普通高中课程标准实验教科书
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普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 4 教材介绍 人教 A 版教材培训讲师团 嘉兴教育学院 / 嘉兴市教育研究院 吴明华 PowerPoint PPT Presentation


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普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 4 教材介绍 人教 A 版教材培训讲师团 嘉兴教育学院 / 嘉兴市教育研究院 吴明华. 第一章  三角函数  16 课时 第二章  平面向量  12 课时 第三章  三角恒等变换   8 课时. 删去的内容: 余切、正割、余割,已知三角函数值求角,反三角符号。. 知识结构. 目标定位. 三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型 ,在数学和其他领域中具有重要的作用。   在本模块中,学生将通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。.

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普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 4 教材介绍 人教 A 版教材培训讲师团 嘉兴教育学院 / 嘉兴市教育研究院 吴明华

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Presentation Transcript


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普通高中课程标准实验教科书

数学 必修4

教材介绍

人教A版教材培训讲师团

嘉兴教育学院/嘉兴市教育研究院 吴明华


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  • 第一章 三角函数 16课时

  • 第二章 平面向量 12课时

  • 第三章 三角恒等变换  8课时


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删去的内容:

余切、正割、余割,已知三角函数值求角,反三角符号。


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知识结构


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目标定位

三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。

  在本模块中,学生将通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。


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教材分析

1.1 任意角和弧度制

  角,具有数、形双重性,所谓“象限角”与“区间角”。

“坐标轴上的角”是特殊角,是表示其他角的“基准”。

  弧度制统一了度量弧与半径的单位。


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教学要求

(1)任意角、弧度

  了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。


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理解与建议

  • 角的推广:“内涵学习法”


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教材分析

1.2 任意角的三角函数

  从锐角到任意角,从直角三角形到单位圆。

只讲三个函数:正弦、余弦、正切。

同角三角函数的基本关系:两个。


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教学要求

(2)三角函数

  ①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

  ②理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx。


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用单位圆定义三角函数

(1)突出三角函数概念的本质;

(2)简化定义形式,体现数学从简精神;

(3)加强与几何的联系,便于应用。


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单位圆的作用

(1)1弧度的大小;

(2)任意角的三角函数定义:

任意角α → 点P的纵坐标——正弦

任意角α→点P的横坐标——余弦

(3)三角函数的图象、基本性质、同角三

角函数关系式、诱导公式

  三角函数的所有内容都可以借助单位圆的直观进行讨论


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性质联系

  • R=1——

  • 圆周长=2π——周期性

  • 关于x轴对称——cos(-x)=cos x

  • 关于y轴对称——cos(π-x)=-cos x

  • 关于直线y = x对称——

  • 旋转对称性——和(差)角公式


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教材分析

1.3 三角函数的诱导公式

  诱导公式是三角函数的基本性质。

角(终边)的对称性是诱导公式的本质所在。

“奇变偶不变,符号看象限”


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教学要求

(3)三角函数的诱导公式

  借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切。


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教材分析

1.4 三角函数的图象与性质

  得到图象的方法:“简谐运动”实验、描点作图、电脑演示。

周期性是三角函数最突出的性质,其中,角(终边)的周期性是三角函数周期性的原因所在。


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教学要求

(4)三角函数的图象和性质

  ①能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象。

②了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-π/2,π/2)上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)。


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思考与建议

  • 两种方式建构“三角函数性质”知识


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教材分析

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

  关键是研究参数A、ω、φ的作用,此处可发挥信息技术的优势。

“五点法”作图中,突出角的地位。


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教学要求

(5)函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质

  结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+φ)的图象,观察参数A,ω,对函数图象变化的影响。


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思考与建议

  • 变量替换与图形变换

    对于曲线f(x,y)=0,若以(x-a)替换x,则方程变为f(x-a,y)=0,而曲线向x轴正方向平移a;若以kx替换x,则方程变为f(kx,y)=0,而曲线横向伸缩(以原点为中心)成原来的1/k倍。反之亦成立,对于y也有同样的结论。


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教材分析

1.6 三角函数模型的简单应用

给定函数

待定函数

函数拟合


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教学要求

(6)三角函数的应用

  会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。


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保留了原有教材体系(96年引入)


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知识结构


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目标定位

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。


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目标定位

在本模块中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。


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教材分析

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

  物理背景,注意学科整合。

向量的表示及记号,向量的三要素:起点、方向、长度。(自由向量)

零向量、单位向量、平行向量、相等向量、(相反向量)、共线向量。


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教学要求

(1)平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。


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教材分析

2.2 平面向量的线性运算

加减法:平行四边形法则、三角形法则。

  减法用“转化为加法”来定义,事实上,加减法互为逆运算。

数乘,即“倍数”。


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教学要求

(2)向量的线性运算(掌握)

① 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。

② 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。

③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。


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教材分析

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

基本定理刻画了向量空间的维度。

在平面直角坐标系中,分别取与坐标轴方向相同的单位向量作为基底,则以原点为起点的向量的坐标就是这个向量终点的坐标。


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教学要求

(3)平面向量的基本定理及坐标表示

① 了解平面向量的基本定理及其意义。

② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。


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教材分析

2.4 平面向量的数量积

内容:两个向量的数量积、一个向量在另一个向量方向上的投影、关于数量积的运算律、向量的模和夹角的计算及坐标表示。

核心是数量积的定义:


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教学要求

(4)平面向量的数量积

① 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。

④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。


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教材分析

2.5 平面向量应用举例

几何中的应用、物理中的应用。

“三步曲”:化归、处理、回馈。

基于基底的处理、基于坐标的处理。


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教学要求

(5)向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。


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向量法:“三步曲”

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

(3)把运算结果“翻译”成几何关系。

向量几何——不依赖于坐标系的解析几何


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类比

  • 向量的线性运算及运算律与数的加减及其运算律的类比;

  • 向量的坐标表示与数轴上点表示数的类比;

  • 向量数量积的运算律与数的乘法运算律的类比;

  • 向量法与解析法的类比。


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拓展视野

  • (a+b)2-(a-b)2=4ab


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实验反思

1、重视向量的书写规范。

2、可以将相反向量放到“共线向量”一节来讲,这不仅是因为相反向量本身是共线向量,而因为这样的讲法与相反数的讲法一致,也有利于加强向量概念。

3、可以将数量积放到“线性运算”之后、“基本定理”之前,更加体现出数量积是向量的一种运算(对实数来说,它是一种新的运算)。


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基本保留了原有教材体系,降低了用公式进行变换的要求。


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知识结构


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目标定位

三角恒等变换在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。

在本模块中,学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换。


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教材分析

以两角差的余弦公式为起始,用向量方法推导公式。

引导式探究:实际问题→数学问题→合情推理→构造与证明。


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教学要求

(1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。

(2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。


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教材分析

3.2 简单的三角恒等变换

  简单:仅用11个公式。

变换:变角、变函数、变运算。

问题:化简、求值、证明。

综合:解三角形、三角函数的图象与性质。


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教学要求

(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆)。


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关于差角余弦公式的推导

(1)向量法简单,但仍属于构造法;

(2)公式推导方法很多,可以让学生探究。


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实验反思

  为什么在认识三角变换的学习难度上教师与学生有明显的反差?

知识:公式多

能力:预测变换目标


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解读模块结构

1.从定义、图象、性质等角度研究三角函数,不再把三角变换穿插其中,使函数的“味道”更浓。

2.向量安排在三角变换之前,为推导两角差的余弦公式作准备。

3.三角恒等变换独立成章,重点在基本公式的推导和简单应用上 ,意在培养推理和运算能力。


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模块的地位作用

1.加深对数学与实践关系的认识

  音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等,这些现象都可以用三角函数来描述。

  力、速度、位移等也是实际生活中所常见的,它们是向量的实际背景,也是向量描述的对象。

→体会作用,学习方法


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模块的地位作用

2.认识数学内容的联系性,学习数学研究的方法

  从三角函数及其性质与圆及其性质的联系、向量与代数、几何以及三角函数的联系、和(差)公式及倍角公式之间的联系等,体会不同数学知识在内容与方法上的联系性,学习数学中发现问题、提出问题和解决问题的基本方法。


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模块的地位作用

3.发展运算能力和推理能力

  作为代数对象,向量可以进行运算,这是运算的一次飞跃。

  与代数恒等变换一样,三角恒等变换也是“只变其形不变其质” 。学习怎样预测变换目标,选择变换,设计变换途径等。

→体会数学运算的意义,学习运算、推理的基本思想 。


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