Metody matematyczne w in ynierii chemicznej
Download
1 / 41

Metody matematyczne w in ż ynierii chemicznej - PowerPoint PPT Presentation


  • 127 Views
  • Uploaded on

Metody matematyczne w in ż ynierii chemicznej. Wyk ł ad 3 . Ca ł kowanie numeryczne. Graficzna definicja ca ł ki oznaczonej. P. a. b. P i. Graficzna definicja ca ł ki oznaczonej. y. f ( x ). x. x 2. x 1. a. b. P i. Metoda prostok ą tów. y. a. b. x. x 2. x i. x i +1. x N.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Metody matematyczne w in ż ynierii chemicznej' - bonifacy-ania


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Metody matematyczne w in ynierii chemicznej
Metody matematyczne w inżynierii chemicznej

Wykład 3.

Całkowanie numeryczne


Graficzna definicja ca ki oznaczonej
Graficzna definicja całki oznaczonej

P

a

b


Graficzna definicja ca ki oznaczonej1

Pi

Graficzna definicja całki oznaczonej

y

f(x)

x

x2

x1

a

b


Metoda prostok t w

Pi

Metoda prostokątów

y

a

b

x

x2

xi

xi+1

xN

x0

x1


B d metody
Błąd metody

zależnośću(x)= przybliżamy (aproksymujemy)

inną funkcjąU(x, h) =

Wymagane jest by funkcja "zastępcza" dla h  0

była zbieżna do u(x).

Oznacza to, że różnica (Residuum) R

musi dążyć do 0 dla h dążącego do 0


B d metody1
Błąd metody

Dla metody istotne jest jak szybko zmniejsza się R,co można zapisać

n – dodatnia liczba całkowita oznaczająca rząd metody

Dla jednego kroku metoda prostokątów ma rząd n = 2

Wielokrotne użycie każdej z metoda zmniejsza rząd o 1

Ostatecznie


Metoda trapez w

Pi

Metoda trapezów

y

a

b

x

x2

xi

xi+1

xN

x0

x1


Metoda trapez w1
Metoda trapezów

Ostateczny wzór na obliczanie całki metodą trapezów:


Metoda trapez w algorytm
Metoda trapezów algorytm

  • Przeczytaj granice całkowania, x0 i xN

  • Przeczytaj ilość podziałów N

  • Oblicz h = (x0 - x1)/N

  • Oblicz y0 i yN

  • Oblicz P = h/2(y0 + yN)

  • Przyjmij i = 1

  • Oblicz xi = x0 +ih

  • Oblicz yi

  • Oblicz P = P + hyi

  • Zwiększ i o 1 (i=i+1)

  • Jeżeli iN-1 to idź do p. 6

  • Drukuj P

  • Koniec


Metoda trapez w schemat blokowy

Czytaj N, x0,xN

P = P + hyi

h = (x0+xN)/N

i = i + 1

y0 = y(x0)

i  N-1

yN = y(xN)

Drukuj P

P = h/2(y0 + yN)

koniec

i = 1

xi = x0+ih

y = funkcja x

yi = y(xi)

powrót

1

Metoda trapezów schemat blokowy

start

1

y(x)


Metoda simpsona
Metoda Simpsona

y2

y1

y0

P

x0

x0+2h

x0+h


Metoda simpsona1
Metoda Simpsona

Inna postać:


Metoda simpsona2
Metoda Simpsona

  • n 2

  • n = 2k, gdzie k to dowolna liczba naturalna

Warunki jakie musi spełniać ilość podziałów n:


Metoda simpsona program
Metoda Simpsona program

10 DEF FNy(x) = jakaś funkcja x

20 INPUT "Podaj granice całkowania:"; x0, xN

30 INPUT "Na ile części podzielić przedział (liczba parzysta)"; N

40 IF (INT(N/2)-N/2) <> 0 THEN PRINT "N nie jest liczbą parzystą": GOTO 30

50 h = (xN-x0)/N

60 P = h/3*(FNy(x0)+FNy(xN))

70 FOR i = 1 TO N-1

80 xi = x0 + i*h

90 P = P + h/3*(3+(-1)^(i+1))*FNy(xi)

100 NEXT i

110 PRINT "Całka ma wartość: "; P

120 END


Metoda romberga
Metoda Romberga

  • Modyfikacja metody trapezów

  • Zwiększenie dokładności poprzez zastosowanie ekstrapolacji

http://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation


Metoda romberga1
Metoda Romberga

Granice całkowania <a, b> dzielimy na N części to

Przybliżoną wartość całki określa wzór:

Jeżeli krok zmniejszymy 2-krotnie:

W ten sam sposób obliczmy:

Jest oczywiste, że dla N otrzymamy wynik pozbawionybłędu metody. Pozostaje problem błędu zaokrąglenia!


Metoda romberga2
Metoda Romberga

Utwórzmy nowy ciąg zgodnie z równaniami:

itd.

Można wykazać, że ciąg taki jest szybciej zbieżny niżciąg pierwotny.


Metoda romberga3
Metoda Romberga

Można utworzyć ciąg:

itd.

który jest jeszcze szybciej zbieżny.


Metoda romberga4

yi+1

y(2i+1)/2

yi

y3/2

y1/2

y1

y0

x0

x1

xi

xi+1

x1/2

x(2i+1)/2

x3/2

Metoda Romberga

Obliczenie przy znanym


Metoda romberga przyk ad
Metoda Romberga przykład

Obliczyć całkę oznaczoną:

0,693 147 181


Szacowanie b du ca kowania numerycznego
Szacowanie błędu całkowania numerycznego

Ogólny wzór na przybliżoną całkę oznaczoną:

Jeżeli obliczymy wartość całki dla dwóch kroków

o długości h1 = h oraz h2 = h/2


Szacowanie b du ca kowania numerycznego1

-

Szacowanie błędu całkowania numerycznego

błąd metody jest funkcją kroku:

Zakładamy, że h jest bardzo małe

Poszukujemy tylko wartości A

Podstawiając h:


Szacowanie b du ca kowania numerycznego2
Szacowanie błędu całkowania numerycznego


Szacowanie b du ca kowania numerycznego3
Szacowanie błędu całkowania numerycznego



Zasada metody
Zasada metody

fmax(x)

a

a

b


Generowanie punkt w
Generowanie punktów

  • Generuje się współrzędne x i y

  • Wykorzystuje się liczby losowe o rozkładzie jednostajnym

  • Domyślny generator ma zakres 0-1

  • Współrzędna x = a + l.l.*(b-a)

  • Współrzędna y = l.l.*fmax(x)


Obliczanie ilo ci trafie
Obliczanie ilości trafień

  • Wylosowany punkt o współrzędnych (xi, yi) jest trafiony jeżeli:


Dok adno
Dokładność

  • Dokładność metody zależy od:

    • Ilości wygenerowanych punktów

    • Jakości generatora liczb losowych


Algorytm
Algorytm

  • Podaj granice całkowania i funkcję f

  • Podaj ilość losowań N

  • Znajdź fmax

  • I,j=0

  • X=a+rnd*(b-a)

  • Y=rnd*fmax

  • I=I+1

  • Jeżeli f(X)<=Y to j=j+1

  • Jeżeli i<N to idź do 4

  • P=i/j*(b-a)*f(b)

  • Drukuj P



Pochodne funkcji w punkcie

x0

x2

Pochodne funkcji w punkcie

x1


Pochodne centralne

-

Pochodne centralne







Zastosowanie numerycznego obliczania pochodnej w algorytmie znajdowania pierwiastk w metod newtona

Zastosowanie numerycznego obliczania pochodnej w algorytmie znajdowania pierwiastków metodą Newtona


Algorytm metody newtona
Algorytm metody Newtona znajdowania pierwiastków metod

Wprowadzić punkt startowy x1 oraz dokładność

Obliczyćy1

Obliczyćy'1

Obliczyć

Jeżeli |x2-x1| todrukuj x2, koniec.

x1= x2

Powrót do punktu 2

Koniec.


Algorytm obliczenia pochodnej
Algorytm obliczenia pochodnej znajdowania pierwiastków metod

3.1 Przyjąć krok h = 0.001

3.2 Obliczyć y0 = f(x-h)

3.3 Obliczyć y2 = f(x+h)

3.4 Obliczyć y' = (y2- y0 )/(2h)

3.5. Sprawdzić, czy y' nie jest równe 0. Jeżeli tak drukuj informację "zły punkt startowy" i zakończ program.


ad