Kombinatorische topologie in der 3d geomodellierung
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Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung. Können wir mit Punktmengen geomodellieren?. ein geologischer Körper besteht aus einer unendlichen Menge von Punkten (Kristalle,Atome , Strings , ...) im 3d-Raum

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Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung

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Presentation Transcript


Kombinatorische topologie in der 3d geomodellierung

Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung


K nnen wir mit punktmengen geomodellieren

Können wir mit Punktmengen geomodellieren?

  • ein geologischer Körper besteht aus einer unendlichen Menge von Punkten (Kristalle,Atome,Strings, ...) im 3d-Raum

  • Betrachtung der geologischen Körper als topologische Punktmengen mit Innerem und Rand (d.h. geol. Grenzfläche)

  • Das Problem: unendliche Mengen kann man nicht im Computer speichern


Die l sung abstraktion durch diskretisierung

Die Lösung:Abstraktion durch Diskretisierung

  • Die Idee:

  • Alle Punkte einer Grenzfläche lassen sich als durch Triangulation interpolierte Punktmenge darstellen

  • Die Grenzfläche teilt den Raum in 2 topologische Punktmengen

  • der geologische Körper wird durch die Punktmenge in der geschlossenen Grenzfläche repräsentiert


Im modell mit mehreren objekten

Im Modell mit mehreren Objekten:

  • Grenzflächen unterteilen den Raum in topologische Räume, die geologischen Einheiten entsprechen

  • z.B. 2 Schichten, 1 Störung, 1 Box => 5 Räume:

  • ... wo ist der 5. Raum?


Zellen im detail 0d 1d 2d 3d

Zellen im Detail: 0d, 1d, 2d, 3d

  • Standardmethode in CAD: Modellierung von Objekten durch simpliziale Zell-komplexe

  • ein simplizialer Komplex besteht aus einer Menge gleichartiger, n-dimensionaler Simplex-Zellen:

  • 0d - Punkt

  • 1d - gerade Kante

  • 2d - Dreieck

  • 3d - Tetraeder


Zell hierarchie

Zell-Hierarchie

  • Simplexe höherer Dimension sind aus Simplexen niederer Dimension (Teilsimplexen) aufgebaut:

  • Tetraeder besteht aus Grenzfläche + Innerem, Grenzfläche besteht aus 4 Dreiecken

  • Dreiecke bestehen aus Rand(=3 Kanten) + Innerem

  • Kanten bestehen aus 2 Knotenpunkten + Innerem


Simpliziale komplexe

Simpliziale Komplexe

Ein Simplizialkomplex besteht aus zusammenhängenden Simplexen.

Beispielmodell mit 3 Simplizialkomplexen:

in Gocad:

1 surface-Objekt "Störung" bestehend aus 1 part

1 surface-Objekt "Schichtgrenze" bestehend aus 2 parts


Von einzelnen grenzfl chen zu topologischen geomodellen

Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellen


Von einzelnen grenzfl chen zu topologischen geomodellen1

Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellen

2d-Simplizialkomplexe

=triangulierte Punktmenge, Fläche

Doch was passiert an den Berührungslinien mehrerer Flächen?

(Berührungslinie = topologischer Rand der Fläche)


Boundary representation brep weiler modell

Boundary Representation (BRep)-Weiler Modell

  • Hierarchisches topologisches Modell zur Behandlung nicht-mannigfaltiger Topologie (d.h. Elemente höherer Dimensionalität grenzen an Objekte niederer Dimensionalität)

  • Region (topologischer 3d Raum, 3d-Makrozelle)

  • Shell (Menge der Grenzflächen einer Region)

  • Face (eine Grenzfläche)

  • Loop (aneinandergrenzende Kanten einer Fläche)

  • Edge (Kante)

  • Vertex (Knotenpunkt)


Kante trifft fl che

Kante trifft Fläche:


Simpliz komplexe weiler modell

Simpliz. Komplexe + Weiler Modell

  • Realisierung in Gocad: Kombination von Simplizialkomplexen und

  • Weiler - Modell


Beispiel gocad model3d datei

Beispiel - Gocad Model3d Datei

GOCAD Model3d

TSURF 2 boxGrenze

...

TSURF 1 innereGrenze

...

REGION 3 Universe -2

REGION 4 innen+1

REGION 5 aussen+2-1

-

+

-

+


Geometrie und topologie

Geometrie und Topologie

  • Das topologische Modell ist abhängig von der Geometrie der Stützpunkte

  • 2 Möglichkeiten der Modellerstellung:

  • 1. ein topologisches Weiler-Modell kann aus einer Menge sich schneidender Flächen erzeugt werden (in Gocad: Model3d). Die Topologie ist hier implizit durch die Geometrie definiert.

  • 2. man definiert die Topologie explizit, dann kann sie bei der Modellerstellung berücksichtigt werden (z.B. automatisches Beseitigen von Lücken durch snapping). Dabei wird die Geometrie der Topologie angepasst.


Zusammenfassung

Zusammenfassung

  • Ein Gocad-Geomodell umfasst im allgemeinen:

  • hierarchische Diskretisierung in topologische Zellen in 2 Stufen

    • Mikro-Zellen (Simplizialkomplexe) (triang. Surfaces mit Triangles, Segments, Nodes)

    • Makro-Zellen (Weiler Modell)

      • (Model3d mit Regions, Faces, Borders, BorderStones)

  • Geometrie wird nur für Nodes der Mikro-Zellen definiert, sonst (meist linear) interpoliert

  • Topologie und Geometrie werden auch im Datenformat getrennt gespeichert.


Vorteile der topologischen geomodellierung

Vorteile der topologischen Geomodellierung

  • Konsistenz: es gibt keine Lücken (...Vakuum) im Modell oder Überlappungen (ein Punkt kann nicht gleichzeitig zu 2 geol. Einheiten gehören)

  • Änderungen der Geometrie (z.B. Faltung) sind möglich, ohne die Topologie zu ändern (topologische constraints)

  • man kann die geologischen Strukturen (= topologische Grenzflächen) später bei der Modellierung von Eigenschaften in Gittern berücksichtigen

  • Definition von Nachbarschaftsbeziehungen (GIS)


Der letzte schrei gmaps

Der letzte Schrei: GMaps

  • Datenstruktur für n-dimensionale kombinatorische Topologie

  • einfacher geht's nicht: generalized maps haben nur einen Datentyp: Dart

  • Darts stehen in Beziehung: Inzidenzgraph

  • Vorteil gegenüber Weiler-Modell: generische, algebraische Formulierung


Kombinatorische topologie in der 3d geomodellierung

GMaps: Inzidenz-Graph, Beispiel


Topologie und wahrscheinlichkeit

Topologie und Wahrscheinlichkeit

  • Kann ein Punkt zu mehreren Regionen gehören?

  • eineindeutige Abbildung

  • Natur ↔ topolog. Geo-Objekt ist bei kategoriellen

  • Variablen (z.B. stratigraph. Einheit) möglich,

  • wenn man die Geometrie exakt kennt

  • Geodaten haben Unsicherheiten →

  • Punkt a gehört mit einer bestimmten

  • Wahrscheinlichkeit 0.5<p<1 zu Geo-Objekt "Granit"

  • "fuzzy kombinatorische Topologie" gibt es nicht

  • Lösungen:

    • Berechnung der Zugehörigkeits-Wahrscheinlichkeit p, und Speicherung von p mit den Stützpunkten der Grenzflächen oder in einem Voxet-Gitter

    • Erstellen mehrerer Modelle (z.B. pGranit=1, pGranit=0.5)

p(kalk)=1

p(kalk,granit)=0.5

a

p(granit)=1

y

x


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