Teória chaosu a jej aplikácie

1. Teória chaosu a jej aplikácie Bc. Adrián DringušBc. Vladimír Gašpar Bc. František Ivanko

2. Obsah • História • Teória chaosu • Atraktory • Podivné atraktory • Fraktály • Juliove množiny • Mandelbrotové množiny • Využitie teórie chaosu

3. História • Začiatkom 20. stor. HenriPoincaré pracoval na tzv. probléme troch telies • ENIAC bol použitý ku štúdiu jednoduchých modelov predpovedí počasia • Jedným z prvých priekopníkov v oblasti teórie chaosu bol EdwardLorenz

4. Teória chaosu • Teória chaosu sa zaoberá správaním nelineárnychdynamických systémov, ktoré (za istých podmienok) vykazujú jav známi ako deterministický chaos, najlepšie charakterizovaný citlivosťou na počiatočné podmienky tiež známym ako efekt motýlých krídel. • V dôsledku tejto citlivosti sa chovanie týchto fyzikálnych systémov, vykazujúcich chaos, javí ako náhodné, aj keď model systému je deterministický v zmysle, že je dobre definovaný a neobsahuje žiadne náhodné parametre.

5. Teória chaosu

6. Teória chaosu • Nelineárny dynamický systém môže vykazovať jednu z nasledujúcich typov chovania: • vždy v pokoji • vždy expandujúci • periodický pohyb • kvázi- periodický pohyb • chaotický pohyb

7. Atraktory • Jedným zo spôsobom vizualizácie chaotického pohybu, alebo nepravidelného pohybu, je vytvorenie fázového diagramu pohybu. V takom diagrame je čas implicitný a každá os reprezentuje jednu dimenziu stavu • Často je na fázových diagramoch vidieť, že väčšina stavových trajektórií sa približuje a omotáva nejakou všeobecnou limitou. Systém končí v rovnakom pohybe pre všetky počiatočné stavy v oblasti okolo tohto pohybu

8. Podivné atraktory • Väčšina už zmienených pohybov však poskytuje veľmi jednoduché atraktory ako napríklad body alebo kruhové krivky zvané limitné cykly • Chaotický pohyb však vedie k tomu čo je známe ako podivný atraktor. Tieto sú však už oveľa zložitej a aj „krajšie“.

9. Podivné atraktory • Jednoduchý trojdimenzionálny model EdwardaLorenze vedie k známemu Lorenzovmuatraktoru. • Lorenzovatraktor je jedným z najznámejších diagramov chaotických systémov, pretože nielen že bol jeden z prvých popísaných, ale zároveň je jeden z najzložitejších. Vznikajú v ňom veľmi zaujímavé obrazce, ktoré vyzerajú ako motýlie krídla.

10. Podivné atraktory Lorenzovatraktor

11. Fraktály • Fraktál je akýkoľvek geometricky nepravidelný útvar, z ktorého po rozdelení vznikne v niekoľko sebepodobných kópií pôvodného celku. Jedná sa o útvary, ktoré sú sebepodobné a nezávislé na merítku. • Fraktál je množina, ktorej hodnota Hausdorffovy-Besicovichovej dimenzie presahuje hodnotu dimenzie topologickej (Mandelbrot)

12. Fraktály

13. Fraktály

14. Juliove množiny • Juliove množiny vznikajú veľmi jednoducho. Zvolíme jedno náhodné komplexní číslo c, ktoré bude charakterizovať množinu. A pre každý bod komplexnej roviny z zistíme, či neustálym umocňovaním z a pričítaním c konverguje výsledok k nule, alebo nie. Ak nule konverguje, bod patrí do Juliovej množiny.

15. Juliove množiny • V praxi vyzerá výpočet veľmi jednoducho: Skúmané číslo umocníme a pričítame k nemu konštantu c. Ak je výsledok väčší než 2, bod nepatrí do množiny. Ak je menšie, zopakujeme výpočet. Ak ani po niekoľkých iteráciách nepresiahne výsledok hodnotu 2, bod patrí do Juliovej množiny.

16. Mandelbrotové množiny • V praxi vyzerá výpočet veľmi jednoducho: Skúmané číslo umocníme a pričítame k nemu konštantu c. Ak je výsledok väčší než 2, bod nepatrí do množiny. Ak je menšie, zopakujeme výpočet. Ak ani po niekoľkých iteráciách nepresiahne výsledok hodnotu 2, bod patrí do Juliovej množiny.

17. Mandelbrotové množiny • Pre každý bod komplexnej roviny skúmame, či sa jeho neustálym umocňovaním vzďaľuje od nuly a blíži k nekonečnu. Na každý bod niekoľkokrát aplikujeme rovnici zn = zn-12 + c. • Výpočet je veľmi jednoduchý: Vezmeme komplexné číslo a pričítame k nemu jeho druhú mocninu. Výsledok zase umocníme a pričítame k nemu pôvodné číslo. Tento proces opakujeme, pokiaľ výsledok výpočtu nepresiahne hodnotu 2. Ak ju presiahne, výpočet končí a ak nie, bod do množiny patrí.

18. Mandelbrotové množiny

19. Mandelbrotové množiny • Pre každý bod komplexnej roviny skúmame, či sa jeho neustálym umocňovaním vzďaľuje od nuly a blíži k nekonečnu. Na každý bod niekoľkokrát aplikujeme rovnici zn = zn-12 + c. • Výpočet je veľmi jednoduchý: Vezmeme komplexné číslo a pričítame k nemu jeho druhú mocninu. Výsledok zase umocníme a pričítame k nemu pôvodné číslo. Tento proces opakujeme, pokiaľ výsledok výpočtu nepresiahne hodnotu 2. Ak ju presiahne, výpočet končí a ak nie, bod do množiny patrí.

20. Teória chaosu v praxi • Analýza a vytváranie modelov počasia • R/S analýza kapitálových trhov • Použitie fraktálov na vytváranie abstraktných farebných obrazcov • Použitie fraktálov na stratovú kompresiu obrázkov so zameraním na kompresiu obrazov s opakujúcimi sa časťami

21. Teória chaosu v praxi • Systémy vykazujúce znaky chaotického správania: • Trhy • Svetová burza • Počasie • Vývoj spoločnosti • Každodenný život • Chaos je vyvolaný „nesprávnym rozhodnutím subjektu. Problém je ale zistiť, ktoré rozhodnutie je správne v danom okamihu.

22. Teória chaosu v praxi • Seizmológia • Generovanie hudby • Spracovanie signálov a filtrovanie dát v zašumených médiách • Skúmanie silnoprúdových elektrických výbojov (Lichtenbergove obrazce v akrylátovom plaste)

23. ĎAKUJEMEZAPOZORNOSŤ