3 mechanikai rendszerek dinamik ja
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 59

3 Mechanikai rendszerek dinamikája PowerPoint PPT Presentation


  • 46 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

3 Mechanikai rendszerek dinamikája. 3 Mechanikai rendszerek dinamikája. 3.1 Alapfogalmak 3.1.1 Modellképzés : tömeg , rugalmasság és csillapítás 3.1.2 Erők , Rendszer lehatárolás , Schnittprinzip 3.1.3 Kapcsolatok 3.1.4 Virtuális elmozdulások 3.1.5 Kinematika

Download Presentation

3 Mechanikai rendszerek dinamikája

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3 Mechanikai rendszerek dinamikája

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 1 1 modellk pz s t meg rugalmass g s csillap t s

  • Tömeg:

  • A tömeg függ az építőelemek sűrűségétől és a geometriai méreteitől. A klasszikus mechanika axiómái szerint áll:

    • A tömeg mindig pozitív: m > 0 .

    • Egy test tömege időben változatlan: m = 0 .

    • A tömegek feloszthatók és összegezhetők: m = m1 + m2 .

.

3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

Rugalmas elemek:

Megfelelő konstrukciós kialakítással elérhető, hogy az építőegység rugalmassága tömegéhez viszonyítva nagyon nagy. Ekkor rugóelemekről beszélünk (pl. laprugók, csavarrugók, tekercsrugók).

  • Csillapító és súrlódó elemek:

  • A csillapítási és súrlódási jelenségek okai lehetnek:

    • Az alkatrészek anyagcsillapítása,

    • Az egymáshoz képest relatív elmozdulást végző elemek súrlódása,

    • Konstrukciósan létrehozott csillapítóelemek,

    • Elemek, amelyek folyadékokban mozognak.


3 1 1 modellk pz s t meg rugalmass g s csillap t s1

3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

  • Külső erők:

  • Külső erők keletkezhetnek :

    • Erőtér hatásából (Gravitáció, Mágneses, ...),

    • Hajtó elemekből (Állító motorok, robbanó motorok, ...),

    • Adott mozgásokból (durch Lagerung).

  • Modellképzés:

  • Egy mechanikai rendszer tulajdonságai egy- lehetőleg egyszerű- idealizált modellen keresztül írhatók le. Ekkor külünbségek adódnak a megoszló és koncentrált paraméterű modellek között mit verteilten Parametern.

    • Megoszló paraméterű modellek:Kontinuumsmechanika (Kulcsszavak: Rugalmas test, Tartók, megoszló erők, ...)

    • Koncentrált paraméterű modellek:Merev testek mechanikája (Kulcsszavak: tömegnélküli rugó, tömegnélküli csillapítás, Koncentrált erők, ...)


3 1 1 modellk pz s t meg rugalmass g s csillap t s2

3.1.1 Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

Mehrkörpersysteme (MKS):

Egy többtest rendszer tömeggel bíró merev testekből áll, amelyek egymással kapcsolóelemeken keresztül, mint rugók, csillapítások, támaszok, vezetékekegyesítettek. A kapcsolóelemeken keresztül hatnak az egyes testekre diszkrét pontokban koncentrált erők és nyomatékok. Emellett térbeli és megoszló erők hatnak a testre.


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 1 2 er k rendszerlehat rol s schnittprinzip

3.1.2 Erők, Rendszerlehatárolás, Schnittprinzip

Erő alatt azokat a rendszerelemek közötti kölcsönhatásokat értjük, amelyek gyorsulásokat hoznak létre.

Azokat az erőket, amelyek kívülről a rendszerre hatnak, külső erőknek neveznek.Azokat az erőket, amelyek belül keletkeznek és hatnak belső erőknek nevezik. Hogy mit eveznek külső és belső erőknek a mindenkori rendszer lehatárolástól függ.

Az 1 rendszerre (terhelés) csak külső erők hatnak meg és F21.

A 2 rendszerre (felépítmény és kerekek) az mg, az F12, F3, F42 és F4 külső erők ,és az F32, F23, F42 és F24 belső erők hatnak.

Míg a szembe mutató … erőknek Schnittkräfte

egyenlőnek kell lenni, a belső erők ellentétesek (F32 - F23 = 0 és F42 - F24 = 0) és ezért kifelé nem jelennek meg. .

H az 1 és 2 rendszer egy közös

rendszernek tekintenénk, akkor

Az F12 és F21 belső erőkké válnának


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3 Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel Drallsatz

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 1 3 kapcsolatok

3.1.3 Kapcsolatok

A helyvektorriés asebességvektorvitetszőlegesszabad mechanikai rendszer

Gewöhnlich liegen aber Bindungen vor.gebundenes mechanisches System

A következő kapcsolatok különböztethetők meg:

geometriai kapcsolatok

kinematikai kapcsolatok

kétoldalú kapcsolatok

egyoldalú kapcsolatok

Egyre több tulajdonság egyidejűleg jelenik meg.

Példa:Egy vágóél mozgása a merev alaplapra megfelel egy kinematikai, kétoldalú, skleronomen, nichtholonomen kapcsolatnak.

skleronom kapcsolatok

rheonom kapcsolatok

holonome kapcsolatok

nichtholonome kapcsolatok


3 1 3 kapcsolatok1

3.1.3 Kapcsolatok

A geometriai kapcsolatokkorlátozzáka rendszer helyzetét az alakzat formáján keresztül:

Φ(x1,…,zn) = 0

x² + y² -l² = 0rúdinga

kétoldalú

x² + y² -l² ≤ 0fonalinga

Φ(x1,…,zn) ≤ 0

egyoldalú

x² + y² -l² ≥ 0Tömegpont kör-keresztmetszetű felületen

Φ(x1,…,zn) ≥ 0

Egy kapcsolatrheonom, ha a kapcsolati egyenletekben az idő explicit lép fel; más esetekben azokatskleronomnak nevezik.

Φ(x1,…,zn) = 0 skleronom, geometriai kapcsolat

Φ(t,x1,…,zn) = 0 rheonome, geometriai kapcsolat


3 1 3 kapcsolatok2

3.1.3 Kapcsolatok

A kényszer feltételek kényszer- és reakcióerőkhöz vezetnek , amelyek a kényszerfeltételek fennállása nélkül nem lépnének fel.

R

l

v

R

v

v és R egymásra merőlegesek

Azaz az R irányában nincs mechanikai munkavégzés

v

mg

R

A képen látható példákat általánosítjuk, akkor arra következtethetünk, hogy a reakcióerők állandóan merőlegesek a kényszerfeltételek szerinti felületekre. Ez a d'Alembert elv kiindulópontja.


3 1 3 kapcsolatok3

3.1.3 Kapcsolatok

A Kinematikai kapcsolatokkorlátozzák a rendszer sebességét:

skleronom, kinematikaikapcsolat

rheonom, kinematikaikapcsolat

A gyakorlatban a kinematikai kapcsolatoklineárisaka sebességeknél

Ha az ai, bi, ci, d a t időtől függenekrheonom kapcsolat.

Integrálható kinematikai kapcsolatok Geometriai kapcsolatok


3 1 3 kapcsolatok4

3.1.3 Kapcsolatok

Hertz (1894):

holonom kapcsolatok geometriaikapcsolatok

+ integrálható kinematikaikapcsolatok

nichtholonom kapcsolatok nem integrálható kinematikaikapcsolatok

Azok a rendszerek, amelyeknek valamennyi kapcsolata holonom, mintholonom rendszerek jellemezhetők.

Ha a rendszerben legalább egy nem holonom kapcsolat van, akkor a rendszer nem holonom, és nem holonom rendszerről beszélünk.


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 1 4 virtu lis elmozdul sok

3.1.4 Virtuális elmozdulások

Egy mechanikai rendszer virtuális elmozdulása alatt ennek a rendszernek a helyzetében bekövetkezett változást értjük, azaz a test egy önkényes (gondolati) elmozdulását, mint eredményt,ami ennek ellenére a kapcsolatokkal összeegyeztethető. A virtuális elmozdulás által a helyzet nagyságában?? okozott változást a dszimbólummal jelölt.

Példa:Gömbinga (térbeli matematikai inga)

A gömbinga mozgásának leírásaDescartesi koordinátarendszerbenr = [x y z]T

Az inga tömege csak a gömbfelületen kann sich nur auf einer Kugeloberfläche bewegen.

Kapcsolati egyenlet: Φ(r) = x² + y² + z² - l² = 0

Virtuális elmozdulásδr = [δx δy δz]T

csak a gömbfelületen belül lehet:


3 1 4 virtu lis elmozdul sok1

3.1.4 Virtuális elmozdulások

Példa:Gömbinga (térbeli matematikai inga)

A tömeg helyzete két másik, megfelelően megválasztott koordinátával leírható, Pl. a Ψ und szögekkel. (Egy kiegészítő kapcsolati-egyenlet természetesen nem lép fel.)

Kevesebb mint két koordináta nem lenne elegendő az egyértelmű helyzetleíráshoz.

Ezért a Ψ und minimalkoordináták,vagyáltalánosított, illetvegenerált koordináták.


3 1 4 virtu lis elmozdul sok2

3.1.4 Virtuális elmozdulások

Egy virtuális elmozdulásnál a t időt rögzítettnek gondoljuk,szemben egy valóságos elmozdulással, amely egy véges dt időintervallumban fut le.Tehát a rendszer nyomatékfelvételének tekinti.

Ez tehát, egy tömegpont figyelembevételével, egy mozgó ferde síkon szemléltethető.

Lejtő, kényszermozgás v1(t)


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 1 5 kinematika

3.1.5 Kinematika

Koordinátarendszerek és koordináták:

Koordinátarendszer alatt értünk három egymáshoz rendelt ortogonális (egymásra merőleges) egységvektort ex, ey, ez, amelyek az R3szemléltető térben a bázisát képezik minden abban ábrázolandó vektornak. Az O az euklideszi tér origója. Ezért az azzal meghatározott koordinátarendszert röviden az alábbiak szerint írjuk le:

K = {0;ex,ey,ez}

Egy K koordinátarendszer inerciarendszer, ha a bázisvektorok időben állandóak.

A K-t testhezkötöttnek nevezik, ha egy testponttal (Pl. tömegközépponttal) mereven kapcsolódikés ha a testpont koordinátáit ezen koordinátarenszerben mindig ugyanazok a koordináták írják le.


3 1 5 kinematik a

Elfordulás:

A merev testtel szorosan összekapcsolt K koordinátarendszer elforgatása egy térbeli I koordinátarendszerhez (inerciarendszer) viszonyítva akkor egyértelműen definiált, ha mindkét vizsgált rendszerben egy tetszőleges vektor koordinátái közötti matematikai összefüggés ismert.

3.1.5 Kinematika

Ismeretes hogy egy merev test helyzete és iránya 6 koordinátával írható le, Pl.a tömegközéppont három x, y, za transzlációs koordinátáival és a három α, β, γszöggel az inercia-rendszerhez viszonyítva.

Ekkor feltétlenül figyelembe kell venni, hogy az aIésaKugyanazt a vektort írják le.Az Stranszformációs mátrix (forgatási mátrix) elemei a vizsgált esettől függően határozhatók meg.


3 1 5 kinematik a1

3.1.5 Kinematika

Példa: Egy merev test elfordulása a z-tengely körül γ szöggel.

Forgatási mátrix:

Az x és y tengelyek körüli megfelelő elfordulásokat az alábbi forgatómátrix írja le:


3 1 5 kinematik a2

3.1.5 Kinematika

A forgatási mátrix ortogonális mátrix:S-1(α) = ST(α) = S(-α)

Egy merev test minden egyes tetszőleges helyzete általában legalább három egymást követő forgatás által, azaz a három forgástengely és három forgásszög megadásával adható meg.

Az egymást követő forgatások egyenkénti sorrendje alapján a forgatási szögek, mint kardánszögek (az x, y, z sorrend szerint, vagy fordított sorrend szerint), vagy mint Eulerszögek (z, x, y) jellemezhetők.

A kapott eredő forgatómátrixot az egyes mátrixok szorzásával kapjuk, pl.:


3 1 5 kinematik a3

3.1.5 Kinematika

Egy koordinátarendszerben több testnek van K1, K2, ... , Kpszerinti helyzete és iránya az ri tömegközéppont mindenkor helyvektora szerint, az Siforgatási mátrixot három szög αi,βi,γi (Pl. kardan- vagy Eulerszög) ír le, és amely koordináták egy helyzetvektorban foglalhatók össze.

Az MKS-ben (többtest rendszerben) előforduló helyzetelemek által a testkoordináták összefüggései egymás között a q algebrai egyenlet írhatók le.Φ(z) = 0 , i=1,…,q q < 6p-vel

A többtest rendszer helyzete egyértelműen leírható az f = 6p - q független koordinátákkal:y = [y1, … , yf]T. Ezeket az yi koordinátákat a mechanikában mint általánosított, vagy generált koordinátáknak nevezik (de lehetminimálkoordináták, vagyhelyzetnagyságok Lagergrößen).

  • Az általánosított koordináták:

    • függetlenek,

    • a rendszer helyzetét egyértelműen leírják,

    • a kapcsolatoknak megfelelő .


3 1 5 kinematik a4

3.1.5 Kinematika

Azért, hogy az állandósult állapotát az MKS-nek leírjuk még a sebességeket is figyelembe kell venni.Egy mechanikai szabadságfok alapvetően két állapot nagysághoz vezet. Ezzel az MKS számára adódik az állapotvektor:

Azx(t) vektor minden egyes időpontban egyértelműen leírja a többtest rendszer helyzetét és sebességét.

Az x által leírt teret ezért állapottérnek nevezzük (vesd össze a 2. fejezettel).

Példa: Golyóinga:


3 1 5 kinematik a5

amelynél aJTia (3 x f) - funkcionális- vagy a transzlációsJacobimatrix.

Rheonom kapcsolatoknál ebből kiindulva még a helyi (3 x 1) – sebességvektor lép fel.A vektor a rendszer transzlációs gyorsulásának centrifugális, Coriolis- és centrifugális részét írja le.

3.1.5 Kinematika

Transzláció:

Egy merev test helyzetét a tömegközéppontjának helyvektora írja le: Massenmittelpunktes beschrieben:

ri = ri(t,y)

A sebességet és gyorsulást az idő szerinti fokozatos differenciálással kapjuk:


3 1 5 kinematik a6

3.1.5 Kinematika

Forgás:

Hasonlóan a tömegközéppont transzlációjához a merev test forgása is a kapcsolatok által korlátozott Ebben az esetben kapjuk:

Ahol aJRia (3 x f) – a forgás funkcionális- vagyJacobimatrixa.

A vektorban a a szöggyorsulás centrifugális-, Coriolis- és centrifugális része van összefoglalva.

Rheonomkapcsolatoknál ebből kiindulva még a helyi (3 x 1) – sebességvektor lép fel.


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 2 impul zus und implzusnyomat k t tel

3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel

Egy Ki merev test Newton-i egyenletei (Impulzustétel):

miai =fi

Az inerciarendszerben az Euler-i egyenletek (Impulsusnyomaték tétel):

θiαi + ωi x (θiωi) = li

Ha a merev test (3 x 3) – a tehetetlenségi tenzor

és a külső nyomatékok livektora (3 x 1) – a Ci tömegközéppontra vonatkozóan adódik.


3 2 impul zus und implzusnyomat k t tel1

3.2 Impulzus- und implzusnyomaték tétel

Példa:Egy merev test Euler-i egyenletei, amelyre Mnyomaték hat, felírhatók:

(Dinamikai Euler egyenletek)

ha a tehetetlenségi tenzoregy főkoordinátarendszert feltételez??


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 3 kapcsol d sok figyelembev tele

3.3 Kapcsolódások figyelembevétele

A külső erők és nyomatékok feloszthatók ható erőkre és nyomatékokra, valamint rekcióerőkre és -nyomatékokra:

Erők egy erőtörvényből

súlyerők,rugó- és csillapítóerők,magneses és elektromos erők, stb.

Erők a kapcsolódásokból és kényszerfeltételekből

támasztóerők,vezetékerők,adott mozgásegyenletek, stb.

fie =fie +fir

li = lie + lir

Newton-Euler-egyenletek:

miai = fi = fie + fir

θiαi + ωi x (θiωi ) = li = lie + lir

A kapcsolódási egyenletek (explizit) figyelembe vételével (3.2 fejezet) a Newton-Euler-egyenletek a következő formában adódnak:


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 4 das d alembertsche prinzip

3.4 Das d‘Alembertsche Prinzip

Ad‘Alembert elv szerint a rekcióerők virtuális munkája eltűnik.

vagy

és

Mivel aδy tetszőlegesen megválasztható, következik hogy:


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 5 mozg segyenletek

3.5 Mozgásegyenletek

A reakcióerők a szorzásnál kiesnek

Newton-Euler-egyenletek (vesd össze 3.3 fejezettel):

Ebből az általános, nemlineáris mozgásegyenletek adódnak a (holonom) többtest rendszer számára:

aholMszimmetrikus és pozitív (f x f) – tömegmátrix,

k(f x 1) – a Coriolis-, Centrifugal- und Kreiselerők vektora valamint

q(f x 1) – az általánosított erők vektora.


3 5 1 kett s inga mozg segyenletei

3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei

A kettős inga két m tömegű homogén rúdból áll, amelyek hossza 2l. A rudak az A és B pontokban csuklósan és súrlódásmentesen csapágyazott.

r1

r2

Általánosított koordináták:

A tömegközéppontok helykoordinátái:


3 5 1 kett s inga mozg segyenletei1

3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei

Differenciálással adódnak a sebességek:

További differenciálással adódnak a gyorsulások:


3 5 1 kett s inga mozg segyenletei2

3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei

Eingeprägte erők és nyomatékok:

Reakcióerők:

Jacobimátrix:

Reakciónyomaték:


3 5 1 kett s inga mozg segyenletei3

3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei

Newton-Euler-egyenletek:

Transzláció

Test 1

TranszlációTest 2

ForgásTest 1

ForgásTest 2


3 5 1 kett s inga mozg segyenletei4

3.5.1 Kettős inga mozgásegyenletei

ANewton-Euler-egyenletek szorzásával a Jacobi mátrixok-kalés összegzéssel a rendszer nemlineáris mozgásegyenletei adódnak:

A reakcióerők szorzásnál kiesnek és ezért már a Newton-Euler-egyenletek felállításánál elhagyhatók.


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 5 2 line ris mozg segyenletek

3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek

Egy mechanikai rendszer linearizálása értelemszerűen egyensúlyi helyzet körül, vagy általában előírt mozgás körül megy végbe. Ez a kényszermozgás vagy a rendszerben magában keletkezhet, vagy valamilyen szabály szerint pl. kívülről hat. Egy rendszer jellemző előírt mozgásait a nemlineáris mozgásegyenletének partikuláris megoldásai adják.

Egy előírt mozgás környezetében a rendszert csak kis zavarómozgások η(t) | η(t) | << | ys(t) |érhetik:

y(t) = ys(t) + η(t)

Eine entsprechende Aufteilung muss man für die von außen eingeprägten Stellkräfte vornehmen:


3 5 2 line ris mozg segyenletek1

3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek

Ha azokat az eredeti nemlineáris egyenletekbe helyettesítjük, kapjuk az ott keletkező értékeket.


3 5 2 line ris mozg segyenletek2

3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek

A nemlineáris egyenletekbe való behelyettesítés után mindig egy az előírt mozgás egyenletét és az előírt mozgástól való eltérés egyenletét kapjuk.

Előírt mozgás:

Zavaró mozgás:

Az ηhelyett ismét y–t írva:


3 5 2 line ris mozg segyenletek3

3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek

A Pés Qmátrixok, mint minden qudratikus mátrix egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus mátrix részből áll, összegként felírva:

A mechanika klasszikus lineáris mozgásegyenletei:

Az M szimmetrikus tömegmátrix meghatározza a mozgási energia változást és ezáltal a tömegerőket. A D csillapítási mátrix az R Rayleigh függvényen keresztül jellemzi a csillapítóerőket és a Gpedig leírja a gyroszkopikus erőket, amelyek semmi hatással nincsenek az energiamérlegre. A Kmátrixa potenciálisenergiáthatározza meg, és ezzel a helyzeti erőkhatását, miközben az N a nemkonzervatívhelyzeti erőketírja le.

HaD=N=0 a rendszer konzervativ, azaza hkülső erők hatása nélkül az összenergia T+U állandó.


3 5 2 line ris mozg segyenletek4

3.5.2 Lineáris mozgásegyenletek

Példa:Kettős inga lineáris mozgásegyenletei(vesd össze 3.5.1 fejezettel)

A 3.5.1 fejezetben ismertetett kettős inga kis kilengéseinél áll:

Ezt figyelembe véve a nemlineáris egyenletekben kapjuk a linearizáltmozgásegyenleteket:

vagy ismert formában:

A tömeg és merevségi mátrix:


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 6 llapotegyenletek

A nemlineáris állapotegyenletekfigyelembevételével:

3.6 Állapotegyenletek

Egy MKS dinamika további kezeléséhez célszerű a másodrendű mozgásegyenleteket állapotegyenletekké átalakítani.Helyettesítéssel:

Lineáris esetben a lineáris állapotegyenletek::


3 mechanikai rendszerek dinamik ja

3Mechanikai rendszerek dinamikája

3.1Alapfogalmak

3.1.1Modellképzés: tömeg, rugalmasság és csillapítás

3.1.2Erők, Rendszer lehatárolás, Schnittprinzip

3.1.3Kapcsolatok

3.1.4Virtuális elmozdulások

3.1.5Kinematika

3.2Impulzus- und implzusnyomaték tétel

3.3Kapcsolódások figyelembevétele

3.4A d‘Alembert elv

3.5Mozgásegyenletek

3.5.1Kettős inga mozgásegyenletei

3.5.2Lineáris mozgásegyenletek

3.6Állapotegyenletek

3.7Másodfokú Lagrange egyenletek


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Eine wichtige Alternative zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen ist die Methode von Lagrange (1788).

Dabei handelt es sich im Gegensatz zu der in Kapitel 3.5 beschriebenen synthetischen Methode

(Freischneiden der Einzelkörper, anschließende Anwendung von Impuls- und Drallsatz und Elimination der Reaktionskräfte)

um eine analytische Methode,

die auf der Auswertung von Energieausdrücken für das Gesamtsystem basiert.

nicht behandelt


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art1

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Kinetische Energie

Für die kinetische Energie Ti eines starren Körpers Ki mit der Masse mi, dem Trägheits-tensor i , der absoluten Schwerpunktsgeschwindigkeit vMi und der Winkelgeschwindig-keit igilt:

Da die kinetische Energie unabhängig von den verwendeten Koordinatensystemen ist, spielt es keine Rolle, in welchen Koordinatensystemen die einzelnen Energieanteile berechnet werden. Klar ist hingegen, dass die Winkelgeschwindigkeit im gleichen System anzugeben ist wie der Trägheitstensor.

nicht behandelt

Die kinetische Energie eines Mehrkörpersystems wird aus der Summe der kinetischen Energien der Einzelkörper gebildet. Als Bezugspunkt wählt man vorteilhaft die Massen-mittelpunkte der Einzelkörper:


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art2

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Potentielle Energie

Ist die von den eingeprägten Kräften geleistete Arbeit unabhängig vom dabei durch-laufenen Weg, so besitzen die Kräfte bekanntlich ein Potential und können aus diesem durch Differentiation bestimmt werden. Es gilt:

nicht behandelt

wobei es sich bei der potentiellen Energie U = U(x,y,z) um eine skalare Ortsfunktion handelt.

Die potentielle Energie eines Mehrkörpersystems ergibt sich als Summe der potentiellen Energien der Einzelkörper:


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art3

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Kräfte, die sich gemäß aus einem Potential ableiten lassen, sind energieerhaltend und heißen deswegen konservativ.

Nichtkonservative Kräfte verändern die mechanische Gesamtenergie. Handelt es sich speziell um Kräfte, die Energie vernichten, so spricht man von dissipativen Kräften.

Beispiele für konservative Kräfte sind Gewichts- und Federkräfte:

fG = -mg und fF = -cs

nicht behandelt

Die zugehörigen Potentiale lauten:

Potentiale sind nur bis auf eine additive Konstante bestimmt, d.h. der Potentialnullpunkt kann beliebig festgelegt werden.

Enthält ein Mehrkörpersystem nur konservative Kräfte, so wird auch das ganze System als konservativ bezeichnet und es gilt der Satz von der Erhaltung der mechanischen Energie:

T + U = T0 + U0 = const


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art4

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Die beschriebenen Energieausdrücke werden nun zur Herleitung der Bewegungsgleichungen verwendet. Dabei werden im Gegensatz zur synthetischen Methode die Einzelkörper nicht freigeschnitten, sondern das System wird als Ganzes betrachtet.

Zunächst wird die kinetische Energie in Abhängigkeit von den verallgemeinerten Koordinaten und gegebenenfalls der Zeit dargestellt:

nicht behandelt

Aus den eingeprägten Kräften und Momenten lassen sich die verallgemeinerten Kräfte bilden:

Mit diesen Größen erhält man die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art zu:


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art5

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

  • Anmerkungen:

  • Man erhält also genau so viele Bewegungsgleichungen, wie das System Freiheitsgrade hat. Weiterhin ist es bei dieser Methode nicht erforderlich, die Reaktionskräfte einzuführen. Umgekehrt können diese so aber auch nicht berechnet werden.

  • Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen sind partielle und totale Differentiationen der Funktion zu berechnen. Bei der totalen Differentiation von T nach der Zeit t ist die Kettenregel zu berücksichtigen.

Bei konservativen Systemen lassen sich die verallgemeinerten Kräfte auch durch formale Differentiation der potentiellen Energie U nach den verallgemeinerten Koordinaten berechnen.

nicht behandelt

Führt man nun noch die Lagrange-Funktion L=T - U ein, so erhält man die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art in der klassischen Form:


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art6

Treten neben konservativen Kräften auch nichtkonservative Kräfte auf,

so sind diese (und nur diese) weiterhin durch einen Ausdruck der Form

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

nicht behandelt

auf der rechten Seite der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen zweiter Art zu berücksichtigen.


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art7

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Beispiel:Doppelpendel (vgl. Kapitel 3.5.1)

Mit den Beziehungen für die Translations- und Winkelgeschwindigkeiten des Doppelpendels aus Kapitel 3.5.1 erhält man für die kinetische Energie des Gesamtsystems:

nicht behandelt

und für die potentielle Energie:

U = -mgl(3cosα + cosβ)

Lagrange-Funktion:

L = T - U


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art8

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Für die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion erhält man:

nicht behandelt


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art9

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

Setzt man diese Ausdrücke in die Lagrangeschen Gleichungen

ein, so ergeben sich die gesuchten Bewegungsgleichungen:

nicht behandelt

Man erhält also auch in diesem Fall die Bewegungsgleichungen in der Form

mit


3 7 die lagrangeschen gleichungen zweiter art10

3.7 Die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art

  • Anmerkungen:

  • Die Bewegungsgleichungen, die sich aus den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art ergeben, sind bei gleicher Wahl der verallgemeinerten Koordinaten vollständig identisch mit den in Kapitel 3.5 durch das d'Alembertsche Prinzip aus den Newton-Euler-Gleichungen berechneten Gleichungen.Dies gilt auch im allgemeinen Fall. Die beiden Methoden unterscheiden sich also ausschließlich in der Vorgehensweise, nicht aber im Ergebnis.

  • Im Gegensatz zum Newton-Euler-Formalismus gestatten die Lagrangeschen Gleichungen (in dieser Form) nicht die Berechnung von Reaktionskräften (Lagerkräften).Umgekehrt ist die Berücksichtigung dieser Kräfte bei der Aufstellung der Gleichungen nicht erforderlich, was in der Praxis einen nicht zu unterschätzenden Vorteil darstellen kann.

nicht behandelt


  • Login