M todos num ricos para la resoluci n de sistemas de ecuaciones no lineales
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Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales PowerPoint PPT Presentation


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Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales. Contenido. Planteamiento del problema Método de Punto Fijo Método de Newton Variantes del método de Newton Evaluación diferida del jacobiano Aproximación por diferencias finitas Newton unidimensional

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Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

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Presentation Transcript


M todos num ricos para la resoluci n de sistemas de ecuaciones no lineales

Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales


Contenido

Contenido

  • Planteamiento del problema

  • Método de Punto Fijo

  • Método de Newton

  • Variantes del método de Newton

    • Evaluación diferida del jacobiano

    • Aproximación por diferencias finitas

    • Newton unidimensional

  • Métodos cuasi-Newton (Broyden)


Notaci n

Notación

  • Escalar

  • Vectorial


Resoluci n iterativa

Resolución iterativa

  • x(0) estimación inicial de la solución

  • Iteraciones: x(1), x(2), …, x(k)

  • Criterio de convergencia

    • | x(k+1)- x(k) | < tol

  • Criterio de parada

    • k > maxiter


Esquema del algoritmo

Esquema del algoritmo

  • Entrada: f, x0, tol, maxiter

  • Proceso

    • Inicializar incr, iter

    • Mientras incr > tol & iter < maxiter

      • Obtener x

      • incr = norm(x - x0)

      • Actualizar x0, iter

  • Salida: x, iter, incr

    • Si incr > tol no converge


M todo de punto fijo

Método de Punto Fijo

  • Punto fijo

  • Estimación inicial

  • Iteraciones

  • Criterio de parada


Algoritmo de punto fijo

Algoritmo de Punto Fijo

function [x,iter,incr] = pfijo(g,x0,tol, maxiter)

iter = 0;

incr = tol + 1;

while incr > tol & iter < maxiter

x = feval(g,x0);

incr = norm(x - x0);

iter = iter + 1;

x0 = x;

end

if incr > tol, disp(‘No converge’), end


Ejemplo

Ejemplo

  • Sistema no lineal

  • Problema de Punto Fijo


M todos num ricos para la resoluci n de sistemas de ecuaciones no lineales

  • Punto Fijo con desplazamientos simultáneos

  • Punto Fijo con desplazamientos sucesivos


C digo de la funci n

Código de la función

function y=f(x)

% Función para el método de punto

% fijo con desplazamientos simultáneos

y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6;

y(2) = sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1;

y(3) = (1-exp(-x(1)*x(2)))/20 - pi/6;


Ejemplo 1 desp simult neos

Ejemplo 1: Desp. simultáneos


C digo de la funci n1

Código de la función

function y=f(x)

% Función para el método de punto

% fijo con desplazamientos sucesivos

y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6;

y(2) = sqrt(y(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1;

y(3) = (1-exp(-y(1)*y(2)))/20 - pi/6;


Ejemplo 1 desp sucesivos

Ejemplo 1: Desp. sucesivos


M todo de newton

Método de Newton

  • Sistema de ecuaciones

  • Aproximación por el plano tangente

  • Paso de Newton


Algoritmo de newton

Algoritmo de Newton

function [x,iter,incr] = newton(f,x,tol, maxiter)

iter = 0; incr = tol+1;

while incr > tol & iter < maxiter

[fx,dfx] = feval(f,x);

delta = - dfx \ fx;

incr = norm(delta);

iter = iter+1;

x = x + delta;

end

if incr>tol, disp(‘No converge’), end

El archivo f.m evalúa la función y el jacobiano


M todo de newton ejemplo 2

Método de Newton. Ejemplo 2

  • Sistema

  • Estimación inicial

  • Primera iteración


Resultados newton ejemplo 2

Resultados Newton Ejemplo 2


M todo de newton ejemplo 3

Método de Newton. Ejemplo 3

  • Sistema no lineal

  • Jacobiana


Resultados newton ejemplo 3

Resultados Newton. Ejemplo 3


Variantes de newton ejercicio

Variantes de Newton (Ejercicio...)

  • Actualización periódica del Jacobiano

  • Aproximación del Jacobiano por diferencias divididas

  • Newton con desplazamiento unidimensional


M todos casi newton

Métodos casi-Newton

  • Idea de la secante

    • No usa las derivadas parciales

    • Convergencia superlineal

  • Formulación matricial


M todo de broyden

Método de Broyden

Iterar

siendo


Actualizaci n de la inversa

Actualización de la inversa


Algoritmo de broyden

Algoritmo de Broyden

  • Entrada

    • x0 ,tol, maxiter

  • Inicio

    • M: Inversa del Jacobiano en x0

    • x1 = x0- M*F(x0)

    • incr, iter

  • Iteraciones: k = 1, 2, ...

    • Actualizar M % Ak-1-1 Ak-1

    • xk+1 = xk- M*F(xk)


Actualizaci n de m

Actualización de M

w = v; % F(xk-1)

v = F(x);% F del iterado actual

y = v - w; % F(xk) - F(xk-1)

z = - M*y; % - Ak-1-1 * yk

p = - s' *z;% (sk - xk-1)T* Ak-1-1 * yk

q = s' *M; % skT* Ak-1-1

R = (s+z)*q/p; % Transformación rango 1

M = M+R; % Inversa nueva: Ak-1

s = - M*v;% Paso de Broyden: sk+1


Algoritmo de broyden1

% Inicio

v =F(x0)

M = inv(DF(x0))

% Inversa Jacobiano

s = - M*v;

x = x0+s;

% Paso de Newton

incr = norm(s);

while incr > tol

w = v; % F(x(k-1))

v = F(x);

y = v-w; % F(x(k)) - F(x(k-1))

z = - M*y; % -inv(A(k-1))*y(k)

p = - s' *z;

q = s' *M; % s(k)'*inv(A(k-1)

R = (s+z)*q/p;

M = M+R; % inversa de A(k)

s = - M*v;

x = x+s; % Paso de Broyden

incr = norm(s);

end

Algoritmo de Broyden


Resultados de broyden ejemplo 3

Resultados de Broyden. Ejemplo 3


Alternativas al primer paso

Alternativas al primer paso

  • Estimar el Jacobiano por diferencias divididas

  • Estimación unidimensional del Jacobiano


F i n

F i n


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