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Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales - PowerPoint PPT Presentation


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Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales. Contenido. Planteamiento del problema Método de Punto Fijo Método de Newton Variantes del método de Newton Evaluación diferida del jacobiano Aproximación por diferencias finitas Newton unidimensional

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Métodos numéricos para la resolución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales

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Presentation Transcript



Contenido
Contenido Ecuaciones no Lineales

  • Planteamiento del problema

  • Método de Punto Fijo

  • Método de Newton

  • Variantes del método de Newton

    • Evaluación diferida del jacobiano

    • Aproximación por diferencias finitas

    • Newton unidimensional

  • Métodos cuasi-Newton (Broyden)


Notaci n
Notación Ecuaciones no Lineales

  • Escalar

  • Vectorial


Resoluci n iterativa
Resolución iterativa Ecuaciones no Lineales

  • x(0) estimación inicial de la solución

  • Iteraciones: x(1), x(2), …, x(k)

  • Criterio de convergencia

    • | x(k+1)- x(k) | < tol

  • Criterio de parada

    • k > maxiter


Esquema del algoritmo
Esquema del algoritmo Ecuaciones no Lineales

  • Entrada: f, x0, tol, maxiter

  • Proceso

    • Inicializar incr, iter

    • Mientras incr > tol & iter < maxiter

      • Obtener x

      • incr = norm(x - x0)

      • Actualizar x0, iter

  • Salida: x, iter, incr

    • Si incr > tol no converge


M todo de punto fijo
Método de Punto Fijo Ecuaciones no Lineales

  • Punto fijo

  • Estimación inicial

  • Iteraciones

  • Criterio de parada


Algoritmo de punto fijo
Algoritmo de Punto Fijo Ecuaciones no Lineales

function [x,iter,incr] = pfijo(g,x0,tol, maxiter)

iter = 0;

incr = tol + 1;

while incr > tol & iter < maxiter

x = feval(g,x0);

incr = norm(x - x0);

iter = iter + 1;

x0 = x;

end

if incr > tol, disp(‘No converge’), end


Ejemplo
Ejemplo Ecuaciones no Lineales

  • Sistema no lineal

  • Problema de Punto Fijo


M todos num ricos para la resoluci n de sistemas de ecuaciones no lineales


C digo de la funci n
Código de la función Ecuaciones no Lineales

function y=f(x)

% Función para el método de punto

% fijo con desplazamientos simultáneos

y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6;

y(2) = sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1;

y(3) = (1-exp(-x(1)*x(2)))/20 - pi/6;


Ejemplo 1 desp simult neos
Ejemplo 1: Desp. simultáneos Ecuaciones no Lineales


C digo de la funci n1
Código de la función Ecuaciones no Lineales

function y=f(x)

% Función para el método de punto

% fijo con desplazamientos sucesivos

y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6;

y(2) = sqrt(y(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1;

y(3) = (1-exp(-y(1)*y(2)))/20 - pi/6;


Ejemplo 1 desp sucesivos
Ejemplo 1: Desp. sucesivos Ecuaciones no Lineales


M todo de newton
Método de Newton Ecuaciones no Lineales

  • Sistema de ecuaciones

  • Aproximación por el plano tangente

  • Paso de Newton


Algoritmo de newton
Algoritmo de Newton Ecuaciones no Lineales

function [x,iter,incr] = newton(f,x,tol, maxiter)

iter = 0; incr = tol+1;

while incr > tol & iter < maxiter

[fx,dfx] = feval(f,x);

delta = - dfx \ fx;

incr = norm(delta);

iter = iter+1;

x = x + delta;

end

if incr>tol, disp(‘No converge’), end

El archivo f.m evalúa la función y el jacobiano


M todo de newton ejemplo 2
Método de Newton. Ejemplo 2 Ecuaciones no Lineales

  • Sistema

  • Estimación inicial

  • Primera iteración


Resultados newton ejemplo 2
Resultados Newton Ejemplo 2 Ecuaciones no Lineales


M todo de newton ejemplo 3
Método de Newton. Ejemplo 3 Ecuaciones no Lineales

  • Sistema no lineal

  • Jacobiana


Resultados newton ejemplo 3
Resultados Newton. Ejemplo 3 Ecuaciones no Lineales


Variantes de newton ejercicio
Variantes de Newton (Ejercicio...) Ecuaciones no Lineales

  • Actualización periódica del Jacobiano

  • Aproximación del Jacobiano por diferencias divididas

  • Newton con desplazamiento unidimensional


M todos casi newton
Métodos casi-Newton Ecuaciones no Lineales

  • Idea de la secante

    • No usa las derivadas parciales

    • Convergencia superlineal

  • Formulación matricial


M todo de broyden
Método de Broyden Ecuaciones no Lineales

Iterar

siendo


Actualizaci n de la inversa
Actualización de la inversa Ecuaciones no Lineales


Algoritmo de broyden
Algoritmo de Broyden Ecuaciones no Lineales

  • Entrada

    • x0 ,tol, maxiter

  • Inicio

    • M: Inversa del Jacobiano en x0

    • x1 = x0- M*F(x0)

    • incr, iter

  • Iteraciones: k = 1, 2, ...

    • Actualizar M % Ak-1-1 Ak-1

    • xk+1 = xk- M*F(xk)


Actualizaci n de m
Actualización de M Ecuaciones no Lineales

w = v; % F(xk-1)

v = F(x);% F del iterado actual

y = v - w; % F(xk) - F(xk-1)

z = - M*y; % - Ak-1-1 * yk

p = - s' *z;% (sk - xk-1)T* Ak-1-1 * yk

q = s' *M; % skT* Ak-1-1

R = (s+z)*q/p; % Transformación rango 1

M = M+R; % Inversa nueva: Ak-1

s = - M*v;% Paso de Broyden: sk+1


Algoritmo de broyden1

% Inicio Ecuaciones no Lineales

v =F(x0)

M = inv(DF(x0))

% Inversa Jacobiano

s = - M*v;

x = x0+s;

% Paso de Newton

incr = norm(s);

while incr > tol

w = v; % F(x(k-1))

v = F(x);

y = v-w; % F(x(k)) - F(x(k-1))

z = - M*y; % -inv(A(k-1))*y(k)

p = - s' *z;

q = s' *M; % s(k)'*inv(A(k-1)

R = (s+z)*q/p;

M = M+R; % inversa de A(k)

s = - M*v;

x = x+s; % Paso de Broyden

incr = norm(s);

end

Algoritmo de Broyden


Resultados de broyden ejemplo 3
Resultados de Broyden. Ejemplo 3 Ecuaciones no Lineales


Alternativas al primer paso
Alternativas al primer paso Ecuaciones no Lineales

  • Estimar el Jacobiano por diferencias divididas

  • Estimación unidimensional del Jacobiano


F i n

F i n Ecuaciones no Lineales


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