Tema 6 - SISTEMAS DE PARTÍCULAS INTERACTIVAS El modelo de Ising. Magnetismo. Aproximación del campo molecular de Weis

1. Tema 6 - SISTEMAS DE PARTÍCULAS INTERACTIVAS El modelo de Ising. Magnetismo. Aproximación del campo molecular de Weiss y aproximación de Bragg-Williams. Fonones en sólidos. Gases clásicos no ideales. [REI-10; HUA-14; KUB-5; YEO-4]

2. El modelo de Ising. Ferromagnetismo.

3. Ferromagnetismo. El modelo de Ising. Material ferromagnético. Ej: red de átomos con momento magnético. Este material puede magnetizarse aplicando un campo magnético H. A T>T* todos los momento magnéticos están al azar. A T<T* pueden ordenarse, puede haber dominios. Hamiltoniano del sistema (sin campo): Simplificación de Ising: los spines sólo tienen componente z, y el campo externo será aplicado en dicha dirección. La suma sólo se hace a primeros vecinos.

4. Hamiltoniano del sistema ferromagnético uniaxial bajo campo magnético (Hz): Definimos la magnetización por spin:

5. Colectivo canónico y termodinámica Energía libre de Helmholtz Termodinámica:

6. Función de partición y variables termodinámicas Energía del sistema = Hamiltoniano El estado microscópico del sistema es la combinación de todos los spines: Y la función de partición es: Energía libre: Magnetización promedio: Energía: Calor específico:

7. Aplicaciones del Modelo de Ising Gas de red Sitios ocupados o vacíos. Interacción a primeros vecinos, -e Ising: se introduce un spin: Nº de partículas en una celda: Nº total de partículas: Interacción: Energía total:

8. Ising Magnetic Lattice Gas Canonical ensemble Grand canonical ensemble Coupling constant J Interaction energy, e External field H Chemical potential, m Magnetization M Density Free energy A pressure P Susceptibility  Compressibility a Isotropic phase Supercritical fluid Ordered phase Liquid or gas Curie point Critical point Se usará el colectivo macrocanónico. Y la gran función de partición es: Esto es el Hamiltoniano de un sistema de Ising con:

9. Aplicaciones del Modelo de Ising Aleaciones binarias • Interacción a primeros vecinos, • : vecinos AB 0 : vecinos AA o BB Spines: Interacción: Energía total: Nº de partículas:

10. Ising Magnetic Binary Mixture Canonical ensemble Semi-grand canonical ensemble Coupling constant J Interaction energy, 2e External field H Chemical potential diff.  Dm Magnetization M Composition Df Isotropic phase Mixed phase Ordered phase Separated phase Curie point Critical mixing point Se usará el colectivo “semi-macrocanónico”. Y la gran función de partición es: (no puedo usar GC. N cte, puedo cambiar nº A y nº B) Esto es el Hamiltoniano de un sistema de Ising con:

11. Modelo de Ising en 1D (cadena lineal de spines) Usamos el colectivo canónico: Si B=0 : Funciones termodinámicas:

12. Modelo de Ising en 1D Funciones termodinámicas:

13. kT/J kT/J kT/J

14. El modelo de Ising. (en general, 2D, 3D) acoplamiento spin-spin Vamos a reescribir el Hamiltoniano: g : Nº de primeros vecinos. Tipo de parejas de vecinos: N++, N--, N+- 2D, red cuadrada, 4 primeros vecinos Esto permite escribir: Y el Hamiltoniano queda: Orden: a largo alcance: N+ , a corto alcance: N++

15. La aproximación de Bragg-Williams Usamos el colectivo canónico: La aproximación de Bragg-Williams consiste en desarrollar un método para evaluar el peso estadístico: Se cambian las variables por comodidad:

16. La aproximación de Bragg-Williams La aproximación de Bragg-Williams propone la siguiente relación: Si N+ es grande, N++ será grande. El orden a corto alcance surge del orden a largo alcance. Así el Hamiltoniano resulta: Y pasamos de necesitar hallar a buscar cómo es g(L) g(L) = g(N+) , por tanto es el nº de formas de tomar N+ números de entre N números

17. La aproximación de Bragg-Williams Y la función de partición es: L va de –1 a 1 en pasos de 2/N Si N es grande, Stirling. Si obtenemos lnZ ya podremos tener todas las funciones termodinámicas.

18. La aproximación de Bragg-Williams Recordamos el concepto de la distribución más probable. Habrá una configuración de N+,N++ con un valor de mucho mayor que en las demás. (H  N, por lo tanto Z depende exponencialmente de N) Por tanto buscamos el L que maximice Z o ln Z. Si N, lnZ tiende a ser el valor del logaritmo del mayor sumando. Lmax es la única variable independiente. H, T : parámetros externos del sistema J : interacción spin-spin. N : nº de spines

19. La aproximación de Bragg-Williams ¿Cuánto vale ese Lmax ? f(Lmax) Solución gráfica de esa igualdad: Lmax

20. La aproximación de Bragg-Williams. Aplicación al ferromagnetismo Sistema sin magnetizar: H=0. La solución gráfica da Lmax(H=0)=L0 Hay solución si la pendiente de en Lmax=0 es mayor que 1. Esto corresponde a T<TC. Temperatura de Curie: La solución es: Magnetización

21. La aproximación de Bragg-Williams. Aplicación al ferromagnetismo Por tanto, con H=0, La energía libre de Helmholtz: Si nos quedamos al orden más bajo en el desarrollo para H pequeño: No se consideran cambios de TC por efecto de H.

22. La aproximación de Bragg-Williams. Aplicación al ferromagnetismo Magnetización: Calor específico: Y podéis demostrar que,

23. Solución exacta del modelo de Ising en 2D: Lars Onsager Temperatura crítica: Comportamiento en Tc, exponentes críticos: H = M 15 M = t 1/8 X = t -7/4 (log) C = t 0 (log)

24. Variaciones del modelo de Ising Modelo de Potts: diferentes valores de s, para mezclas multicomponente Modelo de Heisenberg: considera como vector. Poner redes complejas: fcc, hexagonal, etc. Tener subredes Interacción a vecinos lejanos J(r) Hacer J aleatoria, para teoría de vidrios Introducir cinética y reorientación (dependencia con t)

25. Exponentes críticos

26. Teorías de campo medio y transiciones de fase.

27. Idea General • Sabemos resolver problemas de 1 partícula o de muchas partículas sin interacción (gas ideal). Ahora hay que tratar con muchas partículas interaccionando • Problema: • Las interacciones entre partículas hacen que sea casi imposible resolver el cálculo de la función de partición • Idea: • Sustituir las fuerzas que actúan sobre una partícula dada por un campo externo efectivo • Esto es un teoría de campo medio.

28. Se asume que el papel de las partículas vecinas es crear un campo molecular promedio, que actúa sobre la partícula estudiada. Aproximación de campo medio La fuerza ejercida sobre si, debido a los vecinos y al campo externo es: El campo instantáneo que actúa sobre si es: Siendo su valor promediado:

29. Para resolver el problema usaremos la mecánica estadística de momentos magnéticos sin interacción (desacoplados) Número de vecinos Y se obtiene esta ecuación para la magnetización media por espín: Solución gráfica de esa igualdad: Para h=0, bJz>1 o <1 define las dos fases: -m0 m0

30. Comparación entre T. Campo Medio y la solución exacta: (para red cuadrada) ¿Por qué este desacuerdo? No se consideran las fluctuaciones

31. Exponentes críticos. Parámetro de orden Cerca de la transición m<<1 m0

32. Susceptibilidad magnética: Desarrollamos tanh() : Los exponentes críticos son iguales a los obtenidos con la Teoría de Landau: