אלגוריתמים נבחרים בתורת הגרפים

1. אלגוריתמים נבחרים בתורת הגרפים עצים בינריים

2. עץ בינרי הגדרה: עץ שבו לכל צומת שאינו עלה יש בן שמאלי ו/או בן ימני.

3. עץ בינרי • הגדרה רקורסיבית: • עץ בינרי הוא מבנה • ריק (ללא צמתים) • או • 2. מורכב משלושה חלקים:שורש, עץ בינרי הנקרא תת עץ שמאלי,ועץ בינרי הנקרא תת עץ ימני.

4. עצים בינריים מלאים ושלמים עץ בינרי מלא: עץ בו לכל צומת פנימי שני בנים

5. עצים בינריים מלאים ושלמים עץ בינרי מלא: עץ בו לכל צומת פנימי שני בנים עץ בינרי שלם: עץ בינרי מלא בו כל העלים באותו עומק

6. תכונות עצים בינריים שלמים • בעץ בינרי שלם בעל nצמתים, Lעלים וגובה h: • מספר הצמתים בעומק i: ni=2i • מספר העלים: L=nh=2h • מספר הצמתים: n=2h+1-1 • הגובה: h=log2(n+1)-1 • מספר הצמתים הפנימיים:n-L=2h-1=L-1 0 1 2

7. עץ בינרי כעץ חיפוש עץ חיפוש בינרי הוא עץ בינרי המקיים את התכונות הבאות: 1. כל הצמתים הנמצאים בתת-עץ השמאלי של צומת כלשהו קטנים ממנו; 2. כל הצמתים הנמצאים בתת העץ הימני של צומת כלשהוגדולים או שווים לו. X בתת העץ השמאלי, ערכים הקטנים מ-X בתת העץ הימני, ערכים הגדולים או שווים ל-X תת עץ שמאלי תת עץ ימני

8. 15 6 15 5 9 26 8 עץ חיפוש בינרי לפניכם דוגמא לעץ בינרי, האם הוא עץ חיפוש בינרי? כדי לבדוק זאת, צריך לוודא,כי עבור כל צומת שנבחר האיברים בתת העץ הימני יהיו גדולים או שווים לו, והאיברים בתת העץ השמאלי קטנים ממנו.

9. X דוגמאות א. האם עץ בעל צומת אחד הוא עץ חיפוש בינרי?

10. 6 45 5 20 70 1 דוגמאות ב. האם העץ הבא הוא עץ חיפוש בינרי?

11. 20 15 5 45 21 14 1 40 70 36 דוגמאות ג. האם העץ הבא הוא עץ חיפוש בינרי?

12. 15 6 18 3 5 20 7 17 2 8 דוגמאות ד. האם העץ הבא הוא עץ חיפוש בינרי?

13. משימה ציירו עצי חיפוש בינריים עבור קבוצת הצמתים שערכיהם הם: 15,9,26,5,8,6,29,30

14. התנסות בהכנסה והוצאה של אלמנטים מעץ חיפוש בינרי באמצעות JAVA Applet: http://www.student.seas.gwu.edu/~idsv/idsv.html

15. חיפוש בעץ חיפוש בינרי נסחו אלגוריתם לחיפוש ערך בעץ בינרי נתון • אלגוריתם חיפושערך Xבעץ T: • אם T ריק, דווח ש-x לא בעץ. • יהי y הערך שבשורש. • אם x=y, החזר מצביע לצומת המחזיק את x. • אם x<y, המשך את החיפוש בתת העץ השמאלי של T. • אחרת (כאשר x>y), המשך את החיפוש בתת העץ הימני של T.

16. הכנסה לעץ חיפוש בינרי נסחו אלגוריתם להכנסת ערך לעץ בינרי נתון • אלגוריתם הכנסת x לעץ T : • חפש את x בעת החיפוש T. • אם x נמצא ב-T, עצור ודווח. • יהי v הצומת האחרון במסלול החיפוש של x, ויהי y הערך שנמצא ב-v. • אם x<y, הוסף צומת w עם ערך x כבן שמאלי של v. • אחרת (כאשר x>y), הוסף צומת w עם ערך x כבן ימני של v.

17. בניית עץ חיפוש בינרי נתונה רשימה של איברים. יש לבנות ממנה עץ חיפוש בינרי. תחילה יש לבחור את האיבר הראשון ברשימה כשורש העץ. את האיברים הבאים ברשימה נכניס בהתאם לכללים שהגדרנו עבור תכונת עץ חיפוש בינרי. כתבו אלגוריתם מילולי לבניית העץ.

18. בניית עץ חיפוש בינרי • אלגוריתם לבניית עץ חיפוש בינרי • את האיבר הראשון ברשימה קבע כערכו של שורש העץ. • כל עוד רשימת הערכים אינה ריקה, הכנס את האיבר הנוכחי ברשימה לעץ, על פי אלגוריתם ההכנסה לעץ חיפוש בינרי.

19. בניית עץ חיפוש בינרי לפי האלגוריתם לבניית עץ חיפוש בינרי, שרטטו עץ עבור הקלטים (משמאל לימין): 5,6,2,4,8,1,3,7. ענו על השאלות: א. היכן נמצא האיבר המינימלי בעץ החיפוש? ב. היכן נמצא האיבר המקסימלי בעץ החיפוש?

20. 5 5,6,2,4,8,1,3,7 תודה לרותם שוסטר על האנימציה

21. < 6 5 5,6,2,4,8,1,3,7

22. < 6 5 5,6,2,4,8,1,3,7 6

23. 5 5,6,2,4,8,1,3,7 6

24. 2 < 5 5,6,2,4,8,1,3,7 6

25. 2 < 2 6 5 5,6,2,4,8,1,3,7

26. 2 6 5 5,6,2,4,8,1,3,7

27. 4 < 2 6 5 5,6,2,4,8,1,3,7

28. > 4 2 6 5 5,6,2,4,8,1,3,7

29. > 4 2 6 4 5 5,6,2,4,8,1,3,7

30. 2 6 4 5 5,6,2,4,8,1,3,7

31. > 8 2 6 4 5 5,6,2,4,8,1,3,7

32. > 8 2 6 4 5 5,6,2,4,8,1,3,7

33. > 8 2 6 4 8 5 5,6,2,4,8,1,3,7

34. 2 6 4 8 5 5,6,2,4,8,1,3,7

35. 1 < 2 6 4 8 5 5,6,2,4,8,1,3,7

36. 2 6 1 < 4 8 5 5,6,2,4,8,1,3,7

37. 5 2 6 1 < 1 4 8 5,6,2,4,8,1,3,7

38. 5 2 6 1 4 8 5,6,2,4,8,1,3,7

39. 3 < 2 6 1 4 8 5 5,6,2,4,8,1,3,7

40. > 3 2 6 1 4 8 5 5,6,2,4,8,1,3,7

41. 2 6 3 < 1 4 8 5 5,6,2,4,8,1,3,7

42. 5 5,6,2,4,8,1,3,7 2 6 3 < 1 4 8 3

43. 5 2 6 1 4 8 3 5,6,2,4,8,1,3,7

44. > 7 5 2 6 1 4 8 3 5,6,2,4,8,1,3,7

45. 5 > 7 2 6 1 4 8 3 5,6,2,4,8,1,3,7

46. 5 2 6 7 < 1 4 8 3 5,6,2,4,8,1,3,7

47. 5 2 6 7 < 1 4 8 3 7 5,6,2,4,8,1,3,7

48. 5 2 6 1 4 8 3 7 5,6,2,4,8,1,3,7

49. 2 6 1 4 8 3 7 5 5,6,2,4,8,1,3,7 בניית עץ החיפוש הושלמה

50. הוצאה מעץ חיפוש בינרי נסחו אלגוריתם להוצאת ערך נתון מעץ חיפוש בינרי • אלגוריתם הוצאת צומת v מעץ T: • אם v עלה, סלק אותו. • אם ל- v בן יחיד, תן לאבא של v להצביע על הבן. • אחרת, יהי w הצומת העוקב ל-v בסדר inorder(הצומת שמתקבל ע"י פניה אחת ימינה ואח"כ כל הדרך שמאלה) • שים בצומת v את הערך של w וקרא לצומת שהיה w בשם v. • כעת יש ל-v לכל היותר בן אחד. המשך בצעד 1 או 2 כנדרש.