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第一章 多项式

第一章 多项式. 数域. 一元多项式. 整除的概念. 最大公因式. 重因式. 多项式函数. 复系数与实系数多项式. 有理系数多项式. §1 数 域. 一 . 数域的定义. 定义 设 P 是一个由一些复数组成的集合，其中 包括 0 和 1 . 如果 P 中任意两个数（这两个数也 可以相同）的和、差、积、商（除数不为零） 仍是 P 中的数，那么称 P 为一个 数域. 注 1 P 中任意两个数的和、差、积、商仍是 P 中的数，即 称 P 对和、差、积、商 封闭. §1 数 域.

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第一章 多项式

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  1. 第一章 多项式 数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式 有理系数多项式

  2. §1 数 域 一. 数域的定义 定义 设P是一个由一些复数组成的集合，其中 包括0和1 .如果P中任意两个数（这两个数也 可以相同）的和、差、积、商（除数不为零） 仍是P中的数，那么称P为一个数域. 注1P中任意两个数的和、差、积、商仍是P中的数，即 称P对和、差、积、商封闭.

  3. §1 数 域 例1判断集合：有理数集、实数集、复数集、整数集、 自然数集是否构成数域， 解 有理数集是数域， 称为有理数域,记为Q 实数集是数域， 称为实数域,记为R 复数集是数域， 称为复数域,记为C 整数集不是数域， 用Z表示 自然数集不是数域， 用N表示 注2若数集P只对和、差、积封闭，则称P为数环. 如整数集Z构成一个数环.

  4. §1 数 域 组成一个数域。其中 为任意非负整数， 例3所有可以表成形式 的数 是整数。 例2证明集合 构成一个数域. 二. 数域的性质 任何数域P 都包含有理数域Q. 即有理数域是最小的数域.

  5. §1 数 域 三. 作业 1. 判断下列数集是否为数域. 2.证明：设P是至少含有两个数的数集，若P中任意 两个数的差和商(除数不为0)属于P，则P构成数域.

  6. §2 一元多项式 其中 为数域P中的数， 注1称 为f(x)的i次项, 为i次项系数. 一. 一元多项式的定义 定义1设n是一个非负整数，形式表达式 称 f(x)为系数在数域P中的一元多项式， 或简称为数域P上的一元多项式. 特别， 称为f(x)的常数项.

  7. §2 一元多项式 注3当 时，f(x)= 称为零次多项式. 注2若 称为f(x)的首项, 为首项系数, n称为f(x)的次数,记为 注4当f(x)的所有系数全为0时，f(x)=0 称为零多项式, 零多项式不定义次数！ 注5首项系数为1的多项式，称为首1多项式

  8. §2 一元多项式 是数域P上的多项式且 1.多项式相等 二. 一元多项式的运算 设 f (x)与g (x)中，除去系数为零的 项外，同次项的系数完全相等

  9. §2 一元多项式 这里当m<n时， 取. 注1 当 时， 2.多项式加法 3.多项式减法

  10. §2 一元多项式 注2 当 时， 4.多项式乘法 其中s次项的系数为 所以

  11. §2 一元多项式 若 且 三. 一元多项式的运算律 1.加法交换律 2.加法结合律 3.乘法交换律 4.乘法结合律 5.乘法对加法的分配律 6.乘法消去律 则

  12. §2 一元多项式 对多项式的加、减、乘法封闭，称为数域P 2.求k,l,m使 四.一元多项式环 定义2 上的多项式环. 五.作业 1. 验证多项式乘法满足结合律.

  13. §3 整除的概念 对任意两个整数 ，一定存在两个整 数 q,r满足 一. 带余除法 1. 整数的除法 而且满足这个条件的整数 q,r是唯一的. q称为b除a的商，r称为b除a的余数.

  14. §3 整除的概念 所得的余式和商式. 除 求 且 设 这里 或 满足条件的 唯一确定。 例1设 2. 一元多项式的带余除法 则存在 使得 q(x)称为g(x)除f(x)的商，r(x)称为g(x)除f(x)的余式.

  15. §3 整除的概念 二. 整除 (一). 整数的整除 对整数a,b, 若存在整数c ,使得a=bc,则称b整除a， 记作 b|a , 称b为a的因子. 否则称b不整除a. 性质： 1. 若,则 2. 若,则 3. 若,则对任意整数k,l， 都有

  16. §3 整除的概念 设 若存在 使 则称 整除 记作 否则称 不整除 记作 。 当 称g(x)为f(x)的因式， (二). 一元多项式的整除 1.定义 称f (x)为g (x)的倍式。

  17. §3 整除的概念 则 且 若 g(x)除f(x)的余式r(x)=0. 注 (1) (2) (整除的反身性) (3) (4) 2.定理1 例2求k,l 使

  18. §3 整除的概念 3.性质 (1) 若 则 为某个常数. (2) 若 则 (整除的传递性) (3) 若 则 有 注 称 为 的一个组合.

  19. §3 整除的概念 则 看成 中的多项式时仍有 例3证明：(1)若 且 则 则 (2)若 但 与它的任意非零常数倍 注1. 有相同的因式也有相同的倍式. 2. 多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变. 即若数域 时

  20. §4 最大公因式 则称 是 的最大公因式. 一.两个多项式的最大公因式 定义1 设 若 的一个公因式. 则 是 设 若 满足 定义2 的一个公因式, 是 (1) 的任一个公因式 均有 (2)

  21. §4 最大公因式 注1. 最大公因式在相差一个非零常数倍的意义下 是唯一的 . 的最大公因式, 若 都是 则 且 因此 约定 表示 的首1的最大公因式. 2. 两个零多项式的最大公因式就是0 . 3. 其中 为f(x)的首项系数.

  22. §4 最大公因式 问题 如何求得两个多项式的最大公因式? 即最大公因式的存在性问题. 引理 则 与 若 与 有相同的公因式. 注1 与 有相同的最大公因式. 与 注2 由带余除法 或 求 与 的最大公因式等价于求 与 的最大公因式.

  23. §4 最大公因式 定理2 设 是 的最大公因式，则一定存在 使得 即 可以表示成 的一个组合. 例1已知 易得 则

  24. §4 最大公因式 辗转相除法 对 进行如下的辗转相除:

  25. §4 最大公因式 由引理， 其中 为 的首项系数.

  26. §4 最大公因式 由辗转相除，由倒数第二式 从倒数第三式往上逐步代入，消去 最后整理后得 是 的一个组合. 最大公因式 与 只相差一个常数， 故 也是 的一个组合, 即存在

  27. §4 最大公因式 注1 辗转相除的过程既证明了 的存在性， 又给出了求 的具体步骤. 例2已知 求 使得 ,并求 解 因为

  28. §4 最大公因式 因此

  29. §4 最大公因式 又因为 只需取 即得

  30. §4 最大公因式 若 满足 则 是 的最大公因式. (1)存在 使得 注2 定理2的逆命题不成立. 命题 设

  31. §4 最大公因式 三. 互素 1.定义3 设 若 则称 是互素(互质)的. 显然, 互素只有零次公因式. 2.互素的充要条件 互素 存在 定理3 使得

  32. §4 最大公因式 3.互素的一些结论 (1) 定理4 若 且 则 (2) 推论 若 且 则 (3) 若 则

  33. §4 最大公因式 (4) 设 则一定存在 使得 且 反之,若 且 则 是 的最大公因式.

  34. §4 最大公因式 四.最大公因式与 互素的概念的推广 设 且 定义1 若 称 为 的公因式. 定义2 若 且满足 (2) 若 且 有 称 为 的最大公因式.

  35. §4 最大公因式 记 表示首项系数为1的最大公因式 性质1 使得 性质2 存在多项式 定义3 若 称 互素.

  36. §4 最大公因式 两两互素 互素. 互素 两两互素. 性质4 互素 使得 存在 定义4 若 称 两两互素. 性质5

  37. §5 多项式的分解 一. 不可约多项式 1. 定义 设 且 若 不可以表示成 中两个次数比它低的多项式 的乘积，则称 为域P上的不可约多项式. 否则，称 为域P上的可约多项式. 例1 不可约 不可约 可约

  38. §5 多项式的分解 注 1.一个多项式是否可约依赖于系数域P. 2.一次多项式 总是不可约的. 3.不可约多项式 的因式只有 非零常数 c和非零倍 4.若 可约,则存在 使得： 且

  39. §5 多项式的分解 2. 性质 (1)不可约多项式 与任意多项式 只有两种关系： 要么 要么 (2)设 且 不可约. 或 若 则 (3)若 不可约且 则一定存在某个 使得

  40. §5 多项式的分解 二. 因式分解 1. 因式分解及唯一性定理 数域P上每个次数大于0的多项式都可以唯一地分解成P上一些不可约多项式的乘积. 其中唯一性指若 不可约， 不可约， 则 且适当排列次序后

  41. §5 多项式的分解 的分解中，可以把每个不可约因式的 在 2. 标准分解式 首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式， 再把相同的因式合并，于是 的分解式就变成： 其中c为f(x)的首项, 为正整数. 为互不相同的首1的不可约多项式. 注 1.一个多项式是否可约依赖于系数域P.

  42. §5 多项式的分解 也可以是自然数. 注 2.在抽象的证明过程中 注 3.标准分解为求最大公因式提供方法. 设 则 其中

  43. §5 多项式的分解 求 在 上的标准分解式. 例1 设 证明对任意正整数n，有 例2 在 上的标准分解式. 求 例3

  44. §6 重因式 当 时, 为 f(x) 的 重因式. 一. 定义 设 且 不可约 若 但 称 为 f(x)的k重因式, k为非负整数. 注 1.若k=0, p(x)不是 f(x)的因式. 2.若k=1, p(x)为 f(x)的单因式,k>1时为重因式. 3.若f(x)的标准分解式为

  45. §6 重因式 4.不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式 且 二. 导数与微商 1.定义 设 称 为f(x)的一阶微商或一阶导数 为常数 注 1. 2.当

  46. §6 重因式 2.运算---------导数的基本公式 称为f (x)的二阶导数 3.高阶导数 称为f (x)的三阶导数 称为f (x)的 k 阶导数

  47. §6 重因式 注 设 则

  48. §6 重因式 三. 重因式的判别 定理 设不可约多项式 是 的k重因式(k>1), 则 是 的k-1重因式. 注 此定理的逆命题不成立. 如取 推论1 设不可约多项式 是 的k重因式(k>1), 则 是 的因式, 但不是 的因式.

  49. §6 重因式 推论2 不可约多项式 是 的重因式的 充要条件为 是 和 的公因式. 推论3 多项式 没有重因式 注 由推论3,判别一个多项式有没有重因式,可以对 和 作辗转相除法得到. 例1a,b满足什么条件时 有重因式.

  50. §6 重因式 四. 去掉因式重数的方法 设f(x)的标准分解式为 为 f(x) 的 重因式, 也为 的 重因式, 故 进一步 故

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