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Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung

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Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung. Können wir mit Punktmengen geomodellieren?. ein geologischer Körper besteht aus einer unendlichen Menge von Punkten (Kristalle,Atome , Strings , ...) im 3d-Raum

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Presentation Transcript
k nnen wir mit punktmengen geomodellieren
Können wir mit Punktmengen geomodellieren?
  • ein geologischer Körper besteht aus einer unendlichen Menge von Punkten (Kristalle,Atome,Strings, ...) im 3d-Raum
  • Betrachtung der geologischen Körper als topologische Punktmengen mit Innerem und Rand (d.h. geol. Grenzfläche)
  • Das Problem: unendliche Mengen kann man nicht im Computer speichern
die l sung abstraktion durch diskretisierung
Die Lösung:Abstraktion durch Diskretisierung
  • Die Idee:
  • Alle Punkte einer Grenzfläche lassen sich als durch Triangulation interpolierte Punktmenge darstellen
  • Die Grenzfläche teilt den Raum in 2 topologische Punktmengen
  • der geologische Körper wird durch die Punktmenge in der geschlossenen Grenzfläche repräsentiert
im modell mit mehreren objekten
Im Modell mit mehreren Objekten:
  • Grenzflächen unterteilen den Raum in topologische Räume, die geologischen Einheiten entsprechen
  • z.B. 2 Schichten, 1 Störung, 1 Box => 5 Räume:
  • ... wo ist der 5. Raum?
zellen im detail 0d 1d 2d 3d
Zellen im Detail: 0d, 1d, 2d, 3d
  • Standardmethode in CAD: Modellierung von Objekten durch simpliziale Zell-komplexe
  • ein simplizialer Komplex besteht aus einer Menge gleichartiger, n-dimensionaler Simplex-Zellen:
  • 0d - Punkt
  • 1d - gerade Kante
  • 2d - Dreieck
  • 3d - Tetraeder
zell hierarchie
Zell-Hierarchie
  • Simplexe höherer Dimension sind aus Simplexen niederer Dimension (Teilsimplexen) aufgebaut:
  • Tetraeder besteht aus Grenzfläche + Innerem, Grenzfläche besteht aus 4 Dreiecken
  • Dreiecke bestehen aus Rand(=3 Kanten) + Innerem
  • Kanten bestehen aus 2 Knotenpunkten + Innerem
simpliziale komplexe
Simpliziale Komplexe

Ein Simplizialkomplex besteht aus zusammenhängenden Simplexen.

Beispielmodell mit 3 Simplizialkomplexen:

in Gocad:

1 surface-Objekt "Störung" bestehend aus 1 part

1 surface-Objekt "Schichtgrenze" bestehend aus 2 parts

von einzelnen grenzfl chen zu topologischen geomodellen1
Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellen

2d-Simplizialkomplexe

=triangulierte Punktmenge, Fläche

Doch was passiert an den Berührungslinien mehrerer Flächen?

(Berührungslinie = topologischer Rand der Fläche)

boundary representation brep weiler modell
Boundary Representation (BRep)-Weiler Modell
  • Hierarchisches topologisches Modell zur Behandlung nicht-mannigfaltiger Topologie (d.h. Elemente höherer Dimensionalität grenzen an Objekte niederer Dimensionalität)
  • Region (topologischer 3d Raum, 3d-Makrozelle)
  • Shell (Menge der Grenzflächen einer Region)
  • Face (eine Grenzfläche)
  • Loop (aneinandergrenzende Kanten einer Fläche)
  • Edge (Kante)
  • Vertex (Knotenpunkt)
simpliz komplexe weiler modell
Simpliz. Komplexe + Weiler Modell
  • Realisierung in Gocad: Kombination von Simplizialkomplexen und
  • Weiler - Modell
beispiel gocad model3d datei
Beispiel - Gocad Model3d Datei

GOCAD Model3d

TSURF 2 boxGrenze

...

TSURF 1 innereGrenze

...

REGION 3 Universe -2

REGION 4 innen+1

REGION 5 aussen+2-1

-

+

-

+

geometrie und topologie
Geometrie und Topologie
  • Das topologische Modell ist abhängig von der Geometrie der Stützpunkte
  • 2 Möglichkeiten der Modellerstellung:
  • 1. ein topologisches Weiler-Modell kann aus einer Menge sich schneidender Flächen erzeugt werden (in Gocad: Model3d). Die Topologie ist hier implizit durch die Geometrie definiert.
  • 2. man definiert die Topologie explizit, dann kann sie bei der Modellerstellung berücksichtigt werden (z.B. automatisches Beseitigen von Lücken durch snapping). Dabei wird die Geometrie der Topologie angepasst.
zusammenfassung
Zusammenfassung
  • Ein Gocad-Geomodell umfasst im allgemeinen:
  • hierarchische Diskretisierung in topologische Zellen in 2 Stufen
    • Mikro-Zellen (Simplizialkomplexe) (triang. Surfaces mit Triangles, Segments, Nodes)
    • Makro-Zellen (Weiler Modell)
      • (Model3d mit Regions, Faces, Borders, BorderStones)
  • Geometrie wird nur für Nodes der Mikro-Zellen definiert, sonst (meist linear) interpoliert
  • Topologie und Geometrie werden auch im Datenformat getrennt gespeichert.
vorteile der topologischen geomodellierung
Vorteile der topologischen Geomodellierung
  • Konsistenz: es gibt keine Lücken (...Vakuum) im Modell oder Überlappungen (ein Punkt kann nicht gleichzeitig zu 2 geol. Einheiten gehören)
  • Änderungen der Geometrie (z.B. Faltung) sind möglich, ohne die Topologie zu ändern (topologische constraints)
  • man kann die geologischen Strukturen (= topologische Grenzflächen) später bei der Modellierung von Eigenschaften in Gittern berücksichtigen
  • Definition von Nachbarschaftsbeziehungen (GIS)
der letzte schrei gmaps
Der letzte Schrei: GMaps
  • Datenstruktur für n-dimensionale kombinatorische Topologie
  • einfacher geht\'s nicht: generalized maps haben nur einen Datentyp: Dart
  • Darts stehen in Beziehung: Inzidenzgraph
  • Vorteil gegenüber Weiler-Modell: generische, algebraische Formulierung
topologie und wahrscheinlichkeit
Topologie und Wahrscheinlichkeit
  • Kann ein Punkt zu mehreren Regionen gehören?
  • eineindeutige Abbildung
  • Natur ↔ topolog. Geo-Objekt ist bei kategoriellen
  • Variablen (z.B. stratigraph. Einheit) möglich,
  • wenn man die Geometrie exakt kennt
  • Geodaten haben Unsicherheiten →
  • Punkt a gehört mit einer bestimmten
  • Wahrscheinlichkeit 0.5<p<1 zu Geo-Objekt "Granit"
  • "fuzzy kombinatorische Topologie" gibt es nicht
  • Lösungen:
    • Berechnung der Zugehörigkeits-Wahrscheinlichkeit p, und Speicherung von p mit den Stützpunkten der Grenzflächen oder in einem Voxet-Gitter
    • Erstellen mehrerer Modelle (z.B. pGranit=1, pGranit=0.5)

p(kalk)=1

p(kalk,granit)=0.5

a

p(granit)=1

y

x

ad