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Regimes de escoamento

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Regimes de escoamento - PowerPoint PPT Presentation


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Regimes de escoamento. Carga Cinética. Carga Altimétrica. Carga Piezométrica. Energia ou carga específica E = y + a U 2 /(2g). Muitos fenômenos em canais podem ser analisados com o princípio da energia. H = z + y + a U 2 /(2g). A partir do fundo do canal (Bakmeteff em 1912).

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
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Carga Cinética

CargaAltimétrica

Carga Piezométrica

Energia ou carga específica E = y + aU2/(2g)

Muitos fenômenos em canais podem ser analisados com o princípio da energia

H = z + y + aU2/(2g)

A partir do fundo do canal (Bakmeteff em 1912)

Aquela disponível numa seção, tomando como referência um plano horizontal passando pelo fundo do canal, naquela seção

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Energia (carga) específica: é a distância vertical entre o fundo do canal e a linha de energia

Adotando a = 1 e da continuidade

y

Nova referência

(z = 0)

Q

z

Datum

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Curvas y x E para Q = cte

e y x Q para E = cte

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E1 = y

onde

E = E1 + E2

E2 = Q2/[2gA2]

Fixando-se uma vazão Q

f(y)

E  ∞

Energia mínima Ec yc Profundidade Crítica

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É também de interesse prático a curva y x Q para E = cte = E0

Canal retangular de largura b e tomando a vazão por unidade de largura q

Água em repouso

Não há água

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Para um dado valor E > Ec

2 profundidades yf > yc e yt< yc

Profundidades alternadas ou recíprocas

2 regimes de escoamento recíprocos

yt inferior, torrencial, rápido ousupercrítico

yf  superior, fluvial, lento ou subcrítico

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diminuição no nível de energia disponível:

Regime supercrítico  diminuição de y

Regime subcrítico  aumento de y

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Até agora  uma curva de energia associada a uma vazão

Acontece que em um canal não passa somente uma vazão

para um canal  família de curvas, cada uma  uma vazão

O aumento de Q produz um aumento de y e também de yc

Uma determinada ypode ser subcrítica ou supercrítica, dependendo daQemtrânsito

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Como dA = Bdy

B

dy

A

Da equação de energia específica

Aplicando a equação da continuidade

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Energia é mínima  regime crítico

Fazendo B = A/yh

Fr é o número de Froude

Ou ainda

Igualando a expressão anterior a zero

Fr = 1

Além disso:

y < yc dE/dy < 0  1-Fr2 < 0  Fr > 1

y > yc dE/dy > 0  1-Fr2 > 0  Fr < 1

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1 crítico

Fr

> 1  supercrítico

< 1  subcrítico

Exercício: um canal retangular de base 5m tem as profundidades dadas em 1 e 2 e a vazão, determinar o regime de escoamento quanto à energia específica nestas seções

slide18

É a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais

  • Razão entre a energia cinética e a energia potencial
  • Razão entre a velocidade do escoamento e a velocidade de propagação das perturbações superficiais
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É a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais

Dy

Dx

Volume elementar de um fluido = DxDyDz em queda livre

Dz

O peso (força de gravidade)

força de inércia

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Razão entre a energia cinética e a energia potencial

Como o numerador envolve velocidade  energia cinética

Como o denominador envolve profundidade  energia potencial

Fr = 1  equilíbrio entre energias cinética e potencial

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Velocidade da onda em relação ao líquido  celeridade

Deslocamento na parede

VC se move com a onda

Razão entre U e a velocidade de propagação das perturbações superficiais

Canal aberto com uma parede móvel na extremidade e líquido inicialmente em repouso

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Aplicando as equações básicas sob as idealizações:

- Escoamento permanente e incompressível

- Uniforme numa seção

- sem efeitos viscosos e de tensão superficial

- Variação hidrostática de pressão

- Forças de corpo inexistentes

Da equação da continuidade

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Da equação da quantidade de movimento

Combinando as duas

A distribuição hidrostática de pressão é válida em ondas de águas rasas  Dy << y

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Se o líquido se move com velocidade V. A celeridade é c e a velocidade que um observador num ponto fixo do solo percebe é Vw = V ± c

Fr < 1,0(regime subcrítico)

Fr > 1,0 (regime supercrítico)

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subcrítico ondas podem se mover para montante

supercrítico ondas não podem se mover para montante

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Podemos obter analiticamente expressões para yc em seções com geometria conhecida

Como visto anteriormente, o escoamento crítico ocorre quando

Fazendo yh = A/B e substituindo U por Q/A

Ou ainda

Q2B= gA3

Tanto a área quanto a largura B são função de y e este deve ser igual a yc

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Para seções retangulares (A = By)

Por razões de ordem prática  q = Q/B

Exemplo:Determine yc em um canal triangular, com taludes 1:1, transportando 14 m3/s

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Assim, quando há mudança de regime, y tem que passar por yc

y = yc

I < Ic

I > Ic

Condição crítica  limite entre os regimes fluvial e torrencial

Há diversas situações onde isto ocorre:

Passagem subcrítico  supercrítico

mudança de declividade

Esc. junto à crista de vertedores

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I > Ic

y = yc

I < Ic

Passagem supercrítico  subcrítico

canal com mudança de declividade

Saídas de comporta

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Nas seções de transição  y = yc

há uma relação unívoca

Relação esta conhecida

Seção de controle: é a seção onde se conhece a relação y x Q

Não existe somente seção de controle onde ocorre yc

(chamado controle crítico)

Existem outros tipos de controle ...

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Artificial  associado uma situação na qual y é condicionada por uma ocorrência distinta do regime crítico

Exemplo: ocorrência associada ao nível de um reservatório, um curso d’água, uma comporta, etc.

De canal  y é determinada pelas características de atrito ao longo do canal, ou seja, quando houver a ocorrência de escoamento uniforme

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A noção de controle hidráulico nos faz identificar quando ocorre controle de montante e de jusante

Supor estrutura retangular, de largura b, curta e queda livre a jusante desprezível

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O que acontece se colocarmos uma comporta a jusante e liberarmos a água aos poucos?

O que acontece se colocarmos uma comporta a montantee liberarmos a água aos poucos?

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Primeiramente, pode-se mostrar que:

  • da mesma forma que há uma curva
  • E x y para Q constante, há uma curva
  • q x y para E constante igual a E0

2) Para um canal retangular, a curva q x y dada pela equação abaixo, resultando no gráfico a seguir mostrado

q é a vazão por unidade de largura

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Voltando ...

Escoamento subcrítico controle de jusante

Escoamento supercrítico controle de montante

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perturbação

Escoamento subcrítico controle de jusante, perturbações a jusante podem ser sentidas a montante

Escoamento supercrítico controle de montante, pois as ondas não podem ir para montante

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Exercício: Um canal retangular com largura de 8m transporta uma vazão de 40 m3/s. Determinar a yc e Uc

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Por definição, o escoamento uniforme (EU) ocorre quando:

  • A profundidade, a área molhada, a velocidade, a rugosidade e a forma da seção transversal permanecem constantes;
  • A linha de energia, a superfície da água e o fundo do canal são paralelos
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O EU pode ocorrer em canais muito longos, retos e prismáticos

Nestes canais, a perda de carga devida ao escoamento turbulento é balanceada exatamente pelo decréscimo de energia potencial

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Continuidade, quantidade de

movimento e energia

Idealizações:

1) Escoamento permanente e uniforme;

2)Escoamento à profundidade

constante (profundidade normal);

3) Escoamento incompressível;

4) Escoamento paralelo e à declividade baixa

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Como A1 = A2

Continuidade

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forças de corpo

forças de superfície

Da equação da continuidade

Resultante das forças em x

Quantidade de movimento

Escoamento paralelo  distribuição de pressão hidrostática

Inclinação do canal pequena q≈ 0 q ≈ senq ≈ tgq ≈ Sb

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força de corpo  peso  componente Wsenq

força de superfície  força de atrito Ff

A força de pressão líquida é zero

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Para o caso do escoamento permanente, incompressível e uniforme

Para o escoamento permanente, incompressível e uniforme

  • Perda de carga = desnível
  • As linhas: de energia, piezométrica e de fundo do canal paralelas
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Equação de Chézy (1769)

Assumindo tw proporcional à U2:

Ff = kLPU2, onde P é o perímetro molhado

Substituindo na equação da QM e sabendo que W=gAL (Aárea molhada)

onde C = (g/k)1/2

Equação de Manning (1889)

De natureza completamente empírica

No Sistema Internacional (SI)

Relação entre C e n no SI:

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Equação da energia

A dificuldade primária no uso das equações é a determinação de C e n

Supondo que os mesmos se comportem como o fator de atrito de Darcy-Weisbach

Substituindo D por  4R (lembrar que, para conduto circular, R=D/4)

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C e n  dependem de f  depende de Re e de e

Mas é muito mais difícil determinar e em canais

A partir de um valor de Re  f constante  aplicação das equações em escoamentos HR

Por causa dessa dificuldade  utilizamos valores médios de n

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Procura-se um coeficiente constante que leve em conta os fatores que o influenciam

  • Rugosidade da superfície
  • Vegetação
  • Irregularidade do canal
  • Obstrução
  • Alinhamento do canal
  • Erosão e sedimentação
  • Cota e descarga
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Vegetação: densidade, altura,...

Obstruções: matacões, raízes, troncos,...

básico

Irregularidades: erosões, assoreamentos, depressões,...

O Soil Conservation Service (SCS) desenvolveu um método que parte de um valor básico de n

O valor básico é tabelado e serve para um canal reto, uniforme e liso  depois feitas correções no valor básico, considerando os fatores mencionados

Também chamado método de Cowan

n = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) n5

Grau de meandrização

Variações de seção transversal

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Tabela publicada por Ven Te Chow em 1959. Possui uma relação extensa de valores, função do tipo de canal e das condições deste

Versões resumidas em todos os livros de hidráulica

As tabelas a seguir foram obtidas no livro Curso de Hidráulica, de Eurico Trindade Neves

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Valores de n para Condutos Livres Fechados

* Valores aconselhados para projetos

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Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto

* Valores aconselhados para projetos

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Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto (continuação)

* Valores aconselhados para projetos

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Fotográfico  comparar nosso trecho de rio com seções catalogadas (US Geological Survey)

Medição de velocidades  a partir da distribuição de velocidades para o escoamento turbulento HR, fazendo-se duas medições: a 0,8D e a 0,2D onde D é a profundidade do fluxo

Empírico  relaciona-se n com algum diâmetro do elemento de rugosidade, vindo da curva de distribuição granulométrica

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Dois casos práticos:

  • Verificação do funcionamento
  • hidráulico
  • 2) Dimensionamento hidráulico

Caso 1  Qual a capacidade de condução de um canal de determinada forma, declividade e rugosidade, sabendo qual é a profundidade?

Caso 2  Quais as dimensões que deve ter o canal, de determinada forma, rugosidade e declividade para conduzir uma determinada vazão?

Qual a profundidade normal (yN ou y0)?

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constante

Função de yN

Condutância hidráulica ou fator de condução

Manning (SI)

Determinação da profundidade normal por tentativa e erro ou gráficos

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y

1

z

b

Supondo um canal trapezoidal

A = (b + zy)y

P = b + 2y (1+z2)1/2

Para resolver: adotam-se valores de yN, até igualar os lados

Ou constrói-se um gráfico y x AR2/3 e localiza-se o ponto desejado que satisfaça o lado direito

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Pode-se utilizar de gráficos adimensionais. Por exemplo, para um canal de seção trapezoidal:

yN/D ou yN/b x AR2/3/D ou AR2/3/b

Métodos numéricos também podem ser usados (Newton, Bisecção,...)

As calculadoras científicas atuais podem também resolver este tipo de problema

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Exercício: calcular yN de um canal trapezoidal: largura de fundo de 3m, declividade 0,0016, n = 0,013. Ele tem que ter a capacidade de transportar 7,1m3/s. O talude é de 1,5:1

Valor da constante

Em uma planilha, faz-se variar y

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Algumas vezes temos que estimar o valor de n equivalente ou representativo de uma seção, cuja rugosidade varia ao longo do perímetro

O que se faz então é dividir o perímetro em N partes, cada uma das quais com seu valor de n

Depois, calcula-se o n equivalente ne

Horton (1933)  mais utilizada

Einstein e Banks (1950)

U1 = U2 = ... = UM

Ponderação pelo perímetro molhado

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Quando o escoamento atinge a planície de inundação, P aumenta mais rapidamente que A R, V e Q decrescem

Esta situação é computacionalmente correta, mas não fisicamente: o método anterior pode fornecer estimativa ruim superestimar n

  • Alternativas:
  • Ponderar n pela área de cada subseção;
  • Calcular a condutância hidráulica em cada subseção e depois somá-las
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Ponderação pela área

Soma de condutâncias hidráulicas

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O dimensionamento de um canal leva tem por objetivos:

1) Determinar a forma geométrica

2) Determinar as dimensões

Procedimento simples rápido do ponto de vista hidráulico

Mas envolve outros fatores técnicos, construtivos e econômicos

Presença de avenidas construídas ou projetadas

Limitação de profundidade (lençol freático, etc.)

...

slide90

As seções de perímetros molhados mínimos ou vazão máxima

Procuram eficiência hidráulica e do ponto de vista econômico (superfície de revestimento é mínima)

  • Entretanto, o resultado pode ser:
  • Seções profundas  custos  de escavação maiores, de rebaixamento de NA, não compensando a economia no revestimento
  • velocidades médias incompatíveis com o revestimento
  • Seções com b << y  dificuldades construtivas
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y

1

z

b

Trapézio de perímetro molhado mínimo

A área e o perímetro molhados são:

A = (b + zy)y

P = b + 2y (1+z2)1/2

Utilizando a razão de aspecto m = b/y

Isolando y

substituindo na fórmula de P

Derivada de P em relação a m e igualando a zero

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Ou ainda

Para um canal retangular

y

b

y

y

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1) O projetista deve prever o “envelhecimento” do canal  nprojeto = 10 a 15% maior que ntabelado

2) Deixar uma folga de 20 a 30% acima do nível máximo de projeto, sobretudo para canais fechados

3) Preferir o método de soma de condutâncias hidráulicas para cálculo de seções compostas

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As subseções são divididas por linhas verticais imaginárias, não computadas para o cálculo de Pi

4) A velocidade média  num intervalo que evite deposições e erosões (tabela a seguir)

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O escoamento permanente no qual as características do fluxo variam no espaço é chamado de escoamento variado

Se as mudanças forem graduais  escoamento gradualmente variado (EGV)

Se as mudanças forem bruscas  bruscamente variado

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O contorno influencia mais que o atrito com as paredes

O atrito influencia mais

EGV  declividade de fundo e da superfície livre não são mais as mesmas ao longo do conduto

Da mesma forma, o gradiente energético não é mais paralelo ao gradiente do canal

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Ocorrência de EGV:

  • - trechos iniciais e finais de canais
  • transições verticais e horizontais graduais
  • canais com declividade variável

Declividade variável

Dadas estas interferências no escoamento, ao engenheiro interessa saber como se comportará a linha d’água

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Declividade variável

trecho final de canal

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Quando há um EGV em regime subcrítico, em trechos a montante de um controle artificial  curva de remanso

Em uma determinada seção:

y  profundidade da água

yN  profundidade normal

y – yN  remanso

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Idealizações

A definição da linha d’água  a partir de considerações sobre energia

  • São necessárias algumas idealizações:
  • Canal de pequena declividade;
  • Distribuição hidrostática de pressão (linhas de corrente aproximadamente paralelas);
  • a perda de carga é avaliada por uma equação de resistência do escoamento uniforme
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n independe de y e é constante ao longo do canal

  • A distribuição de velocidade é fixa  a é constante

A natureza do EGV é a mesma do escoamento uniforme, ou seja,

Força motriz gravidade;

Força resistente associada ao atrito ao longo do canal

Entretanto, Sf (gradiente energético total) varia de seção para seção e, geralmente, é diferente de S0

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Das idealizações e da equação da energia

H = y + V2/2g + z ou H = E + z, onde E é a energia específica

Tomando a derivada de H em relação a x (exprime a variação espacial)

O termo d(V2/2g)/dx pode ser decomposto:

V = Q/A,

A = f(y) e y = g(x)  A = f(g(x))

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B

dA=Bdy

yh = A/B

dy

A

Isto resulta em:

onde T  largura da superfície livre

Assim

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-S0

-Sf

- Fr2dy/dx

Voltando à equação original

Equação diferencial do escoamento gradualmente variado (EDEGV)

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Esta expressão é utilizada para estudos qualitativos da linha d’água

Vamos criar duas funções f1 e f2, tal que

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f1 e f2 são funções de y decrescentes  análise da linha d’água  análise do numerador e do denominador da equação diferencial

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0

Análise do numerador  S0, Q e n = cte

Escoamento uniforme

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0

Regime subcrítico

Regime supercrítico

Análise do denominador  idem

Regime crítico

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- declividade fraca ou moderada

  • forte ou severa
  • crítica

Análise da declividade  S0 variável

Para cada S0, há uma yN

Se S0 for igual a Sc  yN = yc

A análise de S0 3 tipos de canais:

yN

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nula

fraca

forte

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Análise da linha d’água, utilizamos o que foi dito antes da seguinte forma:

f1 > 1 e f2 > 1  dy/dx>0  y cresce

f1 < 1 e f2 < 1  dy/dx>0  idem

f1 > 1 e f2 < 1  dy/dx<0

 y decresce

f1 < 1 e f2 > 1  dy/dx<0

 y decresce

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Os perfis de linha d’água dependem:

  • da relação entre a declividade de fundo e a
  • declividade crítica
  • 2) da relação entre y, yN e yc

Os perfis de linha d’água

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Perfis M (MildSlope)

Declividade fraca

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região 1

região 2

região3

slide123

Na região 2

y  yN  dy/dx  0

y  yc dy/dx  ∞

Na região 1

y  yN  dy/dx  0

y  ∞  dy/dx  S0

Na região 3

y  0 

dy/dx  limite finito

y  yc

dy/dx  ∞

slide124

Na região 2: Perto de yc, as Linhas de Corrente (LC) não são mais retas e paralelas, contrariando as idealizações  linha tracejada

slide125

Na região 3: poderá haver ressalto com mudança brusca da curva M3 para o escoamento uniforme ou para a curva M1

slide126

Ocorrências dos perfis M

M1  montante de uma barragem

M2  montante de uma queda brusca

slide127

Ocorrências dos perfis M

M3  mudanças de inclinação, saídas de comporta com abertura inferior a yc

slide128

Perfis S (SteepSlope)

Declividade severa ou forte

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região 1

região 2

região3

slide130

Na região 1

y  yc dy/dx  ∞

y  ∞  dy/dx  S0

Na região 2

y  yc dy/dx  ∞

y  yN  dy/dx  0

Na região 3

y  yN  dy/dx  0

y  0 

dy/dx  limite finito

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Ocorrências dos perfis S

S1  montante de uma barragem,

estreitamentos, mudanças de S0

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Ocorrências dos perfis S

S2  canal de forte S0, alimentado por

reservatório, mudança de S0

S3  jusante de barragens e comportas

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Perfis C (CriticalSlope)

Declividade crítica

Perfis H (Horizontal)

Perfis A (Adverso)

slide134

A

H

M

C

S

Perfis C: caso limite dos perfis S – S0 diminui

Perfis A e H: casos limites dos perfis M quando S0 tende para 0 ou para um valor negativo, respectivamente

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região 1

região3

slide136

As curvas de remanso são o caso limite das curvas M, quando S0  0

H2 e H3 ocorrem em situações análogas à curvas M2 e M3

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Em um canal uniforme, um observador se deslocando no sentido da corrente vê a altura d’água diminuir, desde que a linha d’água esteja entre yc e yN.

  • Se a linha d’água estiver fora da área entre yc e yN  observador vê a altura d’água crescer
slide140

interior

exterior

yN

yc

slide142

Quando a linha d’água se aproxima de yc, ela tende a cruzar esta profundidade em um grande mas finito ângulo

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4. aplicação do conceito de seção de controle:

regime subcrítico  controle a jusante (M1 em

barragem, M2 em queda brusca)

regime supercrítico  controle a montante (M3

em comporta de fundo)

slide144

A

H

M

C

S

  • curvas próximas
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Esboçar a linha d’água

yc

yN

S0 = 0

S0 > Sc

S0 < Sc

ad