Jornadas de Aplicações da Matemática, ISEL, Out. 98

1. Jornadas de Aplicações da Matemática, ISEL, Out. 98 Analogia entre Sinais e Vectores Isabel Milho e Fernando Sousa CCISEL, ISEL DEEC, ISEL

2. Introdução • Espaços Vectoriais (operações e relações) • Espaços de Sinais (def. produto interno) • Aplicações • Série de Fourier / Transformada de Fourier • DCT em compressão de imagem • Descritores de Fourier em imagem (contornos) • Desenho de sistemas de comunicação digital • ... Analogia entre Sinais e Vectores

3. Espaços Vectoriais • Operações e relações • produto interno, • norma, • ortogonalidade, • teorema de Pitágoras, • desigualdade de Schwarz’s, • base ortonormada, • procedimento de Gram-Schmidt Analogia entre Sinais e Vectores

4. Espaços de Sinais • Produto Interno • medida de semelhança entre 2 sinais • Norma (Energia ou Potência): ou Sinais de Energia Sinais de Potência Analogia entre Sinais e Vectores

5. Série de Fourier • Base ortonormada de sinais • sinais de potência periódicos em T0 Coeficientes da Série de Fourier Analogia entre Sinais e Vectores

6. Transformada de Fourier • Sinais de energia Transformada de Fourier Analogia entre Sinais e Vectores

7. Transformadas DiscretasDFT e DCT • Transformadas discretas de sinais 1D e 2D • Representação do sinal original - base de funções/imagens • Filtragem, compressão de dados, extracção de características e outras aplicações • DFT e DCT (Discrete Fourier/Cosine Transform) • Implementação em O(Nlog2N) operações com o algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) Analogia entre Sinais e Vectores

8. DFT-Discrete Fourier Transform DFT com IDFT Analogia entre Sinais e Vectores

9. DCT-Discrete Cosine Transform DCT com IDCT Analogia entre Sinais e Vectores

10. Linha de uma imagem digital com 256 níveis de cinzento Linha da imagem digital DFT DCT Analogia entre Sinais e Vectores

11. Compressão de imagem usando a DCT Analogia entre Sinais e Vectores

12. Compressão de imagem usando a DCT (cont.) Imagem Original Taxa de compressão = 75% Taxa de compressão = 93,75% Analogia entre Sinais e Vectores

13. Representação de contornos com Descritores de Fourier • Representação do contorno definido pelos pontos (x,y) tal que: Descritores de Fourier - FD (Fourier Descriptors) Analogia entre Sinais e Vectores

14. Representação de contornos com Descritores de Fourier (cont.) Contornooriginal FD’s (Parte Real) FD’s (Parte Imaginária) Reconstrução com os FD’s quantizados em 25 níveis Reconstrução com apenas 9 FD's Analogia entre Sinais e Vectores

15. M={m1, m2, m3, m4} base ortonormada Desenho de Sistemas de Comunicação Digital Analogia entre Sinais e Vectores

16. Detector óptimo Banco de Correladores Analogia entre Sinais e Vectores

17. Produto interno Descodificador óptimo erros=[2 1 3 2] media(erros)=2 percentagem=2% Regra de decisão óptima: Analogia entre Sinais e Vectores

18. Outras aplicações • Desenho do filtro óptimo para detecção de pulsos na presença de ruído • Interpretação dos valores de um sinal amostrado, como coordenadas da projecção do sinal sobre uma base ortonormada de funções sinc • Funções de correlação - sua interpretação como funções de produtos internos (deslizantes). • … Analogia entre Sinais e Vectores

19. Conclusões • Ferramenta “Analogia entre Sinais e Vectores” • simples (operações e relações vectoriais) • facilita a compreensão de algumas operações em processamento de sinais • reduz a complexidade do problema • Aplicações: filtragem, compressão de dados, extracção de características, desenho de sistemas comunicação digital e outras. Analogia entre Sinais e Vectores