高等代数专题讲座
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线性方程组理论在几何中的应用 主 讲 张金战 - PowerPoint PPT Presentation


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高等代数专题讲座. 线性方程组理论在几何中的应用 主 讲 张金战. 线性方程组理论与几何有密切关 系,下面举例说明如何利用线性方程组 理论解决一些几何问题。 例 1 求 n 个平面 a i x+b i y+c i z+d i =0 (i=1,2,…,n) ( 1 ) 通过一直线但不合并为一平面的充要条 件。. 解: n 个平面 a i x+b i y+c i z+d i =0 (i=1,2,…,n) 通过一直线但不合并为一平面 线性方程组( 1 )有解,并且解集是 1 维线性流形;

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高等代数专题讲座

线性方程组理论在几何中的应用主 讲 张金战


线性方程组理论与几何有密切关

系,下面举例说明如何利用线性方程组

理论解决一些几何问题。

例1 求n个平面

aix+biy+ciz+di=0 (i=1,2,…,n) (1)

通过一直线但不合并为一平面的充要条

件。


解:n个平面

aix+biy+ciz+di=0 (i=1,2,…,n)

通过一直线但不合并为一平面

线性方程组(1)有解,并且解集是1维线性流形;

线性方程组(1)有解,且它的导出组的解空间是1

维的;

线性方程组(1)有解,且导出组的系数矩阵A的

秩是2;

线性方程组(1)的系数矩阵与增广矩阵的秩都是

2;


线性方程组(1)的系数矩阵与下

述矩阵B的秩都是2.


2 求平面上通过五点(x1,y1),

(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5)的二

次曲线的方程。

解 设通过上述五点的二次曲线C的方程

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=o (2)

于是有

axi2+bxiyi+cyi2+dxi+eyi+f=0 , i=1,2,3,4,5.

(3)


M的坐标(x,y)在二次曲线C上

点M的坐标(x,y)适合C的方程,即有

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=o (4)

以a,b,c,d,e,f为未知量的方程组

(5)

有非零解并且非零解的前三个分量不全为零。


方程组(5)的系数矩阵的行列式A等于

零,即

(6)

并且A的(1,j)元的余子式A1j(j=1,2,3)中至少有一个为零(注意:当(6)式成立时,(A11,A12,…,A16)是方程组的一个解。)

因此,(6)式就是所求的二次曲线方程。


3 设M1(x1,y1),M2

(x2,y2),…,Mn(xn,yn)

为平面上n个点,试求出M1,

M2,…,Mn在同一直线上的充

要条件。


解 设M1,M2,…,Mn在同一直线

ax+by+c=0上(a,b,c不能同时为零),此

时M1,M2,…,Mn的坐标适合方程

ax+by+c=0,

故有

(7)


从而未知量为X,Y,Z的齐次线性方程组

(8)

有非零解X=a,Y=b,Z=c.


此时有

反之,若


则齐次线性方程组(8)有非零解。取其

中一组,比如说X=a,Y=b,Z=c,则方程组

(7)成立,从而M1 ,M2,…,Mn同在直线

ax+by+c=0上。

综上所述,M1,M2,…,Mn在同一直线

上的充要条件是


注 记 容易看出

M1,M2,…,Mn重合。


所以本题演变为

设M1(x1,y1),M2(x2,y2),…,Mn

(xn,yn)(n>2)为平面上n个相异的点,

则M1,M2,…,Mn在同一直线上的充要条

件是


线性方程组在几何上的应用还有很

多,这里举的例子只是其中的一小部分,同

学们可在学习过程中多看,多思考,体会和

掌握高等代数知识在相关实际问题中的

应用.



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