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大数定理:   讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理 PowerPoint PPT Presentation


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第 5 章 中心极限定理与大数定律. 大数定理:   讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理. 中心极限定理:   讨论在什么条件下,大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理. 1. 大数定律. 定义 设随机变量序列 { X n } , 如果存在一个常数 列 , 使 得对任意的 ε>0 ,有. 则称 { X n } 服从大数定律.  大数定理. 马尔可夫大数定理. 切比雪夫大数定理. 泊松大数定理. 伯努利大数定理. 辛钦大数定理. 定理 1 ( 马尔可夫大数定律 ) 设 {X n } 为随机变量序列 , 且有

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大数定理:   讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理

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第5章 中心极限定理与大数定律

大数定理:

  讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理

中心极限定理:

  讨论在什么条件下,大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理


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1. 大数定律

定义设随机变量序列{Xn},如果存在一个常数列 ,使

得对任意的ε>0,有

则称{Xn}服从大数定律.


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 大数定理

马尔可夫大数定理

切比雪夫大数定理

泊松大数定理

伯努利大数定理

辛钦大数定理


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定理1 (马尔可夫大数定律)

设{Xn}为随机变量序列,且有

则对任意的ε>0 ,有

证:


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定理2 (切比雪夫大数定律)设 {Xn}是两两不相关随机变量序列,方差一致有界D(Xn)=σn2 <C (n=1,2,...),其中常数C与n无关,则对任意的ε>0,有

证:


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定理3 (泊松大数定律) 设每次试验中事件A发生

的概率为 ,n次重复独立试验中事件A发生的次

数为 ,事件的频率 ,则对任意ε>0,有

证:


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定理4 (伯努里利大数定律) 设每次试验中事件A发生的概率为p,n次重复独立试验中事件A发生的次数为 ,事件的频率有 ,则对任意ε>0,

(伯努里利大数定律是泊松大数定律的特例)

意义:Bernoulli大数定理表明当试验次数无限增加时事件 A 的频率按概率收敛到事件 A的概率.

  这为频率的稳定性提供了理论依据.


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定理5 (辛钦大数定律)设{Xi}为相互独立的随机变量序列,且有相同期望E(Xi)=u,(i=1,2,...),则对任意的ε>0 ,有

注意辛钦大数定理成立的条件中只需 的数学

期望存在;而当  的方差存在时,其即为切比雪夫大

数定理的直接推论.

大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础.


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1.中心极限定理:

概率论中有关论证随机变量和的

极限分布是正态分布(Gauss)分布

的一系列定理。

意义:大量的独立同分布的随机变量之和的分布 可近似认为是正态分布.

这是数理统计中大样本问题研究的理论基础.


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定理6 林德贝格-勒维定理(独立同分布中心极限定理)

设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ2>0,设

注以上定理表明只要n比较大,就有近似结果:


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例1用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?

设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,…,200)

则 X1,X2,…,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100,且

由中心极限定理得X近似服从正态分布,

EX=200EXi=20000,

DX=200DXi=20000,

所求为P(X>20500)=

1-P(X≤20500)

=0.0002

故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.


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例2一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重

量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.9772.

设Xi(i=1,2,…,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则

X1,X2,…,Xn独立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令

由中心极限定理得

所以

即最多可以装98箱.


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定理7若随机变量μn~B(n,p)(n=1,2,…),则对任

意a<b有

注:

(1) 定理称为棣莫佛-拉普拉斯定理.

(2)它表示当n很大时,二项分布可用正态分布近似逼近:

即 若X~B(n,p),当n很大时,有近似结果X~N[np,np(1-p)].


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定理8 (泊松定理)二项概率的泊松近似

例3:每颗子弹击中飞机的概率为0.01, 连发500发,求命中5发的概率.


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例4某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户

中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛-拉普拉斯积分定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值.

解设X表示100户中被盗索赔户数,则

X~B(100,0.2)

由棣莫佛-拉普拉斯定理得: X近似服从正态分布,

EX=np=20, DX=np(1-p)=16,

所以 X~N(20,16)

所求 P(14≤X≤30)

=0.927


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例5某校有4900个学生,已知每天每个学生去阅览室自修的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位,才能以此为准99%的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。


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例:6

某厂有400台同类机器,每台发生故障的概率

为0.02,假如各台机器彼此独立,求最多2台

机器发生故障的概率。

解:


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例7:

某车间有200台独立工作的车床,各台车床开

工的概率都是0.6,每台开工车床要耗电1千瓦,

问供电所至少要供给这个车间多少千瓦电力,

才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电

不足而影响生产。

解:


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查表得


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应用: 用频率代替概率时误差的近似估计

Bernoulli大数定理:

而由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可得


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例6

已知某厂生产一批无线电元件,合格品占1/6

(1)选出6000个这种元件,试问在这6000个元件中,

合格品的比例与1/6之差小于1%的概率是多少?

(2)选出6000个这种元件,试问误差限定为多少时,才能保证频率与概率之差不大于 的概率为0.99? 此时合格品数落在哪个范围内?

(3)选出多少个这种元件,使选出的这批元件中合格品的比例与1/6的差异不大于0.01的概率不小于0.95?

解:把任选n个元件看作n次Bernoulli试验, 为其中

的合格品数,则


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说明相应的合格品数落在 925~1075 之间.

所以至少要选 5336 个元件.

注:若p 未知,则可利用


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