Zagadnienie transportowe
Download
1 / 52

Zagadnienie transportowe - PowerPoint PPT Presentation


  • 272 Views
  • Uploaded on

Badania Operacyjne. Zagadnienie transportowe. Problem transportowy - zastosowania. Optymalne planowanie transportu towarów , przy minimalizacji kosztów lub czasu wykonania zadania. Optymalny rozdział czynników produkcji , w celu maksymalizacji wartości produkcji, zysku lub dochodu.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Zagadnienie transportowe' - brian


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Zagadnienie transportowe

Badania Operacyjne

Zagadnienie transportowe


Problem transportowy zastosowania
Problem transportowy - zastosowania

  • Optymalne planowanie transportu towarów, przy minimalizacji kosztów lub czasu wykonania zadania.

  • Optymalny rozdział czynników produkcji, w celu maksymalizacji wartości produkcji, zysku lub dochodu.


Rozwi zanie dopuszczalne
Rozwiązanie dopuszczalne

Rozwiązaniedopuszczalne –jest to rozwiązanie przejściowe. Istnieje wiele rozwiązań dopuszczalnych dla jednego zagadnienia transportowego, przy czym każde kolejne ma lepszy (niższy) lub przynajmniej nie gorszy koszt od poprzedniego.


Rozwi zanie optymalne
Rozwiązanie optymalne

Rozwiązanie optymalne- rozwiązanie, które w wyniku daje koszt najniższy do uzyskania poprzez znane nam metody. Jest to rozwiązanie końcowe. Może istnieć kilka rozwiązań optymalnych dla jednego zagadnienia transportowego - lecz koszt każdego z nich powinien być taki sam.


Popyt i poda
Popyt i podaż

  • Łączną ilość dobra dostępną we wszystkich punktach nadania przywykło się określać mianem podaży.

  • Łączną ilość dobra, na które jest zapotrzebowanie we wszystkich punktach odbioru nazwiemy popytem.


Opis problemu
Opis problemu

  • Rdostawców pewnego towaru, zaopatruje N odbiorców.

  • Dostawcy dysponują Ai(i = 1,2,...,R) jednostkami danego towaru.

  • Zapotrzebowanie każdego z odbiorców wynosi Bj

    (j = 1,2,...,N) jednostek.

  • Każdy dostawcamoże zaopatrywać dowolnego odbiorcę.

  • Każdy odbiorcamoże otrzymywać towar od dowolnego dostawcy.


Opis problemu c d
Opis problemu c.d.

  • Ponadto znane są jednostkowe koszty transportutowaru od i-tegodostawcy do j-tegoodbiorcy

    cij(i = 1,2,...,R; j = 1,2,...,N)

    UWAGA:

  • Zakłada się, że całkowity koszt transportu jest sumą kosztów transportu na poszczególnych trasach.

    2. Cij– może również wyrażać czas transportu lub odległość

    Mówimy tu o zagadnieniach transportowych z kryterium czasu, odległości lub kosztu.


Matematyczny model zagadnienia transportowego
Matematyczny model zagadnienia transportowego

Oznaczenia:xij— wielkość przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy,cij — jednostkowy koszt przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy,Ai — limit dostaw i-tego dostawcy,Bj — zapotrzebowanie j-tego odbiorcy,m— liczba dostawców,n— liczba odbiorców.


Zapis tabelaryczny zagadnienia transportowego

Zapis tabelaryczny zagadnienia transportowego

Zapis tabelaryczny zagadnienia transportowego

Macierz kosztów jednostkowych:


ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAMKNIĘTE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

OTWARTE


Zamkni te zagadnienie transportowe
Zamknięte zagadnienie transportowe

Zamkniętezagadnienie transportowe = zbilansowanezagadnienie transportowe

(ZZT)

Z zamkniętym (zbilansowanym zagadnieniem transportowym) mamy do czynienia, gdy łączna podaż jest równa popytowi:


Model matematyczny dla zzt
Model matematyczny dla ZZT

  • warunki dla dostawców:

  • warunki dla odbiorców:

  • warunki brzegowe:

  • funkcja celu:


Zzt przyk ad
ZZT - przykład

PODAŻ

POPYT


Otwarte zagadnienie transportowe
Otwarte zagadnienie transportowe

Otwartezagadnienie transportowe = niezbilansowanezagadnienie transportowe

(OZT)

  • łączna podaż > łączny popyt – u dostawców zostanie pewna ilość towaru, na którą nie ma zapotrzebowania, a zapotrzebowanie odbiorców zostanie zaspokojone:

  • łączna podaż < łączny popyt– zapotrzebowanie odbiorców nie zostanie zaspokojone, mimo, że dostawcy wyślą cały towar:


Model matematyczny dla ozz czna poda czny popyt
Model matematyczny dla OZZłączna podaż>łączny popyt

  • warunki dla dostawców:

  • warunki dla odbiorców:

  • warunki brzegowe:

  • funkcja celu:


Sprowadzenie ozt do zzt czna poda czny popyt
Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt

UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest zbilansowane (zamknięte).

Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie, wprowadzenie fikcyjnego odbiorcy, którego zapotrzebowanie Bn+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn.

W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania.


Ozt przyk ad
OZT - przykład

PODAŻ

POPYT


Sprowadzenie ozt do zzt czna poda czny popyt c d
Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt c.d.

UWAGA:

Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców (ci,n+1) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci,n+1 = 0).


Sprowadzenie ozt do zzt czna poda czny popyt podsumowanie
Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt- podsumowanie

OZT

OZT -> ZZT


Model matematyczny dla ozz czna poda czny popyt1
Model matematyczny dla OZZ łączna podaż< łączny popyt

  • warunki dla dostawców:

  • warunki dla odbiorców:

  • warunki brzegowe:

  • funkcja celu:


Sprowadzenie ozt do zzt czna poda czny popyt1
Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż<łączny popyt

UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest zbilansowane (zamknięte).

Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie, wprowadzenie fikcyjnego dostawcy, którego zapotrzebowanie Am+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn.

W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania.


Ozt przyk ad1
OZT - przykład

PODAŻ

POPYT


Sprowadzenie ozt do zzt czna poda czny popyt c d1
Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt c.d.

UWAGA:

Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców (ci,n+1) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci,n+1 = 0).


Sprowadzenie ozt do zzt czna poda czny popyt podsumowanie1
Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt- podsumowanie

OZT

OZT -> ZZT



Metoda k ta p nocno zachodniego g rnego lewego rogu
Metoda kąta północno-zachodniego(górnego lewego rogu)

Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego.

Nie bierze ona pod uwagę macierzy kosztów, przez co koszt rozwiązania jest dość wysoki w porównaniu z pozostałymi metodami.


Metoda k ta p nocno zachodniego przyk ad zzt
Metoda kąta północno-zachodniego- przykład (ZZT)

Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt z czterema producentami czekolady (P1, P2, P3, P4) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40 paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H1, H2, H3, H4, H5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy).

Uwaga koszty zestawiono w tabeli


Metoda k ta p nocno zachodniego przyk ad
Metoda kąta północno-zachodniego- przykład

20

30

10

40

100

10

10

15

30

35

100


Metoda k ta p nocno zachodniego
Metoda kąta północno-zachodniego

Należy przygotować niewypełnioną tabelę o wymiarze m-wierszy i n-kolumn,

gdzie:

m - liczba odbiorców,

n- liczba dostawców.


Wypełnianie tabelki zaczynamy od pierwszej komórki w górnym, lewym narożniku. Komórce tej odpowiada dana podaż oraz dany popyt. Wybieramy spośród nich mniejszą wartość i wpisujemy ją do komórki.

Następnie należy tę wartość odjąć zarówno od podaży jak i od popytu.

10

10

Min(10;20)=10

0

10-10=0

20-10=10


Sprawdzamy, gdzie po odjęciu uzyskaliśmy 0 górnym, lewym narożniku. Komórce tej odpowiada dana podaż oraz dany popyt. Wybieramy spośród nich mniejszą wartość i wpisujemy ją do komórki. (w podaży czy w popycie). Jeżeli wyzerował się popyt to w danej kolumnie wpisujemy w resztę komórek zera. Jeżeli wyzerowałaby się podaż to należałoby wpisać zera w resztę komórek w danym wierszu. W tym przypadku wyzerował się popyt więc należy wypełnić resztę komórek w pierwszej kolumnie zerami.


Idziemy do kolejnej wolnej komórki górnym, lewym narożniku. Komórce tej odpowiada dana podaż oraz dany popyt. Wybieramy spośród nich mniejszą wartość i wpisujemy ją do komórki. i powtarzamy całą procedurę, aż do pełnego wypełnienia całej tabeli.


Uzyskujemy wówczas rozwiązanie dopuszczalne. górnym, lewym narożniku. Komórce tej odpowiada dana podaż oraz dany popyt. Wybieramy spośród nich mniejszą wartość i wpisujemy ją do komórki. Wszystkie zerowe elementy (bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie tabeli) rozwiązania nazywamy elementami nie bazowymi. Natomiast elementami bazowymi nazywamy wszystkie elementy niezerowe.

Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4-1=8),wówczas rozwiązanie nazywamy zdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie będzie niezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego optymalności metodą potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden z elementów bazowych jest zerem).


Na koniec należy policzyć koszt jaki uzyskaliśmy tą metodą. Koszt wyliczamy przemnażając dany element tablicy kosztów z danym elementem naszego rozwiązania po czym wartości te sumujemy.


Metoda k ta p nocno zachodniego przyk ad ozt
Metoda kąta północno-zachodniego metodą. Koszt wyliczamy przemnażając dany element tablicy kosztów z danym elementem naszego rozwiązania po czym wartości te sumujemy.- przykład (OZT)

Firma przewozowa (np. mąki) ma kontrakt z trzema magazynami (M1, M2, M3) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 100, 50 i 80 tonami mąki. Natomiast 4 piekarnie (P1, P2, P3, P4) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 40, 60, 50 i 50 ton mąki. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić mąkę, znając koszty drogi od danego magazynu (dostawcy) do każdej piekarni (odbiorcy).


Ponieważ algorytm transportowy zakłada zbilansowanie popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ zatem wprowadzamy jednego fikcyjnego odbiorcę

(dodatkową piekarnię).

dodatkowe założenie o kosztach magazynowania


Nowy model matematyczny: popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ

  • funkcja celu:

  • funkcję celu rozszerzamy o dodane składniki

Dalej rozwiązujemy metodą kąta pn.-zach. (lub później najmniejszego elementu)


Metoda najmniejszego elementu
Metoda najmniejszego elementu popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ

Pełna nazwa to metoda najmniejszego elementu w macierzy kosztów.

Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne zadaniatransportowego. Bierze ona pod uwagę macierz kosztów dzięki czemu zazwyczaj (ale nie zawsze) daje w wyniku niższy koszt rozwiązania niż koszt rozwiązania metodą kąta pn.-zach.


Metoda najmniejszego elementu przyk ad
Metoda najmniejszego elementu popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ - przykład

Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt z czterema producentami czekolady (P1, P2, P3, P4) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40 paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H1, H2, H3, H4, H5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy).

Uwaga koszty zestawiono w tabeli


Metoda najmniejszego elementu przyk ad1
Metoda najmniejszego elementu popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ - przykład


Zaczynając od góry szukamy pierwszej komórki popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ o najmniejszym koszcie, odznaczamy ją.

Komórce tej odpowiada jedna wartość podaży oraz popytu. Wybieramy spośród nich wartość mniejszą i odejmujemy ją zarówno od danej komórki popytu jak i komórki podaży.

Min(20;30)=20

20-20=0

30-20=10


Wyniki wpisujemy do nowej tabeli, tak, że wartość minimalną wpisujemy w komórkę, która odpowiada komórce z minimalnym kosztem w tabeli kosztów.

Następnie sprawdzamy, która wartość (popytu czy podaży) wyzerowała się. Jeżeli wyzerowała się podaż to wstawiamy zera w resztę komórek w tym wierszu, jeżeli popyt to wstawiamy zera w resztę komórek danej kolumny.


Następnie bierzemy tabelkę kosztów i zakreślamy na niej komórki, które wypełniliśmy zerami w tabelce wyników.

Następnie szukamy w niej następnego minimalnego kosztu (pomijając zakreślone komórki).

Dalej postępujemy analogicznie jak w etapie pierwszym.



U tabeli.zyskaliśmy rozwiązanie dopuszczalne. Wszystkie zerowe elementy (bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie tabeli) rozwiązania nazywamy elementaminie bazowymi. Natomiast elementami bazowymi nazywamy wszystkie elementy niezerowe.

Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4-1=8),wówczas rozwiązanie nazywamy zdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie będzie niezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego optymalności metodą potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden z elementów bazowych jest zerem).


Na koniec należy policzyć koszt jaki uzyskaliśmy tą metodą. Koszt wyliczamy w analogiczny sposób jak w przykładzie z użyciem metody kąta północno-zachodniego.

ODP.: koszt rozwiązania dopuszczalnego wynosi 225.

Porównując koszty rozwiązań metodą kąta pn.-zach.i najmniejszego elementu zauważymy, że wynik nie jest najgorszy (ani najlepszy).

W odróżnieniu od metody kąta pn. - zach. w metodzie

najmniejszego elementu bierzemy pod uwagę macierz kosztów.


ad