En 1936 con la Máquina de Turing

formalizó la noción de algoritmo

(no tan chico − a la edad de 24 años)

Simultáneamente Alonzo Church con la noción equivalente de lambda-cálculo y otros…


entrada

Máquina de Turing

2

0

1

0

2

q0 =

q

  • Inicialmente:

    • en el estado q0

    • con entrada w

control finito

función de transición

δ

  • Operación, según δ(q,x)=(q’,x’,d):

    • si esta en estado qsobre el simbolo x

    • cambia a q’, sobre-escribe x’ y se mueve

      una posición (der. o izq.)


Máquina de Turing

Formalmente, no es mas que un conjunto

de quintupletas que describen la función

de transición δ


¡La mayoría de las funciones no son computables!

El conjunto de Máquinas de Turing es numerable;

el de todas las funciones no lo es


Tesis de Church-Turing

Noción intuitiva

de algoritmo

=

Máquina de Turing


2

0

1

0

2

q0

Máquina de Turing Universal

Descripción de M

Simula a una Máquina de Turing M


Máquina de Turing Universal

Feynman’s

Lectures on Computation


El Problema de la Detención no es computable

Dada una M y una entrada w, M se detiene con entrada w?

  • La idea:

  • ¿ Qué pasa si a una M le damos como entrada

  • a ella misma ?!

  • No es mas que una diagonalización a la Cantor


Reducciones

P1 ≤ P2

  • Problema P2 es al menos tan difícil como P1

  • si P1 se puede resolver con P2 como oráculo


Jerarquía

infinita de

problemas

no computables

≤ induce clases de equivalencia

Problema de la

detención

Problemas

equivalentes

a este


  • … 1936 … 1965

Máquina de

Turing

noción formal

de cómputo

?

complejidad

El mundo de los problemas computables


Medir tiempo y espacio como una función del tamaño de la entrada ‘65

Richard Stearns, U. Albany

Juris Hartmanis, Cornell

Dado mas tiempo o espacio se pueden computar mas cosas


Jerarquía

infinita de

problemas

computables

Clases de ComplejidadTiempo o Espacio

  • Utilizando reducciones


Eficiente = Polinomial

Para que una solución sea útil

  • Su costo en tiempo/espacio debe crecer polinomialmente con respecto al tamaño de la entrada


Razón de crecimiento de funciones típicas

todas las entradas en segundos [GJ]

excepto m=min, d=dias, a=años, s=siglos (Función en micro-segundos)


Jerarquía

infinita de

problemas

no computables

El Mundo de la Computación

Jerarquía

infinita de

problemas

computables

polinomiales

clase P


La Clase NP

  • Para el final de los 60’s, se sabía de una variedad de problemas prácticos para los cuales no había solución polinomial

  • Todos tienen un espacio exponencial de soluciones posibles

  • Todos se pueden verificar en tiempo polinomial

  • Ejem: Encontrar un ciclo que pase por todos los vértices de una gráfica


EXP

NP

P

¿ P = NP ?

Una de las 7 preguntas

del Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute

con $1,000,000


EXP

NP

P

Resulta que los problemas prácticos mencionados,

son los mas difíciles dentro de NP

NP-completos


SAT:Si un predicado booleano se

puede satisfacer

Leonid Levin, BU

Probado en 1973

El 1er problema NP-completo

Stephen Cook, Toronto

Probado en 1971


En ‘73 ocho problemas centrales en combinatoria probados NP-completos

  • Reducciones:

  • Si P es NP-completo,

  • P’ es NP y P ≤ P’ ent.

  • P’ tambien

Richard Karp


EXP

NP

P

P ≠ NP =>

num. ∞ de clases, inclusive

algunas no comparables entre si

Y Karp mencionó tres en NP sin lograr probarlos NP-completos

  • Isomorfismo de gráficas

  • Primalidad

  • Programación lineal

NP-completos

?


Nitin Saxena

Neeraj Kayal

Maninda Agarwal

(der a izq)

Narendra Karmarkar

Y Karp mencionó tres en NP sin lograr probarlos NP-completos

  • Isomorfismo de gráficas

  • Primalidad

  • Programación lineal

  • Siguieron abiertos hasta ’79 cuando aparece el libro de Garey-Johnson

  • PL en P ’84, por Karmarkar

  • Prim en P ’02, por Agarwal y estudiantes Saxena, Kayal


Isomorfismo de Gráficas Sigue Abierto

  • Probablemente no en P

  • Probablemente no sea NP-completo

    • es sensitivo localmente: si existe un isomorfismo, y se cambia un poquito la gráfica, deja de haberlo

    • si lo fuera se colapsa la jerarquía polinomial


Ejemplos clásicosPNP-completo


¿Que es la Teoría de la Computación?

Pero volvamos a nuestra pregunta original


Se Divide en Dos

I. Teoría de la Programación

  • Estudiar los lenguajes para implementar los cómputos

    II. Teoría del Cómputo

  • Entender la naturaleza del cómputo, sus posibilidades y limitaciones

  • Y el objeto del cómputo, la información

Teoría de la

Computación


I. Teoría de la Programación

  • Modelos de cómputo

  • Lenguajes de programación

  • Semántica de lenguajes

  • Estilos de programación- Lógica, funcional…

  • Concurrencia

  • Especificación y verificación

  • Lógica y computación

  • Representación del conocimiento, bases de datos


II. Teoría del Cómputo

El estudio de la propiedades generales del cómputo, ya sea natural, artificial, o imaginario


  • ¿Qué esun dispositivo de cómputo?

    • Secuencial, paralelo, distribuido, biológico, quántico

  • ¿Cuál es el costo de un cómputo?

    • Tiempo, espacio, comunicación, tamaño del programa

  • ¿ Qué se puede computar eficientemente y que no?

    • Ciclo mas corto vs. ciclo mas largo

  • ¿ Como clasificar a todos los problemas de acuerdo a su dificultad?

    • Una jerarquía infinitay densa de clases de complejidad

  • ¿ Qué no se puede computar?

    • Si un programa es correcto o no

  • ¿ Qué es la información?

    • Como se mide, como se comprime y que tanto,

    • cual es la información de 01010101010101010 vs. 00101111000101100


Entender mejor el mundo, desde nuestra perspectiva de computólogos


El Dilema del Esquiador

No sabe cuantos días va a querer esquiar.

¿Comprar o Rentar?

  • Renta de esquís cuesta $1 por día. Comprarlos $10.

  • Lo óptimo es rentar hasta el día 10, y luego comprar

    Análisis de Algoritmos En-Linea

    ¿donde estuvo la computadora? Pero hay aplicaciones- memoria cache


Mas Ejemplos:

  • Aparentemente hay funciones fáciles de calcular pero difíciles de invertir (cripto)

    • e.g. multiplicar vs. factorizar

  • Aparentemente hay problemas mucho mas fáciles de verificar que de resolver (P vs NP)

    • e.g. partir un conjunto de pesas en dos subconjuntos que pesen lo mismo

  • La aleatoriedad puede ser expandida arbitrariamente

    • usar una semilla chica para generar números pseudoaleatorios

  • Una prueba de un enunciado puede no enseñarte nada mas que la validez del enunciado

    • e.g este mapa se puede colorear con k colores


Jorge Urrutia

Y mas Ejemplos:

  • Pruebas holográficas

    • Forma en la cual cualquier prueba puede ponerse, tal que cualquier error se puede detectar (probabilisticamente) viendo solo una fracción pequeña de ella

    • Pruebas tradicionales tiempo cuadrático (en su tamaño); estas toman tiempo polilogarítmico

    • El log2 del numero de átomos en el universo es < 300 !

  • Robótica

    • Un agente sin memoria puede moverse sobre una gráfica y detectar su conexidad


Computación molecular:

  • Solución de problemas NP completos

    • usando paralelismo masivo con DNA

  • Diseño de drogas inteligentes

    • midiendo y corrigiendo la expresión genética

Ricardo Strausz


Computación Distribuida

Ejecuciones

Entradas

Las ejecuciones de un algoritmo distribuido preservan

La topología de las entradas posibles, dependiendo del nivel de tolerancia a fallas del sistema


Ejemplos muy prácticos

  • El dilema de la memoria cache

    • Se tiene una cache (rápida pero cara) para k páginas

    • Se va llenando con páginas del disco (lento pero barato)

    • Una vez llena, cuando se pide una página que no esta en el cache ¿cual sacar?

    • La que haya estado en la memoria mas tiempo


Cache en el Web

  • Poner copias de páginas usadas en lugares estratégicos de la Red

  • caches en diversas partes de Internet

  • Akamai, compañía fundada por un profesor de teoría de MIT T. Leighton y su alumno


Google

  • Búsqueda basada en la importancia de una página: una liga de A a B se interpreta como un voto de A a B. Se obtiene la importancia de la página resolviendo una ecuación de + 500 millones de variables y 200 millones de términos

  • Más de 60 doctores, además de asesores como

    R. Motwani, J. Ullman, profesores de teoría de Stanford

  • “Google bombing”

    • NYT January 22, 2004


Referencias

  • En el Web: “Theoretical Computer Science On The Web”

  • Handbook of Theoretical Computer Science

    • Vol. A: Algorithms and Complexity

    • Vol. B: Formal Models and Semantics

  • Revistas: Journal of the ACM

  • Congresos:ACM STOC, IEEE FOCS, ICALP

  • Artículos:

    • Goldreich, A Brief Introduction to the Theory of Computation


Libros

  • Sipser, Intro. Theory of Computation

  • Garey-Johnson, Computers and Intractability

  • Schoning, Pruim, Gems of Theoretical CS

  • Hromkovic, Theoretical CS

  • Kozen, Theory of Computation

  • Goldreich, Computational Complexity: a Conceptual Perspective


Conclusiones

  • De una Máquina de Turing a muchas

  • ¿Para que la Teoría de la Computación ?


Ramon LlullMallorca, 1232-1316

  • Ars Magna, para automatizar todo el razonamiento

    If understanding followed no rule at all, there would be no good in the understanding nor in the matter understood, and to remain in ignorance would be the greatest good

    The Hundred Names of God


Ramon LlullMallorca, 1232-1316

  • En realidad, con el Ars Magna, pretendía apoyar la comunicación intercultural entre cristianos, judíos y musulmanes

  • Una herramienta para discusión mediante comunicación, en lugar de mediante la fuerza

  • La verdad no puede ser hallada mediante cómputo, sino mediante comunicación


Gottfried LeibnizLeipzig, 1646-1716

  • Descubrió el sistema binario

  • Buscaba un alfabeto para todo el pensamiento humano y un cálculo para manipular estos símbolos

    Compartió el sueño de Llull la coexistencia pacifica entre personas de diferentes culturas, religiones y nacionalidades


Lo ambicioso del plan de la formalización de todo el razonamiento humano

  • Si resultara que la lógica básica de una máquina

  • diseñada para la solución numérica de ecuaciones

  • diferenciales coincidiera con la lógica de una máquina

  • para sacar cuentas de una tienda comercial, me

  • parecería esto la coincidencia más sorprendente que

  • jamás me haya encontrado

    • Howard Aiken, 1956


El Entusiasmo del sueño de la comunicación

  • Por 1era vez, las redes telegráficas de Europa y Norteamérica se conectaron, mediante un cable submarino agosto 5, 1858

“A Thread Across

the Ocean” Steele


El Entusiasmo del sueño de la comunicación

  • Celebraciones al borde de la histeria

    It is impossible that old prejudices and hostilities should longer exist, while such an instrument has been created for the exchange of thought between all the nations of the world

    Briggs, Maverick 1858


Y el Entusiasmo Continua

  • Michael Dertouzos cuando fuera jefe del LCS de MIT en 1997

    A common bond reached through electronic proximity may help stave off future flareups of ethnic hatred and national breakups

    Libro “What Will Be”


¿ Para qué estudiarTeoría de la Computación?


¿ Para qué estudiarTeoría de la Computación?

  • Una formación más sólida, un computólogo más profesional

  • Problemas matemáticos interesantes

  • Mejorar aplicaciones


When you want to build a ship,

then do not drum the men together

in order to procure wood,

to give instructions or to distribute the work

but teach them longing for the wide endless sea.

A. de Saint-Exupéry


Para qué estudiarTeoría de la Computación?

  • Una formación más sólida, un computólogo más profesional

  • Desarrollo y uso de herramientas complejas

  • Seguir adelante a un doctorado

  • Dedicarse a la teoría de la computación en investigación y docencia

  • Evitar vergüenzas …


Autoexamen de Conciencia (lenguajes)

¿Hay cosas programables en unos lenguajes pero no en otros?


Autoexamen de Conciencia (computadoras)

¿Hay cosas que unas computadoras pueden hacer pero no otras?


F I N

Gracias por su atención


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