Modele zmienno ci aktyw w
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 26

Modele zmienności aktywów PowerPoint PPT Presentation


  • 156 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Modele zmienności aktywów. Model addytywny Model multiplikatywny. Model addytywny zmienności aktywów z czasem dyskretnym. Przyjmijmy następujące oznaczenia: S(0) - cena początkowa waloru S(k) - cena waloru w k-tym etapie .

Download Presentation

Modele zmienności aktywów

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Modele zmienno ci aktyw w

Modele zmienności aktywów

Model addytywny

Model multiplikatywny


Model addytywny zmienno ci aktyw w z czasem dyskretnym

Model addytywny zmienności aktywów z czasem dyskretnym

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

S(0) - cena początkowa waloru

S(k) - cena waloru w k-tym etapie.

u(k) , k= 0,1,2,…n ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowejwartości oczekiwanej μ oraz o tej samej wariancji równej σ2. Ciąg ten interpretujemy jako losowe fluktuacje.


Model addytywny

Model addytywny

Rozważmy model ceny aktywu postaci

(1)S(k+1) = a S(k) + u (k)

gdzie k=0,1,2,... zaś a jest pewną stałą rzeczywistą, dodatnią decydującą o trendzie głównym. Dla a>1 trend główny jest wzrostowy.

 Znając wartości u(0),..,u(n) można wyznaczyć S(1), S(2), …,S(n).

W tym modelu cena waloruw dowolnym momencie zależy wyłącznie od ceny w momencie go poprzedzającym i od losowej fluktuacji.


Model addytywny1

Model addytywny

Ze wzoru (1) otrzymujemy

S(1) = aS(0) + u(0) ,

S(2) = aS(1) + u(1) = a[aS(0) + u(0)] + u(1)=

= a2S(0) + au(0) + u(1)

S(3) =aS(2)+u(2) = a [a2S(0) + au(0)+u(1)] +u(2)=

= a3S(0) + a2u(0) + au(1) + u(2)

Uwaga 1. Można pokazać, że dla każdego k:

(2) S(k) = akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+a u(k-2) + u(k-1).


Model addytywny2

Model addytywny

Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z definicji modelu).

Zakładając prawdziwość dla k, z ciągu równości :

S(k+1) = a S(k) + u (k)= a[akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…

…+a u(k-2) + u(k-1)] + u (k) =

=ak+1S(0) + aku(0) + ak-1u(1) +…+a2u(k-2) + au(k-1) + u (k)

oraz indukcji matematycznej wynika prawdziwość wzoru (2)


Model addytywny warto oczekiwana

Model addytywny. Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana zmiennej S(k).

Z elementarnych własności wartości oczekiwanej oraz z założenia E[u(k)]= μ dla każdego k mamy

E[S(k)] =E( akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ au(k-2) + u(k-1))=

= akE[S(0)] + ak-1E[u(0)] + ak-2E[u(1)] +…+aE[u(k-2)]+ E[u(k-1)] = akS(0) + ak-1μ+ ak-2μ+…+a μ + μ

(3) E[S(k)]=akS(0) + μ(1-ak)/(1-a), o ile a nie jest równe 1

(3’) E[S(k)]= S(0) + k μ, gdy a=1

(3’’) E[S(k)]=akS(0), gdy μ = 0


Model addytywny wariancja ceny

Model addytywny. Wariancja ceny

Korzystając z podstawowych własności wariancji oraz założenia niezależności zmiennych losowych otrzymujemy

Var [S(k)] = Var [akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] =

=Var [ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] =

= Var [ak-1u(0)] + Var[ak-2u(1)] +…+Var[u(k-1)] =

=(ak-1)2Var [u(0)]+ (ak-2)2Var [u(1)]+…+ a2Var [u(k-2)] +Var [u(k-1)]=

=a2(k-1)σ2+ a2(k-2)σ2 +…+a2σ2 +σ2 =

= (1+a2+a4+…+a2k-2) σ2= σ2(1- a2k)/ (1-a2), gdy a różne od 1

(4) Var [S(k)] = σ2(1- a2k)/ (1-a2), gdy a różne od 1

(4’) Var [S(k)] = k σ2, dla a = 1


Modele zmienno ci aktyw w

Symulacje w modelu addytywnym (a=1). Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowa wahanie jest zmienną o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0;1)


Jednakowe prawdopodobie stwa wzrostu i spadku histogram cz sto ci

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Histogram częstości


Model addytywny przypadek a 1 zmienne losowe u k o rozk adzie dwupunktowym

Model addytywny (przypadek a=1). Zmienne losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym

S(k+1) = S(k) + u (k)

u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,1,2,...tzn.

u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi prawdopodobieństwami

S(n) = S(0) + u (0) + u (1) +…+ u (n-1)

(5) Sn= u (0) + u (1) +…+ u (n-1)

(6) S(n) = S(0) + Sn

Sn wyraża zmianę ceny po n etapach

Wtedy: E[u (i)] = 0 Var [u (i)] = 0,5(σ-0)2 + 0,5(-σ-0)2 = σ2

E[Sn]= 0 Var Sn = Ʃni=1 Var [u (i)] = n σ2

Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy

E[S(n)]= S(0) Var S(n) = n σ2

Oznaczając przez σnodchylenie standardowe zmiennejSn, mamy

(7) σn = σ n


Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne

Standaryzacja zmiennej losowej Sn

  • S*n = (Sn-E(Sn))/σn

    Uwzględniając poprzednie wyliczenia

  • S*n= Sn/ σ n

  • TW (CTG) Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach (niekoniecznie dwupunktowych) oraz E Xi = m, Var Xi = σ2 dla i=1,…,n. Sn = X1 + X2 +… + Xn. Wtedy

  • (8)

  • (9)


Modele zmienno ci aktyw w

W przypadku m = 0 mamy

W szczególności


Przyk ad 1

Przykład 1

  • Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt. Zakładamy, że każdego dnia kurs ma taką samą szansę na wzrost co na spadek o 10 punktów. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,9545 kurs tego kontraktu po 30 dniach ?, (po 50?, po 100 ?)

  • Zastosujemy centralne twierdzenie graniczne a w szczególności wykorzystamy przybliżenie

  • Ponieważ σ = 10, n=30 mamy więc

  • Otrzymaliśmy przedział na zmianę ceny, zatem uwzględniając S(n) = S(0) + Sn mamy


Przyk ad 11

Przykład 1

  • Dla 50 i 100 dni mamy odpowiednio


Przyk ad 12

Przykład 1


Przyk ad 2

Przykład 2

  • Kurs kontraktu futures na WIG20 ma 2600 pt. Zakładamy, że każdego dnia kurs może zmienić się o 10 punktów, wzrost z prawdopodobieństwem 0,55 lub spadek z p-stwem 0,45. W jakim przedziale znajdzie się z prawdopodobieństwem 0,6827

    kurs tego kontraktu po 30 dniach ?, (po 100 ?)

  • EXi=10*0,55+(-10)*0,45=1;

  • War Xi = (10 -1)2 0,55 + (-10 -1)2 0,45 = 99 = σ2 ; σ = 9,95


Przyk ad 21

Przykład 2

  • Dla n=100 przeprowadzamy podobne wyliczenia

  • Otrzymujemy przedział (2600,50; 2799,50)


Centralne twierdzenie graniczne wersja moivre a laplace a

Centralne twierdzenie granicznewersja Moivre’a – Laplace’a

  • Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach: dla każdego i (i=1,…,n), P{Xi =1} = p, P{Xi = 0} = q, p+q= 1,

  • Sn= X1 + X2+…+ Xn ; zmienna Sn ma rozkład dwumianowy:

  • Wtedy E Xi = p, Var Xi = pq

  • E Sn=np; Var Sn = npq

  • TW Przy powyższych oznaczeniach prawdziwa jest równość

  • (10)

  • lub równoważnie


Centralne twierdzenie graniczne wersja moivre a laplace a1

Centralne twierdzenie granicznewersja Moivre’a – Laplace’a

  • Ostatnie równości mogą być zapisane różne sposoby:


Przyk ad 3

Przykład 3

  • Cena akcji pewnej spółki wynosi 500 zł. Zakładamy, że każdego dnia kurs rośnie o 1 zł z prawdopodobieństwem 0,55 i pozostaje niezmieniony z p-stwem 0,45. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 1000 dniach cena będzie się mieściła w przedziale [1020;1070] ?


Lokalne twierdzenie graniczne

Lokalne twierdzenie graniczne

  • Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach: dla każdego i (i=1,…,i=n) P{Xi =1} = p, P{Xi = 0} = q, p+q= 1,Sn= X1 + X2+…+ Xn ; zmienna Sn ma rozkład dwumianowy:

  • Wtedy E Xi = p, Var Xi = pq; E Sn=np; Var Sn = npq

  • TW. Przy powyższych oznaczeniach prawdziwa jest równość

  • (11)

  • Uwaga. Wszystkie liczby n,k, (n-k) muszą być dostatecznie duże by korzystać z ostatniego przybliżenia.


Model multiplikatywny zmienno ci aktyw w

Model multiplikatywny zmienności aktywów

Niech S(0) oznacza cenę początkową aktywa, którego zmienność wyraża się w modelu rekurencyjnym wzorem

  • S(k) = u(k-1)S(k-1); k=1,2…

    u(i) - losowe fluktuacje

    Cenę aktywa w chwili kmożna można wyrazić bezpośrednio

    (13)S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0).

    Po zlogarytmowaniu obu stron otrzymujemy


Model multiplikatywny

Model multiplikatywny

Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są wzajemnie niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji możemy zapisać:

(14)E[ln S(k)] = lnS(0) +μk,

(15)var[lnS(k)] = k σ2.

Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana logarytmu ceny jak i wariancja tej zmiennej rosną proporcjonalne do k.


Model multiplikatywny stopy zwrotu

Model multiplikatywny Stopy zwrotu

Równość (14) w innej formie

E[ln S(k)] - lnS(0) = μk,

E[ln S(k)] – E[lnS(0)] = E[ln (S(k)/S(0))] = μk, stąd

(15) E [S(k)/S(0)]= eμk

(gdyż dla funkcji ciągłej f i zmiennej losowej X ; E[f(X)]=f(E(X))

μ można interpretować jako oczekiwaną stopę zwrotu w pojedynczym etapie, przy kapitalizacji ciągłej

Z definicji μ =E[ln (S(n+1)/S(n))], n=1,…,k

S(n+1)/S(n)= [S(n+1)-S(n)]/S(n)+1. Dla małych zmian ceny mamy

ln [S(n+1)/S(n)] = ln {[S(n+1)-S(n)]/S(n)+1} =

=(w przybliżeniu)= [S(n+1)-S(n)]/S(n) = r – zwykła stopa zwrotu w jednym etapie; korzystamy z rozwinięcia


Model multiplikatywny stopy zwrotu1

Model multiplikatywny Stopy zwrotu

E {ln[S(n+1)/S(n)]}= E[w(n)] = μ oczekiwana stopa zwrotu w jednym etapie

Z definicji modelu

E{ln (S(k)/S(0))} = E[w(0)+…+w(k-1)]; w(i)=lnu(i)

Lewa strona oznacza oczekiwaną całkowitą (po k etapach) stopę zwrotu, przy założeniu kapitalizacji ciągłej.


Model multiplikatywny1

Model multiplikatywny

  • Ze związku

  • Otrzymujemy

  • Jeżeli w(i) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych i parametrach μ, σ2 , to zmienna losowa ln[S(k)/S(0)] ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej (kμ) oraz wariancji kσ2 (Wniosek 3, par. 37, S Zubrzycki „Wykł. rach. p-stwa..”)


  • Login