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物理科学学院 1010251 王新亚. 最速降线问题. 幼儿园的滑梯: 红色滑道 和 蓝色滑道 ,沿哪一条能最快下滑到底部呢?. A. B. 问题起源. 伽利略 (1630) “一个质点在重力作用下,从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”. Galileo Galilei(1564—1642). Johann Bernoulli瑞士 1696 再次提出 Brachistochrone 即 希腊语中的“最短”( brochistos )和“时间”( chronos )合成而来。.

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物理科学学院 1010251 王新亚

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Presentation Transcript


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物理科学学院1010251王新亚

最速降线问题


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幼儿园的滑梯:红色滑道和蓝色滑道,沿哪一条能最快下滑到底部呢?


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A

B

问题起源

  • 伽利略(1630)

  • “一个质点在重力作用下,从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”

Galileo Galilei(1564—1642)


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Johann Bernoulli瑞士 1696

再次提出

Brachistochrone

即希腊语中的“最短”(brochistos)和“时间”(chronos)合成而来。

Johann Bernoulli

(1667—1748)


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A

B

问 题

一质量为m的质点,在重力作用下从定点A

沿曲线下滑到定点B,

试确定一条曲线,使得质

点由A到B下滑时间最短.

假定B比A低,不计摩擦力

和其他阻力等因素.

问题导致数学新分支的产生.


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  • “虽然AB间线段最短,但小球滚下来的时间不是最短。

  • 如果在年底前(指1696年)没有人发现这条曲线,我将公布这条曲线。”

  • 直线有可能不是最短时间的路径,因为小球从零速度开始滚下来,最初应该让路径陡一些,好更快地加速获得速度。

Gottfried Wilhelm Leibniz

(1646—1716)


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  • 只收到了一份解答,

  • 老师莱布尼兹

  • 截止期限延长到来年复活节

  • 在连接已知两点的无数条曲线中,选择一条曲线,如果用一根细管或细槽代替这条曲线,把一个小球放入其中,放手让他滚动,那么小球将以最短的时间从一点滚向另一点。


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  • “……很少有人能解出我们的独特的问题,即使那些自称通过特殊方法……不仅深入探究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学领域的人,这些人自以为他们的伟大定理无人知晓,其实早已有人将它们发表过了”

  • 流数术

  • 维护师门尊严

  • 寄给牛顿

Isaac Newton(1642-1727)


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  • 收到问题,解出

    凯瑟琳:“1697年的一天,收到伯努利寄来的问题时,伊萨克牛顿爵士正在造币局里忙着改铸新币的工作,很晚才精疲力竭地回到家里。但是,直到解出此道难题,他才上床休息,这时已经是凌晨4点钟。”

    牛顿:“在数学问题上,我不喜欢……被外国人……戏弄”。

Isaac Newton(1642-1727)


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·伯努利:“我从他的利爪认出了这头狮子。”

  • 1697年复活节 5份答案,他自己和其老师莱布尼兹,第三份是他的哥哥雅可布·伯努利。

  • 洛必达是第四个。

  • 牛顿 匿名信


1697 5 5

公布答案

除了罗毕达的答案外,其他人的解答都在1697年5 月5月的《博学通报》公布。

答案就是一段旋轮线(摆线)


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旋轮线(最速降线)

  •  一个圆在一条定直线上滚动时,圆周上一个定点的轨迹。


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  • 因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以旋轮线又称等时曲线。

Christiaan Huygens

(1629-1695)

Blaise Pascal(1623-1662)


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评价

  • 数学历史上的挑战古已有之,但这一次最速降线的挑战可谓数学史上最激动人心的一次挑战,有几个理由:

  • 首先参与人数众多。

  •  其次,得出正确结果的都是赫赫有名的大数学家。牛顿、莱布尼兹各自独立创立了微积分;以伯努利兄弟为代表的伯努利家族是数学世家。洛必达年轻时就显露了数学天赋,十五岁就解出了帕斯卡的摆线难题。

  • 第三,这次挑战各人的解法各有千秋,约翰·伯努利的解法最漂亮,类比了费马原理,将物理和几何融合到一起,用光学的思想一下子就得出结论。雅各布·伯努利的方法最一般化,体现了变分思想。牛顿、莱布尼兹和洛必达都是用微积分方法,只是步骤并不相同。


1726 1744

最后,此问题直接导致了另一位旷世天才的登场,大数学家莱昂哈德·欧拉(约翰·伯努利的学生)也在1726年开始发表有关的论著,在1744年最先给了这类问题的普遍解法,并产生了变分法这一新的数学分支。

Euler(1707-1783)


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数学思想

A

c

x

A1

a1

ak

D

l

O

C

a2

A2

B

ak+1

y

一 类比

费马原理(FermatPrinciple):

光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。

由费马原理导出几何光学中的折射定律


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类比法是一种很常见的数学方法

=

库伦类比牛顿万有引力定律得到了带电体的库仑定律

万有引力


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A

c

x

B

y

数学思想

二 变分

质点从到所用的时间是


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A

c

x

B

y

数学思想

二 变分

式中积分的上下限是固定的。

显然

也就是泛函求极值问题。

而一般的函数求极值问题则是自变量

函数


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数学思想

二 变分

  • 泛函𝐽[𝑦(𝑥)]取极值的的 条件 𝛿𝐽=0,算符𝛿称为变分记号。泛函𝐽[𝑦(𝑥)]的变分𝛿𝐽所讨论的是于函数𝑦(𝑥)的改变所引起的改变,而微分则是由于自变量𝑥的改变所引起的改变。

  • 微分法研究函数的极值,而变分法则研究泛函的极值。

  • 雅各布·伯努利关于最速降线的的求解导致了变分法这样一个新的数学分支的诞生!


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数学思想

二 变分

当时的科学家对变分法非常乐观,在1744年Eider曾这样赞美道:“上帝创造的宇宙的结构是如此的尽善尽美,以至世界上没有任何事物不显示出极大或极小的性质。因此,毫无疑问,世界上的一切结果都可以用极大和极小方法从其终极原因及其有效原因中导出来。”这是对变分法最高赞赏!

  • 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域,而且在现代量子场论,现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用.


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谢谢大家!


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附录:

  • 最速降线的求解


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xk-1

xk

c

x

A

yk-1

yk

B

y

一 近似方法

如图建立坐标系,设A为原点,

B为(c,H),将带状区域0< y <H

用平行于x 轴的直线y=yk=kH/n

把这区域分成n个带状小区域

在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为

而曲线段近似认为是直线段,其长度

于是质点从A到B所需时间近似为

(n -1元函数!)


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A1

a1

D

l

O

C

a2

A2

一个辅助结论

设质点从A1经直线 l到达A2,质点速度在l 的

上侧为v1,下侧为v2,则质点如何运动才最省时?

显然在l一侧质点应走直线,因此关键是质点

何时越过l?

如图,若A1,A2到l 的垂足分

别为O,D, A1,A2 到l的距离分别

为a, b,OD =c, 质点经过l于C

OC=x 那么质点由A1到A2需时间


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A1

a1

D

l

O

C

a2

A2

惟一驻点满足

也即

这就是光学中的Snell折射定律


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A

c

x

ak

B

ak+1

y

建立数学模型

分析;如图建坐标系,

若用与x 轴平行的直线将

AB 分割成小段, 考虑在第k

层与k+1层质点在曲线上的下

滑,依能量守恒律,可近似

认为质点在每层内的速度不

变,于是依辅助结论知

由于上式对任何k成立,

故导出


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A

c

x

B

a

y

令平行线的间距趋于零,我们就得到在曲线

上任何一点

其中a为该点切线与铅垂线

的夹角

由于

其中y=y(x)为曲线函数,又因

于是得到

最速降线的方程:


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A

c

x

B

y

二 另一种方法-变分法

设曲线为

满足 y(0)=0, y(c)=H

在曲线上P(x,y)处质点速度为

又设从A到P的弧长为s,则

从而质点沿曲线由A到B需时间


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这是一个泛函求极值问题。泛函:如果 是的函数,那么就称 为函数 的泛函数。

式积分的上下限是固定的。显然 J 的值和函数 有关。我们所讨论的问题是 取什么函数时,泛函 取中最小值。也就是求泛函的极值问题


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  • 泛函 取极值的条件是 算符 称为变分记号。


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  • 当 的 不显含自变量 ,则它有初积分

我们求出的最速降线方程

中的

这是因为

不显含 ,将其代入式

并化简即得


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解方程

令 y’= cott , 那么由方程导出

又因

从而

由x=0时,y=0,且注意

, 故C2 = 0, 于是令

(旋轮线)

由 x=c,y=H 得到

求出根

再确定 R


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下降所需时间

计算弧微分

从而下降时间


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谢谢大家!


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