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内容： · 刚体运动学. · 刚体运动的动力学方程. · 刚体的平面平行运动. · 刚体的定点转动. 第三章 刚体力学 Dynamics of a Rigid Body. 重点： · 刚体上任一点的速度和加速度 · 刚体运动的动力学方程. 难点： · 惯量张量 · 定点转动. 第三章. 刚体可以看成任意二质点之间的相对位置保持不变的质点系，是一个理想化的力学模型。本章讨论刚体运动的一般理论。. （一 ） 刚体运动学.
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内容： · 刚体运动学 · 刚体运动的动力学方程 · 刚体的平面平行运动 · 刚体的定点转动 第三章 刚体力学 Dynamics of a Rigid Body 重点： · 刚体上任一点的速度和加速度 · 刚体运动的动力学方程 难点： · 惯量张量 · 定点转动 第三章
刚体可以看成任意二质点之间的相对位置保持不变的质点系，是一个理想化的力学模型。本章讨论刚体运动的一般理论。 （一）刚体运动学 一个包含有n个质点的质点系的自由度为3n。对于刚体这个特殊的质点系，只要刚体上任意三个不在一直线的质点的位置确定了，刚体的位置也就确定了，因此，刚体运动时能独立变化的坐标变量即自由度为6（为什么？）。若刚体运动时受到某些约束，自由度小于6。 §1刚体 刚体的平动和转动 一、刚体的自由度 在一定约束条件下，确定一个力学系统的位置所需要的独立变量 的个数，称为该系统的自由度。 第三章
由n个质点组成的刚体，似乎需要3n个独立变量？由n个质点组成的刚体，似乎需要3n个独立变量？ 确定刚体的位置，只需确定不在一直线上的三个点的位置即可。 设M1、M2、M3是刚体上三个不共线的点，它们 对固定坐标系应有9个坐标： 由于这三点的距离保持不变，则 因此，自由刚体的独立变量个数或自由度为9-3=6 第三章
二、刚体的两类基本运动：平动和转动 1.刚体的平动 第三章
定理 刚体平动时，体内各点的运动轨迹形状均相同，且在同一瞬时体内各点的速度和加速度均相同。 结论: 刚体平动的问题可归结为点的运动问题来处理。 第三章
A B 刚体在运动过程中，体内任意一直线始终与其原来位置保持平行，则称刚体作平行移动，简称平动。 • 直线平动——平动刚体内各点的轨迹为直线 • 曲线平动——平动刚体内各点的轨迹为曲线 第三章
2.刚体的转动 a)定轴转动:其中有两个质点始终不动 自由度=1 b)平面运动：刚体内任一点始终在平行于 某一固定平面的平面内运动 自由度=3 c)定点转动：只有一点固定不动，整个刚体围绕 通过这一点的某一瞬时轴线转动 自由度=3 d)一般运动：质心平动+绕质心的定点转动 自由度=3+3=6 第三章
定点运动 平面运动 例如: 曲柄连杆机构中 连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点 作直线运动，因此，AB 杆的运动既不是平动 也不是定轴转动，而是 平面运动． 平面运动 第三章
§2 刚体定轴转动 角速度 一、刚体的定轴转动 刚体运动时，刚体内有一条直线保持不动，而整个刚体绕此直线旋转，则称刚体作定轴转动。 • 不动直线称为转轴（轴线、轴） • 不在转轴上的点作圆周运动 第三章
运动方程(转动方程) =f（t） 转角的正负由右手螺旋法则确定。即从Oz轴正端俯视，自固定平面N0至动平面N，若是逆时针转动，则角为正值，反之，则角为负值。 单位：弧度（rad） 二、有限转动与无限小转动 有限转动： 加法不满足交换律，不是矢量。 第三章
是 与 的夹角 是否矢量？ 刚体绕定轴oo’转过一个无限小角度 无限小转动： 定义角位移： P点的位移 因为线位移是矢量，满足交换律 第三章
的大小 三、角速度矢量 ，方向沿转轴 角速度矢量方向沿着该时刻的转动瞬轴 第三章
P点的位矢 ，绕固定轴 作半径为R的圆周运动 ，方向垂直于 和 所在的平面 而 是刚体内长度不变的矢量，且随刚体以 转动。 四、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 其速度大小 推广：若矢量 的长度不变，以 转动，则矢量 的时间导数 第三章
根据加速度定义，及 点P 全加速度的方向 切向加速度 法向加速度 大小 第三章
§3 刚体平面运动 plane parallel motion 一、刚体平面运动 平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为平面图 形S在其自身平面内的运动．即在研究 平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺 寸，只需研究平面图形的运动，确定平 面图形上各点的速度和加速度． 刚体的平面运动可简化为平面图形S 在自身平面内的运动！ 第三章
为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定 平面图形内任意一条线段的位置． 平面运动方程 任意线段AB的位置可用A点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S 的位置决定于 三个独立的参变量．所以 对于每一瞬时t ，都可以求出对应的 ， 图形S在该瞬时的位置也就确定了。 第三章
二．平面运动分解为平动和转动 当图形Ｓ上Ａ点不动时，则刚体作定轴转动 当图形Ｓ上 角不变时，则刚体作平动． 故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动． 例如 车轮的运动． 车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成． 车轮对于静系的平面运动 （绝对运动） 车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动 （牵连运动） 车轮相对车厢（动系Ax y）的转动 （相对运动） 第三章
三、平面运动的运动基点描述法 车轮的平面运动 绕基点A'的转动 随基点A的平动 刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动． 我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 第三章
再例如: 平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II 以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转 角到A'B' 以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转 角到A'B' 图中看出：AB A'B'' A''B' ， 于是有 第三章
所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的α ,都是相同的）基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点) 已知：图形S内一点A的速度 ， 图形角速度 求： 取A为基点, 将动系固结于A点, 动系作平动。 第三章
取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成 指向与 转向一致． 根据速度合成定理 则Ｂ点速度为： 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法． 第三章
C B D vO A O 例 题 1 已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO 。 求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。 第三章
解： C B D vO vCO A vO vO vO vO O O点的速度已知，取O点为基点。 建如图的o-xyz坐标系。 对A点： 对B点： 对C点： 对D点： 第三章
例 题 2 已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚不滑), 曲柄角速度ω。 求：行星轮上M点速度。 第三章
对M点： 解： 取A为基点 第三章
本节重点： 1、系统的自由度 2、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 3、刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动 4、平面运动的运动基点描述法 作业： 周衍柏：p.137-38 p.144-148 习题：3.15，3.16 第三章
回顾 刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动． 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点 随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速 度的方法称为基点法 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的α , 都是相同的）基点的选取是任意的。 第三章
四、瞬时速度中心法（速度瞬心法） 1. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？ ２．速度瞬心的概念 平面图形S，某瞬时其上一点A速度 , 图形角速度，沿 方向取半直线AL, 然后 顺 的转向转90o至AL'的位置,在AL'上取长 度 则： 第三章
①已知图形上一点的速度 和图形角速度可以确定速度瞬心的位置．（P点） 且Ｐ在 顺转向绕A点 转90º的方向一侧． ②已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬心． 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心． ３．几种确定速度瞬心位置的方法 第三章
④已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且 (a) (b) ③已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 过A ,B两点分别作速度 的垂线, 交点P即为该瞬间的速度瞬心. 第三章
⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 ⑤已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直．此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动. (此时各点的加速度不相等) 另：对(4)种(a)的情况，若vA＝vB， 则是瞬时平动． 第三章
确定瞬心位置 B A C C A B (2)无滑滚动的 接触点P为瞬心． (1)已知一点的速度及刚体的角速度 (3) 已知两点的速度方向，且互不平行 (5)瞬时平动， (4) 两点速度方向平行且垂直于这两点的连线 第三章
若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 方向AP，指向与 一致。 ４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法. 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 ５. 注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度 是不一定相同的。不同于刚体作平动。 第三章
五、速度投影定理 ρ A VB VA B 第三章
45° 45° 30° 曲柄滑块机构 例 题 3 已知 曲柄滑块机构的R,。 求 图示瞬时(位置)的 。 解： C为AB杆的速度瞬心， 第三章
C B D vO A O 如轮子沿曲线轨道纯滚动， = vO / R是否成立？ 用瞬心法求轮缘上A、B、C、D四点的速度 因为是纯滚动，圆轮与地面接触点A为速度瞬心 vO ＝ R 第三章
根据 在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。 （ ） [例1] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。 求：当 =45º时, 滑块B的速度及AB杆的角速度． 例 题 4 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 基点法（合成法） 研究 AB，以 A为基点，且 方向如图示。 第三章
根据速度投影定理 不能求出 速度瞬心法 研究AB，已知 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心 能否由速度投影定理求得刚体的角速度？ （ ） 试比较上述三种方法的特点。 第三章
应先求小齿轮的角速度 C 已知: 行星轮系固定轮半径R, 行星轮半径r (只滚 不滑), 曲柄角速度ω。 例 题 5 用瞬心法求行星轮上M点速度 解： C点为瞬心 因只滚不滑， 第三章
车轮沿着直线轨道作纯滚动 定瞬心轨迹和动瞬心轨迹 定瞬心轨迹（空间极迹）：瞬心在固定坐标系中的轨迹 动瞬心轨迹（本体极迹）：瞬心在固连的动坐标系中的轨迹。 第三章
例 题 6 B l u A 梯子AB长 l，一端靠在墙上，如图所示。如将梯子下端 A 以等速 u向右水平地拖动。 求 定瞬心轨迹和动瞬心轨迹。 第三章
y C 建立固联坐标系，瞬心 C 的坐标为： O x 建立固定坐标系 Oxy ，瞬心 C 点的坐标为： B l u A 定瞬心轨迹为以 O为圆心的1/4圆周。 动瞬心轨迹为以杆中点为圆心的1/2圆周。 第三章
Y0 Y O X S X0 O0 六、刚体平面运动中各点的加速度分析 • 基点法 共有5个可能的未知数（aP、aO 、 ） 只有2个标量方程 必须已知5个中的3个量才能求解！ 第三章
已知：R, = const。 求图示位置时滑块的加速度。 例 题 7 选A为基点 第三章
等式两边向BA方向投影 向与AB垂直的方向投影 第三章
aO B vO A O 例题8 圆盘的运动 已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO 、加速度为aO。 求：轮缘上A、B二点的加速度。 第三章
aO B vO A O 取O点为基点，分析A点的加速度 第三章
aO B vO A O 取O点为基点，分析B点的加速度 第三章
作业： 周衍柏：p144-148 习题：3.17, 补充题：半径为R的线轴在水平方向上沿直线作无滑滚动。中部 绕线轴的半径为r，线无滑地绕在轴上，线端点A以不变的速度u 沿水平方向运动，如图所示。求：（1）轴心C的速度和线轴的 角速度；（2）线轴与水平面接触点B的加速度。 第三章
