Regimes de escoamento
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Regimes de escoamento. Carga Cinética. Carga Altimétrica. Carga Piezométrica. Energia ou carga específica E = y + a U 2 /(2g). Muitos fenômenos em canais podem ser analisados com o princípio da energia. H = z + y + a U 2 /(2g). A partir do fundo do canal (Bakmeteff em 1912).

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Regimes de escoamento

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Regimes de escoamento


Carga Cinética

CargaAltimétrica

Carga Piezométrica

Energia ou carga específica E = y + aU2/(2g)

Muitos fenômenos em canais podem ser analisados com o princípio da energia

H = z + y + aU2/(2g)

A partir do fundo do canal (Bakmeteff em 1912)

Aquela disponível numa seção, tomando como referência um plano horizontal passando pelo fundo do canal, naquela seção


Energia (carga) específica: é a distância vertical entre o fundo do canal e a linha de energia

Adotando a = 1 e da continuidade

y

Nova referência

(z = 0)

Q

z

Datum


Curvas y x E para Q = cte

e y x Q para E = cte


E1 = y

onde

E = E1 + E2

E2 = Q2/[2gA2]

Fixando-se uma vazão Q

f(y)

E  ∞

Energia mínima Ec yc Profundidade Crítica


É também de interesse prático a curva y x Q para E = cte = E0

Canal retangular de largura b e tomando a vazão por unidade de largura q

Água em repouso

Não há água


Para um dado valor E > Ec

2 profundidades yf > yc e yt< yc

Profundidades alternadas ou recíprocas

2 regimes de escoamento recíprocos

yt inferior, torrencial, rápido ousupercrítico

yf  superior, fluvial, lento ou subcrítico


diminuição no nível de energia disponível:

Regime supercrítico  diminuição de y

Regime subcrítico  aumento de y


Até agora  uma curva de energia associada a uma vazão

Acontece que em um canal não passa somente uma vazão

para um canal  família de curvas, cada uma  uma vazão

O aumento de Q produz um aumento de y e também de yc

Uma determinada ypode ser subcrítica ou supercrítica, dependendo daQemtrânsito


Para que servem estes conceitos?


Para que servem estes conceitos?


Para que servem estes conceitos?


Número de Froude


Como dA = Bdy

B

dy

A

Da equação de energia específica

Aplicando a equação da continuidade


Energia é mínima  regime crítico

Fazendo B = A/yh

Fr é o número de Froude

Ou ainda

Igualando a expressão anterior a zero

Fr = 1

Além disso:

y < yc dE/dy < 0  1-Fr2 < 0  Fr > 1

y > yc dE/dy > 0  1-Fr2 > 0  Fr < 1


1 crítico

Fr

> 1  supercrítico

< 1  subcrítico

Exercício: um canal retangular de base 5m tem as profundidades dadas em 1 e 2 e a vazão, determinar o regime de escoamento quanto à energia específica nestas seções


Interpretações do Número de Froude


  • É a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais

  • Razão entre a energia cinética e a energia potencial

  • Razão entre a velocidade do escoamento e a velocidade de propagação das perturbações superficiais


  • É a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais

Dy

Dx

Volume elementar de um fluido = DxDyDz em queda livre

Dz

O peso (força de gravidade)

força de inércia


l  dimensão característica do escoamento

Dimensionalmente


Razão entre a energia cinética e a energia potencial

Como o numerador envolve velocidade  energia cinética

Como o denominador envolve profundidade  energia potencial

Fr = 1  equilíbrio entre energias cinética e potencial


Velocidade da onda em relação ao líquido  celeridade

Deslocamento na parede

VC se move com a onda

Razão entre U e a velocidade de propagação das perturbações superficiais

Canal aberto com uma parede móvel na extremidade e líquido inicialmente em repouso


Aplicando as equações básicas sob as idealizações:

- Escoamento permanente e incompressível

- Uniforme numa seção

- sem efeitos viscosos e de tensão superficial

- Variação hidrostática de pressão

- Forças de corpo inexistentes

Da equação da continuidade


Da equação da quantidade de movimento

Combinando as duas

A distribuição hidrostática de pressão é válida em ondas de águas rasas  Dy << y


Se o líquido se move com velocidade V. A celeridade é c e a velocidade que um observador num ponto fixo do solo percebe é Vw = V ± c

Fr < 1,0(regime subcrítico)

Fr > 1,0 (regime supercrítico)


subcrítico ondas podem se mover para montante

supercrítico ondas não podem se mover para montante


Caracterização do escoamento crítico


Podemos obter analiticamente expressões para yc em seções com geometria conhecida

Como visto anteriormente, o escoamento crítico ocorre quando

Fazendo yh = A/B e substituindo U por Q/A

Ou ainda

Q2B= gA3

Tanto a área quanto a largura B são função de y e este deve ser igual a yc


Para seções retangulares (A = By)

Por razões de ordem prática  q = Q/B

Exemplo:Determine yc em um canal triangular, com taludes 1:1, transportando 14 m3/s


Exemplo:mostre que, para um canal retangular


Exemplo:


Exemplo:


Ocorrência de regime crítico: controle hidráulico


Conceito de seção de controle


Assim, quando há mudança de regime, y tem que passar por yc

y = yc

I < Ic

I > Ic

Condição crítica  limite entre os regimes fluvial e torrencial

Há diversas situações onde isto ocorre:

Passagem subcrítico  supercrítico

mudança de declividade

Esc. junto à crista de vertedores


I > Ic

y = yc

I < Ic

Passagem supercrítico  subcrítico

canal com mudança de declividade

Saídas de comporta


Nas seções de transição  y = yc

há uma relação unívoca

Relação esta conhecida

Seção de controle: é a seção onde se conhece a relação y x Q

Não existe somente seção de controle onde ocorre yc

(chamado controle crítico)

Existem outros tipos de controle ...


Artificial  associado uma situação na qual y é condicionada por uma ocorrência distinta do regime crítico

Exemplo: ocorrência associada ao nível de um reservatório, um curso d’água, uma comporta, etc.

De canal  y é determinada pelas características de atrito ao longo do canal, ou seja, quando houver a ocorrência de escoamento uniforme


Para que servem estes conceitos?


Para que servem estes conceitos?


Controles de montante e de jusante


A noção de controle hidráulico nos faz identificar quando ocorre controle de montante e de jusante

Supor estrutura retangular, de largura b, curta e queda livre a jusante desprezível


O que acontece se colocarmos uma comporta a jusante e liberarmos a água aos poucos?

O que acontece se colocarmos uma comporta a montantee liberarmos a água aos poucos?


  • Primeiramente, pode-se mostrar que:

  • da mesma forma que há uma curva

  • E x y para Q constante, há uma curva

  • q x y para E constante igual a E0

2) Para um canal retangular, a curva q x y dada pela equação abaixo, resultando no gráfico a seguir mostrado

q é a vazão por unidade de largura


Voltando ...

Escoamento subcrítico controle de jusante

Escoamento supercrítico controle de montante


perturbação

Escoamento subcrítico controle de jusante, perturbações a jusante podem ser sentidas a montante

Escoamento supercrítico controle de montante, pois as ondas não podem ir para montante


Exercício: Um canal retangular com largura de 8m transporta uma vazão de 40 m3/s. Determinar a yc e Uc


6. Escoamentos uniforme e gradualmente variado


Por definição, o escoamento uniforme (EU) ocorre quando:

  • A profundidade, a área molhada, a velocidade, a rugosidade e a forma da seção transversal permanecem constantes;

  • A linha de energia, a superfície da água e o fundo do canal são paralelos


O EU pode ocorrer em canais muito longos, retos e prismáticos

Nestes canais, a perda de carga devida ao escoamento turbulento é balanceada exatamente pelo decréscimo de energia potencial


Equações básicas


Continuidade, quantidade de

movimento e energia

Idealizações:

1) Escoamento permanente e uniforme;

2)Escoamento à profundidade

constante (profundidade normal);

3) Escoamento incompressível;

4) Escoamento paralelo e à declividade baixa


Como A1 = A2

Continuidade


forças de corpo

forças de superfície

Da equação da continuidade

Resultante das forças em x

Quantidade de movimento

Escoamento paralelo  distribuição de pressão hidrostática

Inclinação do canal pequena q≈ 0 q ≈ senq ≈ tgq ≈ Sb


força de corpo  peso  componente Wsenq

força de superfície  força de atrito Ff

A força de pressão líquida é zero


Para o caso do escoamento permanente, incompressível e uniforme

Para o escoamento permanente, incompressível e uniforme

  • Perda de carga = desnível

  • As linhas: de energia, piezométrica e de fundo do canal paralelas


Equações de resistência


Equação de Chézy e de Manning


Equação de Chézy (1769)

Assumindo tw proporcional à U2:

Ff = kLPU2, onde P é o perímetro molhado

Substituindo na equação da QM e sabendo que W=gAL (Aárea molhada)

onde C = (g/k)1/2

Equação de Manning (1889)

De natureza completamente empírica

No Sistema Internacional (SI)

Relação entre C e n no SI:


Estimação do coeficiente de resistência


Aspectos teóricos e práticos


Equação da energia

A dificuldade primária no uso das equações é a determinação de C e n

Supondo que os mesmos se comportem como o fator de atrito de Darcy-Weisbach

Substituindo D por  4R (lembrar que, para conduto circular, R=D/4)


C e n  dependem de f  depende de Re e de e

Mas é muito mais difícil determinar e em canais

A partir de um valor de Re  f constante  aplicação das equações em escoamentos HR

Por causa dessa dificuldade  utilizamos valores médios de n


  • Procura-se um coeficiente constante que leve em conta os fatores que o influenciam

  • Rugosidade da superfície

  • Vegetação

  • Irregularidade do canal

  • Obstrução

  • Alinhamento do canal

  • Erosão e sedimentação

  • Cota e descarga


Método do SCS: incrementação


Vegetação: densidade, altura,...

Obstruções: matacões, raízes, troncos,...

básico

Irregularidades: erosões, assoreamentos, depressões,...

O Soil Conservation Service (SCS) desenvolveu um método que parte de um valor básico de n

O valor básico é tabelado e serve para um canal reto, uniforme e liso  depois feitas correções no valor básico, considerando os fatores mencionados

Também chamado método de Cowan

n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) n5

Grau de meandrização

Variações de seção transversal


Tabela de valores de n


Tabela publicada por Ven Te Chow em 1959. Possui uma relação extensa de valores, função do tipo de canal e das condições deste

Versões resumidas em todos os livros de hidráulica

As tabelas a seguir foram obtidas no livro Curso de Hidráulica, de Eurico Trindade Neves


Valores de n para Condutos Livres Fechados

* Valores aconselhados para projetos


Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto

* Valores aconselhados para projetos


Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto (continuação)

* Valores aconselhados para projetos


Valores de n para Condutos Livres Naturais Abertos (Arroios e Rios)


Outros métodos


Fotográfico  comparar nosso trecho de rio com seções catalogadas (US Geological Survey)

Medição de velocidades  a partir da distribuição de velocidades para o escoamento turbulento HR, fazendo-se duas medições: a 0,8D e a 0,2D onde D é a profundidade do fluxo

Empírico  relaciona-se n com algum diâmetro do elemento de rugosidade, vindo da curva de distribuição granulométrica


Cálculos com o escoamento permanente e uniforme


  • Dois casos práticos:

  • Verificação do funcionamento

  • hidráulico

  • 2) Dimensionamento hidráulico

Caso 1  Qual a capacidade de condução de um canal de determinada forma, declividade e rugosidade, sabendo qual é a profundidade?

Caso 2  Quais as dimensões que deve ter o canal, de determinada forma, rugosidade e declividade para conduzir uma determinada vazão?

Qual a profundidade normal (yN ou y0)?


constante

Função de yN

Condutância hidráulica ou fator de condução

Manning (SI)

Determinação da profundidade normal por tentativa e erro ou gráficos


y

1

z

b

Supondo um canal trapezoidal

A = (b + zy)y

P = b + 2y (1+z2)1/2

Para resolver: adotam-se valores de yN, até igualar os lados

Ou constrói-se um gráfico y x AR2/3 e localiza-se o ponto desejado que satisfaça o lado direito


Pode-se utilizar de gráficos adimensionais. Por exemplo, para um canal de seção trapezoidal:

yN/D ou yN/b x AR2/3/D ou AR2/3/b

Métodos numéricos também podem ser usados (Newton, Bisecção,...)

As calculadoras científicas atuais podem também resolver este tipo de problema


Exercício: calcular yN de um canal trapezoidal: largura de fundo de 3m, declividade 0,0016, n = 0,013. Ele tem que ter a capacidade de transportar 7,1m3/s. O talude é de 1,5:1

Valor da constante

Em uma planilha, faz-se variar y


Canais de rugosidade composta


Algumas vezes temos que estimar o valor de n equivalente ou representativo de uma seção, cuja rugosidade varia ao longo do perímetro

O que se faz então é dividir o perímetro em N partes, cada uma das quais com seu valor de n

Depois, calcula-se o n equivalente ne

Horton (1933)  mais utilizada

Einstein e Banks (1950)

U1 = U2 = ... = UM

Ponderação pelo perímetro molhado


Descarga normal em canais de seção composta


Quando o escoamento atinge a planície de inundação, P aumenta mais rapidamente que A R, V e Q decrescem

Esta situação é computacionalmente correta, mas não fisicamente: o método anterior pode fornecer estimativa ruim superestimar n

  • Alternativas:

  • Ponderar n pela área de cada subseção;

  • Calcular a condutância hidráulica em cada subseção e depois somá-las


Ponderação pela área

Soma de condutâncias hidráulicas


Seções de perímetro molhado mínimo e vazão máxima


O dimensionamento de um canal leva tem por objetivos:

1) Determinar a forma geométrica

2) Determinar as dimensões

Procedimento simples rápido do ponto de vista hidráulico

Mas envolve outros fatores técnicos, construtivos e econômicos

Presença de avenidas construídas ou projetadas

Limitação de profundidade (lençol freático, etc.)

...


As seções de perímetros molhados mínimos ou vazão máxima

Procuram eficiência hidráulica e do ponto de vista econômico (superfície de revestimento é mínima)

  • Entretanto, o resultado pode ser:

  • Seções profundas  custos  de escavação maiores, de rebaixamento de NA, não compensando a economia no revestimento

  • velocidades médias incompatíveis com o revestimento

  • Seções com b << y  dificuldades construtivas


y

1

z

b

Trapézio de perímetro molhado mínimo

A área e o perímetro molhados são:

A = (b + zy)y

P = b + 2y (1+z2)1/2

Utilizando a razão de aspecto m = b/y

Isolando y

substituindo na fórmula de P

Derivada de P em relação a m e igualando a zero


Ou ainda

Para um canal retangular

y

b

y

y


Algumas recomendações de projeto


1) O projetista deve prever o “envelhecimento” do canal  nprojeto = 10 a 15% maior que ntabelado

2) Deixar uma folga de 20 a 30% acima do nível máximo de projeto, sobretudo para canais fechados

3) Preferir o método de soma de condutâncias hidráulicas para cálculo de seções compostas


As subseções são divididas por linhas verticais imaginárias, não computadas para o cálculo de Pi

4) A velocidade média  num intervalo que evite deposições e erosões (tabela a seguir)


5) Observar a inclinação máxima dos taludes


Escoamento permanente e gradualmente variado


Caracterização do EGV


O escoamento permanente no qual as características do fluxo variam no espaço é chamado de escoamento variado

Se as mudanças forem graduais  escoamento gradualmente variado (EGV)

Se as mudanças forem bruscas  bruscamente variado


O contorno influencia mais que o atrito com as paredes

O atrito influencia mais

EGV  declividade de fundo e da superfície livre não são mais as mesmas ao longo do conduto

Da mesma forma, o gradiente energético não é mais paralelo ao gradiente do canal


  • Ocorrência de EGV:

  • - trechos iniciais e finais de canais

  • transições verticais e horizontais graduais

  • canais com declividade variável

Declividade variável

Dadas estas interferências no escoamento, ao engenheiro interessa saber como se comportará a linha d’água


Declividade variável

trecho final de canal


Quando há um EGV em regime subcrítico, em trechos a montante de um controle artificial  curva de remanso

Em uma determinada seção:

y  profundidade da água

yN  profundidade normal

y – yN  remanso


Idealizações

A definição da linha d’água  a partir de considerações sobre energia

  • São necessárias algumas idealizações:

  • Canal de pequena declividade;

  • Distribuição hidrostática de pressão (linhas de corrente aproximadamente paralelas);

  • a perda de carga é avaliada por uma equação de resistência do escoamento uniforme


  • n independe de y e é constante ao longo do canal

  • A distribuição de velocidade é fixa  a é constante

A natureza do EGV é a mesma do escoamento uniforme, ou seja,

Força motriz gravidade;

Força resistente associada ao atrito ao longo do canal

Entretanto, Sf (gradiente energético total) varia de seção para seção e, geralmente, é diferente de S0


Equação diferencial do EGV


Das idealizações e da equação da energia

H = y + V2/2g + z ou H = E + z, onde E é a energia específica

Tomando a derivada de H em relação a x (exprime a variação espacial)

O termo d(V2/2g)/dx pode ser decomposto:

V = Q/A,

A = f(y) e y = g(x)  A = f(g(x))


B

dA=Bdy

yh = A/B

dy

A

Isto resulta em:

onde T  largura da superfície livre

Assim


-S0

-Sf

- Fr2dy/dx

Voltando à equação original

Equação diferencial do escoamento gradualmente variado (EDEGV)


Substituindo o termo de Sf pela equação de Manning e o termo de Fr pela sua equação


Análise das linhas d’água


Esta expressão é utilizada para estudos qualitativos da linha d’água

Vamos criar duas funções f1 e f2, tal que


f1 e f2 são funções de y decrescentes  análise da linha d’água  análise do numerador e do denominador da equação diferencial


0

Análise do numerador  S0, Q e n = cte

Escoamento uniforme


0

Regime subcrítico

Regime supercrítico

Análise do denominador  idem

Regime crítico


- declividade fraca ou moderada

  • forte ou severa

  • crítica

Análise da declividade  S0 variável

Para cada S0, há uma yN

Se S0 for igual a Sc  yN = yc

A análise de S0 3 tipos de canais:

yN


nula

fraca

forte


Análise da linha d’água, utilizamos o que foi dito antes da seguinte forma:

f1 > 1 e f2 > 1  dy/dx>0  y cresce

f1 < 1 e f2 < 1  dy/dx>0  idem

f1 > 1 e f2 < 1  dy/dx<0

 y decresce

f1 < 1 e f2 > 1  dy/dx<0

 y decresce


Classificação dos perfis do EGV


  • Os perfis de linha d’água dependem:

  • da relação entre a declividade de fundo e a

  • declividade crítica

  • 2) da relação entre y, yN e yc

Os perfis de linha d’água


Perfis M (MildSlope)

Declividade fraca


região 1

região 2

região3


Na região 2

y  yN  dy/dx  0

y  yc dy/dx  ∞

Na região 1

y  yN  dy/dx  0

y  ∞  dy/dx  S0

Na região 3

y  0 

dy/dx  limite finito

y  yc

dy/dx  ∞


Na região 2: Perto de yc, as Linhas de Corrente (LC) não são mais retas e paralelas, contrariando as idealizações  linha tracejada


Na região 3: poderá haver ressalto com mudança brusca da curva M3 para o escoamento uniforme ou para a curva M1


Ocorrências dos perfis M

M1  montante de uma barragem

M2  montante de uma queda brusca


Ocorrências dos perfis M

M3  mudanças de inclinação, saídas de comporta com abertura inferior a yc


Perfis S (SteepSlope)

Declividade severa ou forte


região 1

região 2

região3


Na região 1

y  yc dy/dx  ∞

y  ∞  dy/dx  S0

Na região 2

y  yc dy/dx  ∞

y  yN  dy/dx  0

Na região 3

y  yN  dy/dx  0

y  0 

dy/dx  limite finito


Ocorrências dos perfis S

S1  montante de uma barragem,

estreitamentos, mudanças de S0


Ocorrências dos perfis S

S2  canal de forte S0, alimentado por

reservatório, mudança de S0

S3  jusante de barragens e comportas


Perfis C (CriticalSlope)

Declividade crítica

Perfis H (Horizontal)

Perfis A (Adverso)


A

H

M

C

S

Perfis C: caso limite dos perfis S – S0 diminui

Perfis A e H: casos limites dos perfis M quando S0 tende para 0 ou para um valor negativo, respectivamente


região 1

região3


As curvas de remanso são o caso limite das curvas M, quando S0  0

H2 e H3 ocorrem em situações análogas à curvas M2 e M3


Neste caso, A2 e A3 são similares a H2 e H3


Regras gerais


  • Em um canal uniforme, um observador se deslocando no sentido da corrente vê a altura d’água diminuir, desde que a linha d’água esteja entre yc e yN.

  • Se a linha d’água estiver fora da área entre yc e yN  observador vê a altura d’água crescer


interior

exterior

yN

yc


2.Quando a linha d’água se aproxima de yN, ela o faz assintoticamente


  • Quando a linha d’água se aproxima de yc, ela tende a cruzar esta profundidade em um grande mas finito ângulo


4. aplicação do conceito de seção de controle:

regime subcrítico  controle a jusante (M1 em

barragem, M2 em queda brusca)

regime supercrítico  controle a montante (M3

em comporta de fundo)


A

H

M

C

S

  • curvas próximas


Esboçar a linha d’água


Esboçar a linha d’água

resposta


Esboçar a linha d’água

yc

yN

S0 = 0

S0 > Sc

S0 < Sc


Esboçar a linha d’água


Esboçar a linha d’água

resposta


Esboçar a linha d’água


Esboçar a linha d’água

resposta


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