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函数图象的变换及应用

函数图象的变换及应用. 麻城一中 张晓光. 制作人 授课人. 你想画好函数的图象吗？ 你想利用图象的直观性来解决问题吗？. 那么你首先应该认识与掌握. 函数图象的三大变换. 伸缩. 平移. 对称. 问题 1 ：如何由 f(x)=x 2 的图象得到下列各函数的图象？. y. y=f ( x ) +1. （ 1 ） f(x-1)=(x-1) 2. y=f(x-1). y=f(x+1). （ 2 ） f(x+1)=(x+1) 2. （ 3 ） f(x)+1=x 2 +1. 1. （ 4 ） f(x) - 1=x 2 -1. -1. 1.

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  1. 函数图象的变换及应用 麻城一中 张晓光 制作人 授课人

  2. 你想画好函数的图象吗？ 你想利用图象的直观性来解决问题吗？ 那么你首先应该认识与掌握 函数图象的三大变换 伸缩 平移 对称

  3. 问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函数的图象？问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函数的图象？ y y=f(x)+1 （1）f(x-1)=(x-1)2 y=f(x-1) y=f(x+1) （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 1 （4）f(x) -1=x2-1 -1 1 O x y=f(x)-1 -1 函数图象的平移变换： a>0,向左平移a个单位 左右平移 y=f(x) y=f(x+a) a<0,向右平移|a|个单位 k>0,向上平移k个单位 y=f(x) y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位

  4. 问题2：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图.问题2：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图. (1)y=2-x (4)y=log2x (3)y=-2-x (2)y=-2x y y y y 1 1 1 1 1 x O O x x x O O -1 -1 （x,y)和(-x,y)关于y轴对称！ （x,y)和(y,x)关于直线y=x对称！ y 轴 对称变换 （1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称； （x,y)和(-x,-y)关于原点对称！ （x,y)和(x,-y)关于x轴对称！ x 轴 （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称； 原 点 （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称； 直线y=x （4）y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于 对称.

  5. 问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系？ （1）y=2x与y=2|x| （2）y=log2x与y=|log2x| y y y=2|x| y=2x y=log2x y=|log2x| 1 x O 1 x O (6)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象： (5)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象： 保留y=f(x)中x轴上方部分，再加上这部分关于x轴对称的图形. 保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上这部分关于y轴对称的图形.

  6. 函数图象的平移变换规律： a>0,向左平移a个单位 y=f(x+a) （1）y=f(x) 左右平移 a<0,向右平移|a|个单位 k>0,向上平移k个单位 （2）y=f(x) y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位 函数图象的对称变换规律： （1）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称； x轴 y轴 （2）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称； 原点 （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称； 直线y=x （4）y=f(x)与y=f -1 (x)的图象关于对称. (5)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中部分，再加上这部分关于对称的图形. y轴 y轴右侧 (6)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：保留y=f(x)中部分，再加上这部分关于对称的图形. x轴上方 x轴

  7. 例1.将函数y=lgx的图象向左平移1个单位，再作关于原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式.例1.将函数y=lgx的图象向左平移1个单位，再作关于原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式. 向左平移1个单位 y=lgx Y=lg(x+1) x 换成 x+1 关于原点对称 x换成-x y换成-y Y=-lg(-x+1) -Y=lg(-x+1)

  8. y x换成x-1 向右平移1个单位 O x 1 -1 （1，-1） 向下平移1个单位

  9. 例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。 y y=2x y=|2x-2| y=2x-2 1 O 1 2 3 x y=|2x-2| -1

  10. y=a(a>4)有二个交点 y 解：在同一坐标系中，作出y=|x2+2x-3|和y=a的图象。由图可知： 4 y=a(a=4) 有三个交点 y=a(0<a<4) 有四个交点 -1 1 O x 方程无解; 当a<0时, y=a(a<0) 没有交点 y=a(a=0) 有两个交点 方程有两个解; 当a=0时, 方程有四个解; 当0<a<4时, -4 方程有三个解; 当a>4或a=0时,方程有两个解. 当a=4时， 当a>4时, 方程有两个解.

  11. y y y y -1 O -1 1 O x x 1 x O x O -1 （B） （B） （A） （C） （D） 2.（1998全国高考）函数 y=a|x|(a>1)的图象是 y y y y x x x O x O O O （D） （C） （A） （B） （B）

  12. 3.（1997全国,理）将 y=2x的图象 (A)先向上平行移动1个单位 由题可知，经平移后的图象是函数y=log2(x+1)的反函数 的图象。 而y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1. (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向左平行移动1个单位 (D) (D)先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+1)图象 4.y=lg(2x+6)的图象可看成是由y=lg(2x)的图象向平行移动个单位而得到. 左 3 y=lg(2x) →y=lg(2x+6) 2x→2x+6=2(x+3) x→x+3

  13. 5.方程|lgx|+x-3=0的实数解的个数是（ ） C (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 y y=-x+3 3 解.在同一坐标系中作出函数y=|lgx|和y=-x+3的图象 y=|lgx| .如图,它们有两个交点,所以这个方程有两个实数解. x 3 O 1 6.已知f(x+1)=x2+x+1,则f(x)的最小值是. 分析1 求出f(X)=x2-x+1 分析2 将f(x+1)的图象向 右平移1个单位得f(x)的图象 所以f(X)与f(x+1)=x2+x+1有相同的最小值.

  14. 7.f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，且当x∈(-1,1)时，f(x)=-x2+1,则当x∈(-3,-1)时，f(x)= . -(x+2)2+1 y 1 x -3 -2 -1 O 1 2 3

  15. 小 结 1.已学的画函数图象的基本方法： （1）描点法： （2）图象变换法：平移变换、对称变换 2.画函数图象时可先确定函数的定义域、讨论函数的性质（如单调性、奇偶性、特殊点等),再用描点法或图象变换法得出图象。 3.用图象变换法画函数图象的简图时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其通过怎样的变换(平移、对称等)而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。 4.利用函数的图象判定单调性、求方程根的个数、解不等式、求最值等，体现了数形结合的数学思想。

  16. 同学们再见！ 谢谢指导

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