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第一节 迭代公式的建立

第一节 迭代公式的建立. 在介绍方程组的直接解法之前，虽然对于变量个数不多的方程组直接法是很有效的求解方法，但由于采用直接方法在多次消元、回代的过程中，四则运算的误差积累与传播无法控制，致使计算结果精度也就无法保证。对此这里先将介绍另一种数值解法： 迭代法 。. 迭代法的基本思想. 根据所给的方程组 AX = B ，设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一个初始向量 ，按照一定的迭代公式产生一个向量序列 ，当收敛时，其 极限即为原方程组的解 。. 一、线性方程组的迭代（解）法. 基本思想：设有方程组： Ax = b ，其中 A 为非奇异矩阵。.

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第一节 迭代公式的建立

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  1. 第一节 迭代公式的建立 在介绍方程组的直接解法之前，虽然对于变量个数不多的方程组直接法是很有效的求解方法，但由于采用直接方法在多次消元、回代的过程中，四则运算的误差积累与传播无法控制，致使计算结果精度也就无法保证。对此这里先将介绍另一种数值解法：迭代法。

  2. 迭代法的基本思想 根据所给的方程组AX=B ，设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一个初始向量 ，按照一定的迭代公式产生一个向量序列 ，当收敛时，其极限即为原方程组的解。

  3. 一、线性方程组的迭代（解）法 • 基本思想：设有方程组：Ax=b，其中A为非奇异矩阵。 方程组的等价变换： 初始向量的选取： 迭代方法求解方程的根 迭代向量的构造 ： 迭代序列的收敛性： 主要方法：雅可比迭代法、 高斯-塞德尔迭代法以及超松弛迭代法

  4. 例1 求解线性方程组 矩阵形式： 解：有精确解

  5. 首先将Ax=b转化为等价方程组 分析有什么特点？

  6. 如果取初始向量 迭代公式

  7. 数值解 精确解

  8. 迭代结果分析 并不是每一个迭代公式所构造的迭代序列都收敛。于是，计算方法的目的就是要寻求一个使得构造收敛序列的方法。因此，产生了各种各样的迭代方法，根据迭代矩阵的不同构造方法，形成了不同的迭代方法。这里介绍两种迭代方法： 雅可比迭代方法、高斯-塞德尔迭代方法以及超松弛迭代方法。

  9. 1、雅可比迭代公式 上述迭代公式，就称为雅可比迭代公式，即为：

  10. 例2 用迭代法求解下列线性方程组 求解一组线性表达式，从而使得问题简化 分析：有精确解

  11. 数值解

  12. 雅可比迭代法框图

  13. 例1的雅可比迭代公式为

  14. 2、高斯-塞德尔迭代公式(G-S) 如果取M=D－L（下三角矩阵），于是：N=M-A=U, 上述迭代公式，就称为高斯-塞德尔迭代公式(G－S)，并分量形式： 或 或

  15. 特点：一旦求出变元 的某个新值 后，就改用新值代替旧值 进行这一步剩余的计算。 例2的高斯－塞德尔迭代迭代公式为 注意上标的变化！

  16. 数值解

  17. 例1的高斯-塞德尔迭代公式(G-S) 注意：分析其特点！

  18. 3、超松弛迭代公式（逐次超松弛） G-S方法的改进(Successive Over-Relaxation) 通过G-S迭代公式，迭代到k和k+1次近似： 引进辅助计算量： 改进后的迭代公式（SOR）：

  19. 高斯－塞德迭代法框图

  20. 4、迭代公式的矩阵表示

  21. Ax=b 线性方程组： A=L+D+U 或A=M-N 记 Mx=Nx+b 等价线性方程组： 迭代序列：

  22. 雅可比迭代公式(Jacobi) 或 高斯-塞德尔迭代公式(G-S)的矩阵表示 或 一般形式的 迭代公式。这类迭代公式的收敛性与矩阵G的性态有关。今后称矩阵G为迭代矩阵。

  23. 小结 迭代序列 是否收敛的关键取决于迭代矩阵 G 的性态有着密切的关系？而矩阵序列的收敛性将由矩阵的范数来决定。 迭代法求解线性方程组的关键： 迭代公式的构造:雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代 迭代公式的收敛性判定？ 作业 P170：1，5

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