1 / 35

Herhaling kansrekenen ?!?

Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel van deze uitkomsten er gunstig zijn.

bliss
Download Presentation

Herhaling kansrekenen ?!?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Voor het bereken van kansen moet je weten hoeveel mogelijke uitkomsten er zijn voor het gekozen experiment en vervolgens hoeveel van deze uitkomsten er gunstig zijn. Hiervoor is het goed als je handig kan tellen en de rekenformules van de combinatoriek goed kent en beheerst. Het volgende schema kan hier handig bij zijn Herhaling kansrekenen ?!? Herhaling toegestaan Herhaling niet toegestaan Volgorde wel van belang nPr Volgorde niet van belang nCr

  2. Permutatie (volgorde) :Een eerder gekozen element n mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen k elementen maakt wel uit. • Herhalings permutatie : Een eerder gekozen element n mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt wel uit. • Combinatie (groepje) :Een eerder gekozen element mag niet weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit. • Herhalingscombinatie:Een eerder gekozen element mag wel weer gekozen worden. De volgorde van de gekozen elementen k maakt niet uit.

  3. Pin code • Afspelen van 9 nummers van een CD • Toto voor een competitie met 13 wedstrijden • Voorzitter,secretaris en penningmeester van vereniging bestaande uit 28 leden • Groepsvertegenwoordiging van 3 uit 28 • Bestellen opnemen van een ober van 3 mensen met een keuze uit 4 dranken • Gironummers bestaande uit 8 cijfers die niet met een nul mogen beginnen • Scoreverloop van een voetbalwedstrijd met eind uitslag 4-6 • Meerkeuze(4) toets bestaande uit 15 vragen • Verdeling van de kaarten bij klaverjassen • 4 rings’combinatieslot ‘ ?!? Voorbeelden

  4. Kansen en combinaties Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7 Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als Spreek uit : 7 boven 4 Het aantal manieren om k dingen uit n dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n, is 7 4 n k 9.1

  5. Kansen en combinaties Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) = 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 8+4+3=15 . . 15 5 9.1

  6. Vaas met 3 Rode 6 Blauw en 7 witte knikkers. Wat is de kansverdeling voor X= aantal Blauwe knikkers als Eline 3 knikkers pakt? P(0 blauw) = P(1 blauw) = P(2 blauw) = P(3 blauw) = opgave 5 103 ≈ 16 3 102 6 1 ≈ 16 3 101 6 2 ≈ 16 3 100 6 3 ≈ 16 3

  7. Het vaasmodel Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel 9.1

  8. probleem Gloeilampen in dozen van 20 stuks. Willekeurig worden 4 lampen uit de doos gecontroleerd. Alle 4 goed dan wordt de doos goedgekeurd. In een doos zitten precies 2 defecte lampen. vaasmodel Vaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de defecte lampen) en 18 groen. antwoord P(goedkeuring) = P(4 goed) = opgave 9 18 4 ≈ 0,632 20 4

  9. probleem 500 appels wordt verpakt in 20 dozen van elk 25 stuks. Bij deze 500 appels zijn er 10 met een rotte plek. Bereken de kans dat alle appels in de doos gaaf zijn. vaasmodel Vaas met 500 knikkers waarvan 10 rood (de appels met een rotte plek) en 490 groen, je pakt 25 knikkers uit de vaas. antwoord P(alle appels gaaf) = P(geen rode) = opgave 10 490 25 ≈ 0,596 500 25

  10. probleem In een restaurant zijn bij de ingang 20 kapstokken. Er komt een gezelschap van 18 personen binnen. Willekeurig worden de jassen opgehangen. Hoe groot is de kans dat de kapstokken 3 en 12 leeg blijven. vaasmodel Vaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de nummers 3 en 12) en 18 groen. antwoord P(3 en 12 blijven leeg) = opgave 11 2 0 18 18 . ≈ 0,005 20 18

  11. De somregel Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben, dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten dan geldt de somregel . Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan geldt de somregel niet. Zo is als we kijken naar het aantal ogen bij het gooien van twee dobbelstenen P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan, P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’ en ‘product is 4’ hebben de uitkomst  gemeenschappelijk Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel: P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2) 9.2

  12. In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood) b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen) opgave 20 4 2 6 1 4 3 6 0 . . = ≈ 0,333 + 10 3 10 3 4 0 6 3 4 1 6 2 . . ≈ 0,667 = + 10 3 10 3

  13. De complementregel P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) + P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte) 9.2

  14. Vaas met 60 knikkers waarvan 4 rood (de glazen met een barst). Aafke pakt 12 knikkers (de doos met de 12 glazen). a P(minstens 1 glas met barst) = 1 – P(geen glas met een barst) = 1 – b P(alle kapotte glazen in de doos) = opgave 29 56 12 ≈ 0,601 60 12 4 4 56 8 . ≈ 0,001 60 12 9.2

  15. Vaas met 30 knikkers waarvan 20 rood (minder dan 10 km van school). P(minstens 6 minder dan 10 km van school) = P(6) + P(7) + P(8) = opgave 35a 206 10 2 207 10 1 208 10 0 . . . ≈ 0,452 + + 30 8 30 8 30 8

  16. Vaas met 30 knikkers waarvan 12 rood (de jongens). P(minder dan 7 jongens) = 1 – (P(7 jongens) + P(8 jongens)) = opgave 35b ≈ 0,997 127 18 1 128 18 0 . . + 30 8 30 8

  17. Vaas met 30 knikkers waarvan 13 rood. (de meisjes die minder dan 10 km van school wonen) P(3 meisjes die minder dan 10 km van school wonen) = opgave 35c 133 17 5 ≈ 0,302 . 30 8

  18. De productregel Voor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt : P(G1 en G2) = P(G1) ·P(G2) 9.3

  19. Kansbomen Bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken. Je gaat als volgt te werk : Zet de uitkomsten bij de kansboom. Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt. Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst. 9.3

  20. Draaiende schijven Welke kansboom hoort er bij het draaien van de schijven?

  21. Oefenopgave 1 a P(ba,ba,ba) = 2/4 × 1/3 × 1/4 = 2/24 ≈ 0,083 b P(ke,ke,ke) = 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042 c P(ci,ci,ba) = 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042 d P(ci,ci,ci) = 1/4 × 1/3 × 0 = 0

  22. opgave 2 a P(geen banaan) = P(bbb) = 2/4 × 2/3 × 3/5 = 12/60 = 0,2 b P(2 citroenen en 1 banaan) = P(ccb) + P(cbc) + P(bcc) = 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 2/4 × 1/3 × 2/5 = 8/60 ≈ 0,133 c P(3 dezelfde) = P(bbb) + P(ccc) + P(kkk) = 2/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 1/5 = 7/60 ≈ 0,117 d P(2 keer kersen) = P(kkk) + P(kkk) + P(kkk) = 1/4 × 1/3 × 4/5 + 1/4 × 2/3 × 1/5 + 3/4 × 1/3 × 1/5 = 9/60 = 0,15 e P(1 banaan) = P(bbb) + P(bbb) + P(bbb) = 2/4 × 2/3 × 3/5 + 2/4 × 1/3 × 3/5 + 2/4 × 2/3 × 2/5 = 26/60 ≈ 0,433

  23. Een experiment 2 keer of vaker uitvoeren Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment. Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen te berekenen. De productregel gebruik je ook als je hetzelfde kansexperiment 2 of meer keren uitvoert. 9.3

  24. Oefen opgave 3 De schijf wordt drie keer rondgedraaid. a P(3 rode) = P(r r r) = 2/5 × 2/5 × 2/5 = 0,064 b P(geen rode) = P(r r r) = 3/5 × 3/5 × 3/5 = 0,216 c P(2 rood en 1 blauw) = P(r r b) + P(r b r) + P(b r r) = 3 × 2/5 × 2/5 × 1/5 = 0,096 d P(2 rood) = P(r r r) + P(r r r) + P(r r r) = 3 × 2/5 × 2/5 × 3/5 = 0,288 = · (2/5)2 · (3/5)1 2 rood van de 5 1 blauw van de 5 3 niet rood van de 5 2 rood van de 5 3 niet rood van de 5 2 rood van de 5 3 1

  25. opgave 46 De kansen dat ze op rood staan is achtereenvolgens 0,4 ; 0,7 en 0,2. a P(3 keer doorlopen) = P(r, r, r) = (1 - 0,4) x (1 - 0,7) x (1 - 0,2) = 0,144 b P(één keer wachten, niet voor de derde) = P(r, r, r) + P(r, r, r) = (0,4 x 0,3 x 0,8) + (0,6 x 0,7 x 0,8) = 0,432 - - - - - - -

  26. a P(tweejarige wordt 4) = 0,40 x 0,25 = 0,1 b P(pasgeboren muis gaat op driejarige leeftijd dood) = 0,42 x 0,60 x 0,40 x (1 – 0,25) ≈ 0,076 c P(pasgeboren muis wordt geen 3 jaar) = 1 – P(pasgeboren muis wordt 3 jaar) = 1 – 0,42 x 0,60 x 0,40 ≈ 0,899 opgave 48

  27. Experimenten herhalen totdat succes optreedt In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uit een nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoor per keer. 9.3

  28. opgave 60 a P(Sanne wint in 2 sets) = P(SaSa) = 0,6 · 0,6 = 0,36 b P(Johan wint de 1e en Sanne de volgende twee sets) = P(JSS) = 0,4 · 0,6 · 0,6 = 0,144 c P(de partij duurt 3 sets) = P(SJS) + P(SJJ) + P(JSS) + P(JSJ) = 0,6 · 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,6 · 0,6 + 0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,48

  29. opgave 62 toelatings- examen eerste herkansing tweede herkansing derde herkansing S 0,6 S start 0,3 0,4 S S 0,3 0,7 S S 0,3 0,7 S a P(bij de 2e herkansing slagen) = P(S S S) = 0,4 · 0,7 · 0,3 = 0,084 b P(definitief afgewezen) = P(S S S S) = 0,4 · 0,7 · 0,7 · 0,7 ≈ 0,137 0,7 S

  30. Kansen en formules opgave 65 • In vaas I zitten 11 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart. • In vaas II zitten 6 knikkers. Daarvan zijn er x rood. De rest is zwart. • a P(rr) = • b P(zr) = • c Voer in y1 = • Maak een tabel: • Je ziet dat dat y1 maximaal 0,4545 is bij x = 5 en x = 6. • Dus bij 5 rode en 6 zwarte knikkers in vaas I en • 5 rode en 1 zwarte knikker in vaas II. • En bij 6 rode en 5 zwarte knikkers in vaas I en • 6 rode en geen zwarte knikkers in vaas II.

  31. Trekken met en zonder terugleggen 9.4

  32. a P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,417 b P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,316 c P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309 d P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309 opgave 73 3 2 7 3 . 10 5 30 2 70 3 . 100 5 300 2 700 3 . 1000 5 3000 2 7000 3 . 10000 5 9.4

  33. Kleine steekproef uit grote populatie Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 9.4

  34. opgave 75 a P(geen bijtende stoffen) = 0,8510 ≈ 0,197 b P(8 brandende en 2 bijtende) = · 0,608 · 0,152 ≈ 0,017 c P(minstens 9 brandbare) = P(9 brandbare) + P(10 brandbare) = · 0,609 · 0,40 + 0,6010 ≈ 0,046 10 8 10 9 9.4

  35. opgave 79 2 1 a P(één van de twee) = · 0,18 · 0,82 ≈ 0,295 b P(minstens 2 van de 8) = 1 – P(0 of 1) = 1 – (P(0) + P(1)) = 1 – (0,828 + · 0,18 · 0,827) ≈ 0,437 c 20% van 85 is 0,2 · 85 = 17 P(17 van de 85) = · 0,1817 · 0,8268 ≈ 0,096 8 1 85 17

More Related