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ANGULOS

ANGULOS. TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS. ABRAHAM GARCIA ROCA. agarciar@correo.ulima.edu.pe. A. VÉRTICE. LADO. . . Medida del Angulo convexo. O. LADO. Medida del Angulo cóncavo. B.

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  1. ANGULOS TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS ABRAHAM GARCIA ROCA agarciar@correo.ulima.edu.pe

  2. A VÉRTICE LADO   Medida del Angulo convexo O LADO Medida del Angulo cóncavo B ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO:

  3. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO 0º <  < 180º  a.1) ÁNGULO AGUDO 0º <  < 90º

  4.  a.2) ÁNGULO RECTO  = 90º a.3) ÁNGULO OBTUSO 90º <  < 180º

  5.    CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS    = 90º b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS  +  = 180º

  6.       CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS a) ÁNGULOS ADYACENTES Puede formar más ángulos Un lado común ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Son congruentes

  7. 1 2 4 3 5 6 8 7 ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180° 02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8 05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°

  8. x  y  PROPIEDADES DE LOS ANGULOS 01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.  +  +  = x + y

  9.     02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS  +  +  +  +  = 180°

  10.  03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES  +  = 180°

  11. PROBLEMAS RESUELTOS

  12. Problema Nº 01 El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. RESOLUCIÓN La estructura según el enunciado: 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 2 90° - X 180° - X 90° - X Desarrollando se obtiene: 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X Luego se reduce a: X = 90° 2X = 180°

  13. ( 1 ) ( 2 )  = 70° Problema Nº 02 La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos:  y   = 80° -   +  = 80° Dato: Dato: ( 90° -  ) = 2 Resolviendo  = 10° Reemplazando (1) en (2): Diferencia de las medidas ( 90° -  ) = 2 ( 80° -  )  -  = 70°-10° = 60° 90° -  = 160° -2

  14. (+)  -  = 10°  +  = 50° ( 2 ) ( 1 ) Problema Nº 03 La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos:  y  Del enunciado:  +  = 50° + ( 90° -  ) ( 90° -  ) = 130°  -  = 10° 2 = 60° Del enunciado: - ( 180° -  ) ( 180° -  ) = 10°  = 30°  = 20° Resolviendo: (1) y (2)

  15. B A M 20° X  60°  O C Problema Nº 04 Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. RESOLUCIÓN De la figura:  = 60° - 20°  = 40° Luego: X = 40° - 20° X = 20°

  16. M A B  X  C (- X) O Problema Nº 05 La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. Del enunciado: RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado AOB - OBC = 30° Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica (  + X) ( - X) = 30º - 2X=30º X = 15°

  17. ( + ) A M B C X     N  D Problema Nº 06 Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado De la figura: 2 +  = 90°  + 2 = 90° 2 + 2 + 2 = 180°  +  +  = 90° X =  +  +  X = 90°

  18. m   80° X   30° n Problema Nº 07 Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”

  19. m   (2) 80° =  +  + X 80° X  (1)  +  = 55°  30° n RESOLUCIÓN Por la propiedad 2 + 2 = 80° + 30° Reemplazando (1) en (2) 80° = 55° + X Propiedad del cuadrilátero cóncavo X = 25°

  20. 65° 4 m X n 5 Problema Nº 08 Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”

  21. 65° 4 m X n 5 RESOLUCIÓN 40° 65° Ángulo exterior del triángulo Por la propiedad: X = 40° + 65° 4 + 5 = 90°  = 10° X = 105°

  22. Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X” x m  2 2  n Problema Nº 01

  23. x m  2 2  n RESOLUCIÓN x Ángulos conjugados internos Ángulos entre líneas poligonales 3 + 3 = 180°  +  = 60° X = 60° X =  + 

  24. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS

  25. L1 3x   x   4x L2 PROBLEMA 01.- Si L1 // L2. Calcule la m  x A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

  26. X n m 30° PROBLEMA 02.-Si m // n . Calcule la m  x A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

  27. m  3 3 3 n PROBLEMA 03.-Si m // n . Calcule la m   A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

  28. m   95° 40° n 2x PROBLEMA 04.-Si m // n . Calcule el valor de “x” A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

  29. x 3 6 PROBLEMA 05.-Calcule la m  x A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

  30. X m  4 4  n PROBLEMA 06.-Si m // n . Calcule la m  x A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

  31. m   88° x   n 24° PROBLEMA 07.-Si. Calcule la m  x A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

  32. X m 30° n 20° PROBLEMA 08.-Si m // n . Calcule la m  x A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

  33. m   x   n PROBLEMA 09.-Si m//n y -  = 80°. Calcule la mx A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

  34. m x x x n PROBLEMA 10.-Si m // n . Calcule la m  x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

  35. m 2  180°-2 n PROBLEMA 11.-Si m // n . Calcule la m   A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

  36. 80°   m x   n PROBLEMA 12.-Si m // n . Calcule la m  x A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

  37. x   m 80°   n PROBLEMA 13.-Si m // n . Calcule la m  x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

  38. REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS • 20º 8. 50º • 30º 9. 80º • 45º 10. 30º • 10º 11. 60º • 120º 12. 40º • 36º 13. 50º • 7. 32º

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