Modelli di serie storiche approccio classico
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MODELLI DI SERIE STORICHE Approccio Classico PowerPoint PPT Presentation


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MODELLI DI SERIE STORICHE Approccio Classico. Modelli di composizione: - componenti trend ciclo stagionalità comp.accidentale - tipi di composizione : 1) additività 2) moltiplicatività 3) misto

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MODELLI DI SERIE STORICHE Approccio Classico

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MODELLI DI SERIE STORICHEApproccio Classico

Modelli di composizione:

- componenti trend ciclo stagionalità

comp.accidentale

- tipi di composizione :

1) additività

2) moltiplicatività

3) misto

1) ipotesi di indipendenza tra le componenti

modello additivo

2) non indipendenza tra le componenti

modello moltiplicativo


Il caso 2) si riduce al caso 1) considerando i log , cioè :

modello:

pregidifetti

-semplicità -pluralità di soluzioni

-serie anche corte -assunzione modellistica

prima approssimaz. troppo rigida

-visione settorizzata


Modelli stocastici o di Box-Jenkins(approccio moderno post 1925)

Modello autoregressivo (AR)

Modello a media mobile (MA)

Modello misto (ARMA)

1.

residuo o disturbo

coefficienti

AR(p) - modello autoregressivo di ordine p

Media mobile :

è una media aritmetica che si sposta, ad ogni iterazione, dall’inizio alla fine della successione di dati.


Esempio: MA a tre termini

In generale termini

dispari . MA centrata.

Può essere: - semplice - ponderata


Modelli a MA:

costanti

Modello MA(q) di ordine q

Modelli misti

Modello ARMA (pq)

I modelli Box-Jenkins essendo di tipo stocastico stocastico generano un processo stocastico

Analizzare una serie empirica con i modelli Box-Jenkins significa scegliere, tra i molti modelli possibili, quello più adatto e stimarne i parametri

2 fasi di analisi:

_ identificazione

_ stima


Operatori, funzioni generatrici, equazioni alle differenze finite

Operatore all’indietro (backward) B

Data una sequenza

l’operatore B serve a trasformare un termine di tale sequenza in uno che lo precede di uno o più posti. Quindi :

oppure

Operatore in avanti (forward) F

Stessa definizione, salvo che F trasforma in avanti, cioè

oppure

Ovviamente :


Operatore alle differenze finite .

oppure

Ma:

cioè :

Poi:


PROCESSO AUTOREGRESSIVO DI ORDINE p AR(p)

(*)

Somma ponderata di valori passati cui si aggiunge un disturbo calcolato sul valore attuale . Riscrivendo la (*) si ha:

che diviene, con l’operatore B:

Ponendo la quantità in parentesi uguale a , nota anche come operatore AR(p) , si ha:


Nella (*) può essere aggiunta una costante

che misura il livello del processo che, se il processo è stazionario, è uguale alla sua media, quindi in generale AR(p) ha forma:

Le condizioni di stazionarietà del processo si ottengono dalle radici della sua equazione caratteristica, cioè ponendo , quindi

Si dimostra (Box & Jenkins) che la stazionarietà di AR(p) si ottiene quando le radici della equazione caratteristica sono in modulo > 1, o in altre parole sono esterne al cerchio di raggio

unitario


Media.

Se , nel caso del modello completo:

Siccome

Quindi

Ovviamente nel modello ridotto in cui


Autocovarianza

Ma per k > 0 , quindi:

k = 1,2,..p

Varianza:

analogamente si dimostra che

Le di AR(p) sono in numero infinito; per i valori di j > p si può ricorrere alla forma:

Che è nota come equazione di Yule-Walker


Tale relazione consente di :

1. conosciuto un certo AR(p), cioè una volta

noti i , si possono calcolare le autocov.

teoriche corrispondenti;

2. se non si conoscono i si possono

stimare sostituendo ai valori teorici delle

autocov. i corrispondenti valori

campionari ci ottenuti dalla serie storica

osservata.

Autocorrelazione

Dividendo si ha:

k = 1,2,3,…

In cui partendo da si ottengono in forma ricorsiva tutti i coefficienti di autocorrelazione teorica.


Ovviamente vale quanto detto in 1. e 2.

Correlogramma

Dalla si vede come il corr. di AR(p) è costituito da infiniti termini.

Si dimostra che tali termini, a seconda dei valori dei parametri, tendono a zero monotonicamente oppure con oscillazioni.

Casi particolari.

AR(1)

Il valore della serie al tempo t è pari ad una frazione del valore precedente aumentato (algebricamente) dell’errore .


Es: supponiamo .

Allora graficamente:

innovazione

Stazionarietà

Dal caso generale, siccome le radici dell’equazione caratteristica, cioè

sono esterne al cerchio unitario, allora : AR(1) è stazionario se e solo se


Media

Se allora

Varianza

Dalle relazioni di e di AR(p) si ricava

da cui risulta che, siccome allora

, cioè , come rilevato per la condizione di stazionarietà.

Autocovarianza

Si dimostra (Nelson, Piccolo) che


che utilizzando la relazione per diviene:

Autocorrelazione

Correlogramma

A seconda del segno di si ha:

Autocorrelazione parziale

Si dimostra (Kendall) che


Non stazionarietà

La stazionarietà si ha per

Se allora Random

Walk (non stazion. omogenea (*))

Se allora il processo assume un andamento esplosivo tipo reazione nucleare.

(*) considerando successivi intervalli temporali questi hanno dei componenti sostanzialmente uguali.


Random walk

stazionarietà

non omogenea

Stazionario

Esplosivo


Simula-

zione

AR(1)


molto vicini

non vicini

oscilla


Processo autoregressivo di 2° ordine

parametri

Stazionarietà

Le radici dell’equazione caratteristica devono essere esterne al cerchio unitario.

Equazione caratteristica

Si dimostra che per soddisfare tale condizione si devono verificare, come vedremo poco sotto (correlogramma) le seguenti disuguaglianze


Le disuguaglianze individuano nel piano

la seguente regione triangolare:

1

0

-1

-2 0 2

Media

Modello completo (con costante )

Si può facilmente dimostrare che

, cioè gli scarti dalla media, siccome:

Sono anch’essi AR(2), senza costante


Varianza

Piccolo (1970) ha dimostrato che

varianza

autocov.

lag 1,2

e che…… k > 2 , è ottenibile dalla usuale relazione di Yule-Walker

autocov. gen.

Quindi:

autocorr.


Correlogramma

Essendo l’eq. cartesiana di 2° grado, infatti:

Il correlogramma può assumere forme più numerose di AR(1), perché le radici possono essere:

reali e disuguali

reali e coincidenti

complesse e coniugate.

La forma del correlogramma dipende dai valori assunti dalle soluzioni dell’equazione Caratteristica. Box & Jenkins hanno dimostrato che in caso di radici reali si ha:

andamenti

smorzati


In caso di radici complesse:

andamenti

sinusoidali

smorzati

Autocorrelazione parziale

Box & Jenkins dimostrano che:

Questi due soli valori hanno andamenti diversi a seconda che le radici siano reali o complesse


Simulazione di un AR(2)

partenza

Condizioni di stazionarietà:

è quindi stazionario.

Utilizzando scarti normali standardizzati si ottengono i valori tabulati con il relativo andamento grafico.

Poi, utilizzando le relazioni viste per

Si calcoli la funzione di autocorrelazione e dai valori simulati la

campionaria.


Correlogrammi

Autocorrelazione parziale


PROCESSO A MEDIA MOBILE MA(q)

Il processo MA(q) è solamente costituito da un numero finito di q termini, cioè:

Introducendo l’operatore B si ha:

che diviene:

Dove

Denota il cosiddetto operatore MA(q).


Stazionarietà

Siccome l’operatore MA(q) è una serie finita, non esistono particolari restrizioni per assicurare la stazionarietà

Invertibilità (vedi dopo per maggior dettaglio)

Un MA(q) è invertibile quando le radici dell’equazione caratteristica

sono esterne al cerchio unitario.

Media

Se le hanno media nulla, è nulla pure la media del processo, quindi:


Autocovarianza, varianza e autocorrelazione

Tenendo conto delle relazioni già viste per il processo lineare si ha:

con k = 1,2,…,q.

Da cui la varianza:

e quindi la autocorrelazione:

Se i valori sono noti, oppure stimati, si possono ricavare i parametri .

Ovviamente essendo non lineare la relazione funzionale, occorre utilizzare metodi iterativi.


Si noti che siccome sono indipendenti da t , MA(q), come prima visto, è sempre stazionario.

Invertibilità di AR(p) e invertibilità di MA(q)

Condizione di invertibilità

Tale condizione è molto importante soprattutto a proposito dei modelli MA(q), dal momento che questi ultimi, a differenza degli AR(p), sono caratterizzati dal problema della molteplicità dei modelli.

Invertibilità per AR(p)

Invertendo si ha:


Sviluppando in serie il rapporto evidenziato in rosso si ha:

per cui:

che altro non è (come vedremo fra poco) se non un .

Quindi: un AR(p) è sempre trasformabile in un .

Invertibilità di MA(q)

Sviluppando in serie

Quindi:

che è un


Il processo MA(q) si dice allora invertibile se i pesi formano una serie convergente e questo si ottiene se e solo se le radici di

sono esterne al cerchio unitario.

La condizione di invertibilità, pertanto, ha per i processi MA(q) la stessa importanza che ha la condizione di stazionarietà per i processi AR(p).

Processo MA(1)

Stazionarietà sempre

Media: se anche:

Varianza

Autocovarianza


Autocorrelazione

Correlogramma

1

k k

-1 -1

Una sola ordinata positiva o negativa, a

seconda del segno di .


Invertibilità

Si considerino due MA(1), uno con parametro e un altro con , cioè:

Calcoliamo . Si ha:

Quindi i due processi, pur diversi, hanno la stessa , quindi esiste un problema di molteplicità di modelli.

Per risolverlo si consideri:


Ricorrendo all’operatore B si ha:

Se la prima serie converge, mentre la seconda no.

Allora se si dice che la prima serie è invertibile, mentre la seconda non lo è.

Quindi la condizione assicura l’esistenza di un unico modello MA(1).

Tale condizione equivale a dire che le radici della equazione caratteristica:

siano esterne al cerchio unitario.


Autocorrelazione parziale

Box & Jenkins dimostrano che

Da cui si vede come i coefficienti di autocorrelazione parziale hanno un andamento smorzato, anche con oscillazioni di segno.

Processo MA(2)

Stazionarietà sempre stazionario

Invertibilità

Il processo è invertibile se le radici dell’equazione caratteristica

sono in valore assoluto maggiori di uno.


Si dimostra che tale condizione si verifica se:

che individuano il seguente triangolo isoscele

0

-2 -1 2

Media

Se anche


Varianza, autocovarianza, autocorrelazione

Radici reali

correlo-

gramma

Radici complesse


Autocorrelazione parziale espressione formale in Anderson

Radici reali:

Radici complesse:


Principio di dualità tra AR(p) e MA(q)

1)

2) Un AR(p) può essere sempre espresso come una media mobile di infiniti termini, cioè

Un MA(q) può essere espresso, se invertibile, come un processo autoregressivo infinito, cioè

.

3) I coefficienti di autocorrelazione totale di un MA(r ) si comportano analogamente ai coeff. di autocorrelazione parziale di un AR(r ).


I coefficienti di un MA(r) si comportano in modo analogo ai coefficienti di un AR(r)

Esempi:

AR(1)MA(1)

AR(2) MA(2)


Processo ARMA(pq)

(*)

residuo o “innovazione”

, indipend.

Se non segue tali ipotesi, ma invece si comporta come una media mobile di ordine q e quindi risulta:

Sostituendo in (*) si ha:

( )

che è un processo misto autoregressivo di ordine p, con media mobile di ordine q, cioè un ARMA(pq).


Usando l’operatore B si ottiene:

dove

Stazionarietà

Per la condizione di stazionarietà della componente AR(p), le radici dell’equazione

devono essere esterne al cerchio unitario.

Invertibilità

Analogamente, per MA(q) le radici di

devono anch’esse essere esterne al cerchio unitario.


Media

Se ARMA(pq) è completo, cioè è presente anche una costante :

da cui:

Per cui se

Autocovarianza

Si indichi con la covarianza tra e

, quindi:


Moltiplicando ( ) per e considerando la media, si ha:

( )

Siccome dipende dai valori generati fino a j = t-k , segue che:

Quindi se k>q le e allora la relazione ( ) si riduce a:


Varianza per k=0

Autocorrelazione

Autocorrelazione parziale

Se ARMA(pq) è invertibile,

Siccome la serie è infinita, anche l’autocorrelazione parziale è infinita, con un andamento simile all’autocorrelazione parziale di un MA(q).


Modelli Box & Jenkins per serie non stazionarie in media (modelli ARIMA)

Quando le condizioni di stazionarietà richieste per i modelli BJ non sono presenti si possono avere due forme di non stazionarietà:

quella esplosiva

quella omogenea

Si ha la prima quando almeno una radice dell’equazione caratteristica è in modulo < 1.

Si ha la seconda quando almeno una delle radici dell’equazione caratteristica è unitaria (cioè sul cerchio di raggio unitario).

I fenomeni socio-economici ben difficilmente presentano non stazionarietà esplosiva, limitandosi a forme omogenee, così dette perché a parte variazioni nel livello e/o nell’andamento di fondo (trend), la serie è di tipo stazionario.


In altri termini la serie non è temporaneamente costante nel suo livello medio, ma comunque tende a disporsi stabilmente intorno a tale livello medio.

Trasformazioni stazionarizzanti.

Una serie storica in cui è presente una non stazionarietà omogenea è facilmente trasformabile in una di tipo stazionario prendendo un adeguato numero di differenze successive.

Esempio:

non stazion.

omogenea

stazion.


Un possibile modo di rappresentare una serie storica non stazion. omogenea è introdurre in un modello ARMA(pq) un operatore alle differenze finite di ordine opportuno.

Integrando le componenti AR(p) e MA(q) con la componente I(d) si ha il modello ARIMA(p,d,q).

Per definire formalmente tale modello si deve prima definire l’operatore autoregressivo generalizzato

che è un polinomiale di grado p+d con d radici uguali ad 1 e le altre p radici maggiori di 1.

Pertanto:


Questo perché d radici sono unitarie.

I fattori della parte destra dell’equazione meno l’ultimo sono niente altro che l’operatore di un AR(p) stazionario.

Quindi:

Cioè:

*

che scritto per esteso diviene:


Pertanto se

La * diviene:

che altro non è se non un ARMA sulle differenze di ordine d dei valori .

Quindi sostituendo con il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile si riduce ad un ARMA(pq) sulla variabile .

Allora il processo non stazionario è esprimibile come combinazione del processo stazionario e dell’operatore alle differenze .

Tale combinazione determina il processo integrato ARIMA(p,d,q) che pertanto è parte di una classe di processi più ampia di quelli ARMA che da essa discendono.


La terminologia “integrato” deriva poi dalla seguente notazione:

siccome abbiamo definito

ed evidentemente

Allora:

cioè la serie risulta essere la somma di tutte “le variazioni“ del fenomeno fino al tempo t compreso.

Ciò determina, in analogia con le funzioni continue, una sorta di integrazione sulla variabile .

Il processo ARIMA(p,d,q) è poi caratterizzato dall’essere di tipo “omogeneo”, indipendente cioè dal livello assunto da .


Si aggiunga infatti nel modello che esprime

una costante arbitraria a tutti i termini fino a quello di ordine t-1 ; in altri termini:

che è come dire:

Cioè con l’aumento di tutti i termini della costante c, anche risulta aumentato di c.

Quindi una serie non stazionaria ma omogenea si comporta come una serie stazionaria, poiché il suo andamento è indipendente dal livello della serie.


Casi particolari di ARIMA(p,d,q)

Assegnando valori particolari ai parametri si determinano casi di notevole interesse applicativo.

caso completo ARIMA(1,1,1)

Modello:

riscrivibile come

Il grafico che segue è relativo ad una configurazione simulata con e

; la riproduzione di configurazioni empiriche di carattere socio-economico è abbastanza evidente.


t

Caso incompleto ARIMA(1,1,0) ARI

Modello

Una rappresentazione simulata, con

mostra anch’essa l’aderenza a possibili configurazioni empiriche.


caso incompleto ARIMA(0,1,1) IMA

Modello

caso incompleto con costante

Se in un ARIMA(p,d,q) le differenze prime:

sono stazionarie, la presenza di una costante in AR provoca una media diversa da 0 data da:


Se ciò significa che la media delle differenze prime tende a crescere o a decrescere.

Quindi la costante introduce un trend crescente o decrescente

Modello ARIMA(1,1,1) con e parametri .

Ponendo nella * :


Che è un ARMA applicato alle differenze di ordine d degli , invece che ai valori

medesimi.

In altri termini, sostituendo con , il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile

si riduce ad un processo ARMA(p,q) applicato alla variabile .

In questo modo il processo non stazionario è espresso in funzione dell’operatore stazionario e dell’operatore alle differenze finite .

Ovviamente la classe di modelli ARIMA(p,d,q), essendo ancor più generale di quella ARMA, include gli stessi.


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