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単位名   学部  : 天体輻射論 I   大学院:恒星物理学特論 IV 教官名 中田 好一 PowerPoint PPT Presentation


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F : エディントン近似                             2006年11月13日                     . 単位名   学部  : 天体輻射論 I   大学院:恒星物理学特論 IV 教官名 中田 好一. 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート+出欠」でつけます。. 授業の内容は下の HP に掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html. F.1.平面大気.

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単位名   学部  : 天体輻射論 I   大学院:恒星物理学特論 IV 教官名 中田 好一

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Presentation Transcript


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F: エディントン近似                             2006年11月13日                     

単位名

  学部  :天体輻射論I

  大学院:恒星物理学特論IV

教官名中田 好一

授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。

成績は「レポート+出欠」でつけます。

授業の内容は下のHPに掲載されます。

http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html


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F.1.平面大気

全ての物理量AがX軸に垂直な平面内で一定と仮定する。 A(X,Y,Z)=A(X)

 (1) ーX軸方向(上向き)の輻射強度 I に対する方程式は、dI/dx=κI-ε

 (2) X軸に角度θを成す直線(μ=cosθ)に沿って、輻射方程式を考える。

Iλ (μ,τλ=0)

τλ=0

τλ

θ

Iλ (μ,τλ)

直線に沿っての長さを t とすると、dI/dt= κI-εd l となる。

dt と X軸に沿っての深さdXとの関係は、dt=dx/μ なので、書き直して

μdI(μ,x)/dx=I(μ,x)κ(x)-ε(x)


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形式解

μdI(μ,x)/dx=I(μ,x)κ(x)-ε(x) :以下 Iλ 、κλ等を I、κと省略する

 dτ=κdX とおいて、

μdI / dτ=I-S

dτは光線に沿っての光学的深さでなく、X軸に沿っての光学的深さ、に注意。

光学的深さ=τの点で、X軸に対し角度θの輻射 I(τ,μ) は下のように

与えられる。

t=0

μ>0:I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[-(t-τ)/μ]dt/μ

=eτ/μ∫∞τS(t,λ)e-t/μdt/μ

μ>0

μ<0:I(τ,μ)= -∫τ0S(t,λ)exp[ (τ-t)/μ]dt/μ

= -eτ/μ∫τ0 S(t,λ) e-t/μdt /μ

=∫τ0 S(t,λ) e-(τ-t) / (-μ) dt / (-μ)

τ

μ<0


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τo

表面からの輻射強度

表面から角度θで出る輻射Iの解は下のように与えられる。

I(τ=0 、μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp(-τ/μ) dτ

上式を見るとSをSource Function と呼ぶことが納得される。

S(τλ)=S=一定(0<τ<τo)のスラブ表面での I(τ=0 , μ)を計算すると、

I(τ=0 , μ) =(1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ

       = S[1-exp(-τo /μ) ]

θ

I(τ=0 , μ)

S(τ)


Slide5 l.jpg

線形大気の表面輻射強度

θ

τ=0

τ=μ=cosθ

τ=1

S(τ)= a + bτ

I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt

      =(1/μ)∫∞0(a+bt)exp( ‐t/μ) dt

  = (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt]

= a+ bμ= S(τ=μ)    (μ>0)

I(τ=0 ,μ<0) = 0 (μ<0)

下図で光線に沿ったτ=1に注意


Slide6 l.jpg

リム・ダークニング ( limb darkening )と表面輻射強度

θ

α0

I(θ)

α

天体表面で輻射強度が鉛直方向からの角度θにより、

I(cosθ)で表されるとする。レポート問題1.1でやった

通り、I(cosθ)は星の表面輝度分布F(α)に反映される。

上の図で

なので、

逆に、F(α)が求まったら、

ところで、表面輝度分布I(cosθ)は源泉関数S(τ)と関係している。

仮に、S(τ)=a+b・τ+c・τ2+...と展開されたとすると、


Slide7 l.jpg

θ

ここでも逆に I(cosθ) からS(τ)を以下のように求められる。

I(cosθ)=A+B・cosθ+C・cos2θ+...

なら、

S(τ)=A+B・τ+(C/2)・τ2+(D/6)・τ3+...

τ

S(τ)

恒星大気内でLTEが成立していると、源泉関数S(τν)=B(T, ν)

から、τνの深さでの温度が決まる。

結局、星の表面の輝度分布がある波長(周波数)で決まると、大気内の温度変化がその波長での光学的深さの関数T(τν)として求まることが判った。


Slide8 l.jpg

前頁の変換をグラフで示すと下図の

ようになる。

T(τν)を逆に表現すると、ある周波数(波長)での光学的深さτνが温度Tの関数τν(T)として

表される。が

このプロセスを二つの波長λ1と

λ2で繰り返して、τ1(T)と

τ2(T)を得た。

I(α)

I(θ)

これは、同じ温度Tの地点までの

光学的深さが波長によって異な

るためである。したがって、各波

長での吸収係数をk1、k2とする

と、

cosθ

sinθ


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線形大気のフラックス

  Fλ=∫μIλ(μ,τ=0)dΩ= 2π∫10μ( aλ+ bλμ)dμ=2π(aλ/2 +bλ/3)

Source Function Sλ (τ)=aλ+bλτ だったから、

Fλ=π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τλ=2/3) である。

 温度Tの黒体表面からのフラックスがπBλ(T),ここにBλ(T)は輻射強度、

 だったことを考えると、線形大気では、τλ=2/3の深さの所を見て

 いると言える。

I(τ=0)

τλ=0

1/3

τλ=μ=cosθ

S(τ=2/3)

2/3

S

τλ=1

a+b

a+bμ


Slide10 l.jpg

F.2. モーメント方程式

I(x,θ,φ)= I(x,θ) 輻射が軸対称の時、μ=cosθとして、

N次モメント MN を以下のように定義する。

Ω

MN(x, λ)=(1/4π)∫(cosθ)N I (θ, x, λ) dΩ

       =(1/4π) ∫∫ (cosθ)N I (θ, x,λ) (sinθ) dφdθ

       =(1/2)∫μN I (μ, x, λ)dμ

θ

0次モーメント  M0(x,λ)=(1/4π)∫I (μ, x, λ) dΩ

             = (1/2)∫I (μ, x, λ) dμ

= J (x,λ)=平均輻射強度(mean intensity)

1次モーメント

M1(x,λ)=(1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ

= (1/2)∫μI(μ, x,λ) dμ

= H(x,λ)

=∫ cosθ I (θ,x,λ) dΩ         =2π∫μI(μ, x,λ) dμ= 4πH ( x, λ)

エネルギーフラックスF(n, x ,λ)


Slide11 l.jpg

2次モーメント

M2(x,λ)=(1/4π)∫ (cosθ)2I(cosθ, x,λ) dΩ

= (1/2)∫μ2 I(μ, x,λ)dμ

=K (x,λ)

光圧力 P(ν) = (4π/c)K(ν)

斜め方向の輻射方程式

Iλ (μ,τλ=0)

X軸に沿って光学的深さτを定める。μ方向の光線に沿っては、

τλ=0

(表面)

θ

dt=dX/μ

dτ=κdX   なので、

Iλ (μ,τλ)

τ


Slide12 l.jpg

μdI/dτ=I-S

( i ) 両辺をdΩ/4πで積分する。

∫[μdI/dτ]dΩ/4π=∫IdΩ/4π- ∫SdΩ/4π

= d[∫μIdΩ/4π]/dτ

dHλ/dτλ= Jλ– Sλ

(ii) 両辺にμをかけてdΩ/4πで積分

d[∫μ2IdΩ/4π]/dτ

 =∫μIdΩ/4π-∫μSdΩ/4π

   ∫1-1μdμ=0 に注意すると、

dK λ/dτλ= Hλ


Eddington approximation l.jpg

F.3. エディントン近似 (Eddington approximation)

μdI/dτ=I-S  (平面近似)

    モーメント方程式

× ∫dΩ/4π   :

× ∫μdΩ/4π : 

この系列はμ2 μ3 と上げても閉じない。式の数<変数の数

モーメント方程式をどこかでむりやり閉じる必要。

    エディントン近似   

エディントン近似が正確に成り立つ例

(i) 完全等方輻射 I(Ω)=Ioの場合

J=Io, K=(1/2)∫1-1Ioμ2dμ=Io/3 =J/ 3


Slide14 l.jpg

(ii) I(τ,λ,μ)=Io(λ)+I1(λ)μ

θ

Jλ=(1/2)∫1-1I dμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)dμ=Io(λ)

Hλ=(1/2)∫1-1Iμdμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)μdμ=(1/3)I1(λ)

Kλ=(1/2)∫1-1Iμ2dμ=(1/2)∫1-1(Io+I1μ)μ2dμ=(1/3)Io(λ)

I+

(iii) I(τ,λ,μ)= I+(λ) μ>0

= I‐(λ) μ<0

I‐

J=(I+ + I‐)/2

H=[I+ /2 – I‐/2]/2=(I+ – I‐)/4

K=[I+ /3+ I‐ /3]/2=J/3

4H


Slide15 l.jpg

F.4.Rossland mean opacity κR

を全波長積分、K=∫Kλdλ、H=∫Hλdλ、に対する式に変換したい。

のようにならないか?

Kλ=Jλ/3=(1/3) Bλ(T)とすると、 (エディントン近似、局所熱平衡仮定)

なので上の要求は、

にしたいということである。

を考えると可能である。

それは、


Slide16 l.jpg

したがって、

次のような、平均κを考えると、

つまり

以下のように初めの要求が達成される。


Slide17 l.jpg

Bi

Fi ∝ΔBi(T) /κi

Bi+ΔBi

κRの意味

κRに効くのは、κiが小さい所とΔBiが大きい所でκiが大きい所は効かない。

F∝∑ΔBi /κi=ΔB /κR


Slide18 l.jpg

F.5. 恒星大気のエディントンモデル

(1)

(2)

仮定:(a)∫Jλκλdλ=∫ελdλ :輻射平衡 ( Radiative Equilibrium)

 この仮定は(1)を

とすると分かるように、総フラックスH=一定 を意味する。

これは、大気中では新しいエネルギー発生(核反応)が起きていないからである。


Slide19 l.jpg

仮定(b) Jλ(x)= Bλ(T(x))

仮定(c )Kλ(x)=(1/3)Jλ(x)    :エディントン近似

∫Hλdλ=H,  ∫Kλdλ=K とする。

(1)式は仮定(a)によって、

         H(x)=Ho       (3) 

(2)式から、 

で定義されるκR=Rosseland mean pacityを使うと

(4)


Slide20 l.jpg

平均光学深さτRを τR=∫ρ(x)κR(x)dx と定義すると、(3)、(4)から

H(τR)=Ho=一定

K(τR)=τRHo+ C     C=積分定数で後で決める。

J(τR)=S(τR)=B(τR)=3・K(τR)=3(HoτR+C)=(σ/π)T4 (τR)

  S=3C+3・Ho・τは、a+bτの形なので、線形大気の結果が適用

  できる。

S=a+bτの大気では、F=π・S(τ=2/3) =π・(3・C+2・Ho)

Hの定義から、F=4πH=4πH0                であるから、

C=(2/3)Ho

したがって、

B(τR)=3・[(2/3)Ho+Ho・τR]=3・Ho・[τR+(2/3)]=(σ/π)・T4


Slide21 l.jpg

ここまでの結果は、エディントン近似モデルの (iii) I(τ)= I+ (τ)μ>0

= I‐ (τ)μ<0

でも考えられる。

H(τ)=Ho=一定=(I+ – I‐)/4

K(τ)=τHo+ C=(I+ + I‐)/6 を解いて、

I+ (τ) =2H(τ)+3K(τ)=2 Ho +3(τHo+ C)

I‐(τ)=3(τHo+ C)- 2 Ho

仮定 : 表面τ=0で、I=Io (μ>0)

=0 (μ<0)

とすると、C=(2/3)Ho , Io=4Ho

H(τ)=Ho=一定

K(τ)=τHo+ (2/3)Ho =Ho (τ+ 2/3)

で、前ページと同じになる。


Slide22 l.jpg

τ=0

Io

4Ho

4Ho

エディントン近似モデル(iii)

4Ho


Slide23 l.jpg

有効温度 Te

エディントンモデルに入るパラメターはHoだけである。

パラメターHoを温度で表現する為、F= 4πHo =σTe4 で有効温度 Te 

を導入する。すると、

Ho=σTe4/4π

J(τ)=S(τ)=B(τ)=(3σTe4/4π) (τ+2/3)=(σ/π)T4 (τ)

表面(τ=0)温度 To はTeよりやや低く、 

To4 =(1/2)Te4、(To=0.84Te)

また、 T(τ=2/3)=Te 

ここにも、τ=2/3 が現れている。


Slide24 l.jpg

0 2/3 1 2 3

τ

0 2/3 1 2 3

τ

J,H,Kのτによる変化

温度Tのτによる変化

4H

1.5

J

3H

K

Te

To

2H

H

H

表面


Slide25 l.jpg

F.6. 黒体輻射スペクトルからのずれ

エディントン大気からの総フラックスFは、

F=σTe4

であることが分かった。ここにTeは、ロスランド平均光学的深さτR=2/3のところでの大気温度である。

もし、全波長でκλ=κ0=一定(グレイ)であったら、全波長でτλ=τRである。したがってτλ=2/3になる深さはτRと共通で、温度はTeである。

グレイ大気からのフラックスは

Fλ=πB(Te)

この大気のスペクトルは温度Teの黒体輻射スペクトルとなる。

通常は波長毎にκλが異なるから、τλ=κλ・Lλ=2/3 となる深さLλが、

したがって波長毎に覗き込む温度T(Lλ)が異なる。このために波長毎に異な

る温度の黒体フラックスが出る。これが、星からのスペクトルが黒体輻射スペ

クトルと異なる原因である。


Slide26 l.jpg

κλが一定

κλが波長で変化

κ

κ

λ

λ

τλ=0

τλ=0

T0

T1

T2

τR=2/3

τλ=2/3

λ

τλ=2/3

λ

Fλ

Fλ

πBλ(Te)

λ

λ


Slide27 l.jpg

Fλ=π・Bλ[T(τλ=2/3)] なので、 T(τλ=2/3)を決める必要がある。

大気中の温度はロスランド平均光学的深さτRにより、

で与えられる。したがって、T(τλ=2/3)をT(τR)で表せばよい。

右図から分かるように

なので、

τλ=κλ・L

τR=κR・L

この式にτλ=2/3を代入して

これをさらに2行目のT(τR)の式に代入して

結局

κλ= κRFλ=πBλ [Te]

κλ< κR Fλ=πBλ [T>Te]

κλ> κR Fλ=πBλ [T<Te]

ただし、


Slide28 l.jpg

F.7.温室効果

地球表面の温度は基本的には、

   太陽輻射による熱流入(主に可視域)=地表からの熱放射(主に赤外域)

で決まる。

F(λ)

太陽         地球

λ

可視

赤外

F

σTg4

地表

この時の熱平衡の式は、地表温度=Tgとおくと、

   F(太陽)=σTg4 である。


Slide29 l.jpg

(1)単層モデル

地球表面は赤外で不透明な(τ>1)大気に覆われている。

すると輻射の収支は前図から下図のように修正される。

  Ta=大気温度、 Tg=地表温度、 A=可視光反射率 である。

F(λ)

太陽         地球

λ

Fo

A・Fo

(1- A)・Fo

可視

赤外

大気   Ta

(1- A)・Fo

2(1- A)・Fo

地表   Tg


Slide30 l.jpg

単層モデルの仮定

 1)大気は一様な温度Taを持つ。   2)太陽光は可視、地上からは赤外のみ放射

 3)大気は可視で透明、赤外は不透明で黒体   4)可視太陽光の地表反射率=A

To=太陽有効温度=5780K、 Ro=太陽半径、  D=1AU=215Ro

Fo=σTo4(Ro/D)2: 太陽から地上に向かう総フラックス(真上からとして)

σTa4=大気から上方向、宇宙空間への赤外放射=下方向、地表への赤外放      

σTg4= 地表から大気への赤外放射 なので、

Fo=σTa4+AFo  :大気の上での輻射収支

 Fo+ σTa4= σTg4+AFo  :大気と地表の間での輻射収支

太陽

Fo

Fo=σTa4+AFo

σTa4

AFo

大気

σTa4

Fo

σTg4

AFo

 Fo+ σTa4= σTg4+AFo

大地


Slide31 l.jpg

 (1-A)Fo=σTa4

σTg4=2σTa4

太陽表面でのフラックス=σTo4、 太陽半径=Ro、 地球太陽距離=D

とおくと、

Fo=σTo4(Ro/D)2であるから、上の式に代入すると、

Ta= To(Ro/D)1/2 (1-A) 1/4, Tg=2 1/4Ta

  A    0.1    0.3     0.5     0.7    0.8   0.85  0.9

  Ta   384    360      331   292    264   245   222

  Tg   455    428     394     347    313   292   263

このように、大気が毛布の役をするので地上温度は大気の1割以上高温

となる。

単層モデルでのTgとTaとの関係が、エディントン大気でのTeとToとの関係と同じであるのは面白い。


Slide32 l.jpg

レポート問題F     出題11月13日    提出11月20日

        レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。

次ページの表は太陽表面の輝度分布である。表を見ると分かるように、表面輝度は中央から縁に向かって低下する。これを太陽のリムダークニングと呼ぶ。

F.1

λ=0.3737μmのI(α)を横軸α/α0、縦軸I(W/m2/μm)のグラフにせよ。

  次に与えられた表のαをcosθに直し、横軸cosθ、縦軸I(W/m2/μm)のグラ

  フにせよ。

F.2.

  I(cosθ)をa+b×cosθで近似するaとbを定めよ。

F.3.

  他波長についても Iλ(cosθ)=aλ+bλ×cosθ で近似し、全8波長に対し

aλと bλを求めよ。

F.4.

  F3より、S(τλ)=aλ+bλ×τλ

だが、LTEを仮定すると、

  S(τλ)=B(λ、T)なので、

  B(λ、T)=aλ+bλ×τλ

θ

I(θ)

α0

α


Slide33 l.jpg

F.4.(続き)

  この式は、波長λでの光学的深さがτλの所での温度がTという意味である。

  したがって、大気内で温度Tの地点までの光学的深さτλ(波長毎に異なる)

  を定める式と読み替えられる。

  T=6000Kまでの光学的深さτλ(T=6000K)を8波長に対して求め表とグラ

  フで表せ。グラフの横軸は波長λ(μm)、縦軸はlog10τλとする。

  大気内、T=6000Kまでの幾何学的深さをLとすると、τλ=<κλ>L、よって

  グラフは平均吸収係数の相対的変化を表している。

κλのピークと谷は何を表していると思うか?

  黒体輻射の輻射強度は、下の式を使え。T4=(T/104K)である。


Slide34 l.jpg

λ(μm)

α 0.3737 0.4260 0.5010 0.6990

0.0 4.198E+07 4.476E+07 4.022E+07 2.473E+07

2.0 4.173E+07 4.452E+07 4.003E+07 2.465E+07

4.0 4.096E+07 4.380E+07 3.944E+07 2.441E+07

6.0 3.962E+07 4.253E+07 3.841E+07 2.398E+07

8.0 3.761E+07 4.061E+07 3.686E+07 2.331E+07

10.0 3.476E+07 3.784E+07 3.461E+07 2.232E+07

12.0 3.068E+07 3.381E+07 3.135E+07 2.084E+07

14.0 2.440E+07 2.744E+07 2.621E+07 1.840E+07

16.0 6.027E+06 7.875E+06 1.045E+07 1.032E+07

太陽表面での8つの

波長の輝度分布。

α=太陽中央から

   の角距離(分)

太陽半径=16分角

輝度 Iλの単位は

   W/m2/μm

λ(μm)

α 0.8660 1.2250 1.6550 2.0970

0.0 1.547E+07 7.692E+06 3.595E+06 1.598E+06

2.0 1.543E+07 7.678E+06 3.590E+06 1.596E+06

4.0 1.531E+07 7.633E+06 3.576E+06 1.591E+06

6.0 1.510E+07 7.552E+06 3.549E+06 1.581E+06

8.0 1.476E+07 7.425E+06 3.507E+06 1.565E+06

10.0 1.426E+07 7.230E+06 3.441E+06 1.539E+06

12.0 1.351E+07 6.928E+06 3.337E+06 1.499E+06

14.0 1.224E+07 6.412E+06 3.153E+06 1.426E+06

16.0 7.969E+06 4.596E+06 2.482E+06 1.160E+06

16′

α


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