Valós számok

Valós számok Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány. Def. Egy(T; +,  ;  )rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső határa (legkisebb felső korlátja). 1

3.3.6. izomorfizmus Azt jelenti, hogy lényegében 1 db felső határ tulajdonságú test van! Def. Egy (vagy a) felső határ tulajdonságú testet a valós számok testének nevezünk (nevezzük), jelben . 3.3.11. 2

Néhány függvény: x, ha x 0–x, ha x < 0 0, ha x= 0 x / | x |, kül. abszolút érték: | x | = előjel: sgn(x) = alsó egész rész:x = Z legnagyobb eleme, amely nem nagyobb, mint x . felső egész rész:x = Z legkisebb eleme, amely nem kisebb, mint x . x = 0  x = x = 0, Észrevételek: Ha x > 0: arkhi. tul.ból és N jólrendezettségéből  n  N+, ahol n a legkisebb olyan természetes szám, amely n  x  n = x , ekkor ha x = n N+  x = n, különben x = n – 1. ha x < 0  x = – –x = n, különben x = – –x . 3

Bővített valós számok 4 Rendezés kiterjesztése: – ∞ < x < +∞ teljesüljön minden x valósra. Bármely részhalmaznak van szuprémuma és infinuma. sup = – ∞, inf = + ∞ . Összeadás x valósra (nem mindenütt értelmezett): x + (–∞) = (–∞) + x = –∞, ha x < +∞, és x + (+∞) = (+∞) + x = +∞, ha x > –∞. Ellentett képzés: – (+∞) = –∞, és – (–∞) = +∞.

Természetes számok 5 x valós számra legyen x+ :=x + 1. Def. Az halmaz jelentse a valós számok mindazon N részhalmaza-inak metszetét, amelyek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal: 0  N, és ha n N, akkor n+  N. Peano – axiómák

Lemma A természetes számok halmaza rendelkezik a Peano – axiómákban felsorolt tulajdonságokkal. Biz. (1), (2) következik a definícióból. (5), a matematikai indukció elve, azért áll fenn, mert S halmaz rendelkezik az (1), (2) tulajdonsággal   S. (4) abból következik, hogy a valós számtestben az additív művelet reguláris. 6

7 Legyen S = { n : n+ > 0}. Ekkor 0  S, továbbá ha n S, akkor (n+)+ > 0 + 1 > 0  n+  S. Hasonlóan n szerinti indukcióval látható be, hogy n, m  esetén n + m, nm  továbbá, ha n ≥ m, akkor n – m 

2.1.4. Végtelen sorozatok -n értelmezett függvények Mi lesz a g ? 8

2.1.5. 2.1.6. 2.1.7. 9

Def. (összeadás) m  N: sm : N  N függvény, amelyre sm(0) = m n N: sm(n+) = (sm(n))+. sm(n) m és n szám összege. Észrevételek: m+ = (sm(0))+ = sm(0+) = sm(1) = m+1 , m = (sm(0)) = m+0 . 10

Def. (szorzás) mN :  pm: N  N függvény, amelyre pm(0) = 0 nN : pm(n+) = pm(n)+m . pm(n) az m és n szám szorzata. jelölés : mn vagy mn Észrevételek: 11 = p1(1) = p1(0+) = p1(0)+1 = 0+1 = 1 . 11

Def. ( rendezése)n  m   k : n + k = m . Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme. 12

Fibonacci számok Pheidias 13

14 2.3.39. Biz. Egzisztencia: kn k   k : kn > m, pl. k = m+ legyen k a legkisebb ilyen term. szám, ekkor k 0   qN : k = q+  qn  m def   rN : m = qn + r  r < n . tfh r n  m  qn+n = kn > m Unicitás: tfh  q’, r’ : m = q’n + r’ és r’ < n q’ > q  m = q’ < q hasonlóan látható

15 2.3.41. Biz. tfh 0 < m’ < m esetén beláttuk maradékos osztás q-val : ! m’, r  N : m = m’q + r, és r < q . m’ = 0  n = 0 és a0 = r , m’  0  m’ < m indukciós feltevés  maradékos osztás egyértelműsége 

16 Egész számok Racionális számok Irracionális számok Def. Egy (T; +,  ;  ) rendezett test arkhimédészi tulajdonságú, ha  x, y  T: x > 0 esetén n  N: nx  y . Ekkor Tarkhimédészien rendezett.

Lemma 17 T felső határ tulajdonságú rendezett test  T arkhimédészi tulajdonságú. Biz(indirekt) tfh nem  y felső korlátja A = {nx | n  N}-nak. Legyen z = supA  z – x < z nem felső korlát  n : nx > z – x  (n + 1)x > z 3.3.4.

Tétel(2 nem racionális) Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2 . Biz(indirekt) Tfh van: x x = m / n , m, n  N+ ésaz m minimális 2 = x2 = m2 / n2  m2 = 2n2 Tehát m páros m = 2k, k  N+  2k2 = n2 4k2 = 2n2 Tehát n is páros: n = 2j , j  N+ m / n = 2k / 2j = k /j  m nem minimális 18

Komplex számok Def.Komplex számoknak nevezzük a valós számpárokhalmazát a következő műveletekkel: a, b, c, d  : (a, b)+ (c, d) = (a+c, b+d), (a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc). 19

Észrevétel: (C, +) Abel-csoport : egységelem: (0,0) (a, b) additív inverze: –(a, b) = (–a, –b) (C*,  ) Abel-csoport : egységelem: (1,0) (a, b) multiplikatív inverze: (a, b) –1 = (a / (a2 + b2), –b / (a2 + b2)) Kétoldali disztributivitás teljesül 20

Alakok: Im(z) = Re(z) = algebrai z = x + yi (immaginárius egység: i = (0, 1), ahol i2 = –1) trigonometrikus z = r(cos(t) + isin(t)) abszolút érték (hossz) argumentum konjugált Euler-féle : z = reiφ 21

A komplex számok halmaza nem rendezhető, mert rendezett integri-tási tartományban negatív szám négyzete pozitív kellene legyen! Észrevételek - (7) z 0 : z 1 = z / |z|2 - - (1) z = z (8) |0| = 0, z 0 : |z| > 0 - - (2) (z + n) = z + n - (9) |z| = |z| ____ - - (3) (z  n) = z n (10) |zw| = |z|  |w| - (4) z + z = 2Re(z) (11) |Re(z)|  |z|, |Im(z)|  |z| - (5) z  z = 2iIm(z) (12) |z + w|  |z| + |w|, ||z|  |w||  |z  w| - (6) z  z = |z|2 22

24 Moivre – azonosságok w 0 esetén: n Z és z  0 

Gyökvonás komplex számból: zn = w, z = ? w = 0  z = 0, különben ha t = arg(w) n – edik egységgyökökn = 1 esetén n – edik primitív egységgyökök: hatványaikkal előállítják a többit pl. 0 biztos nem az, 1 biztosan az 25

zn = w esetén zk-k előállnak a következő alakban:  n > 1 esetén: 3.4.14. 26

Kvaterniók (H, +) Abel-csoport : egységelem: (0,0) (z, w) additív inverze: –(z, w) = (–z, –w) (H*,  ) csoport : egységelem: (1,0) (z, w) multiplikatív inverze: 27

Legyen j = (0, 1), k = (0, i), ekkor egyértelműen írható fel: p = a + bi + cj + dk valós felcserélhető kvaternióval, komplex nem, pl  H csak ferdetest ij = k, ji = –k, jk = i, kj = –i, ki = –j, ik = j 28

Valós számok

Valós számok

Presentation Transcript