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第一部分 数学基础 §0-1 常用函数 — 变型 PowerPoint PPT Presentation


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f ( x ). x. bf ( x ). f (- x ). f ( x- x 0 ). f ( x / a ). -f ( x ). x. x. x. x. x. x 0. 第一部分 数学基础 §0-1 常用函数 — 变型. 倍乘 y 方向幅度变化. 平移 ( 原点移至 x 0 ). 折叠 与 f ( x ) 关于 y 轴 镜像对称. 取反 与 f ( x ) 关于 x 轴 镜像对称. 比例缩放 a >1, 在 x 方向展宽 a 倍 a <1, 在 x 方向压缩 a 倍. x, 0< x <1 0 其它.

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第一部分 数学基础 §0-1 常用函数 — 变型

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Presentation Transcript


0 1

f(x)

x

bf(x)

f(-x)

f(x- x0)

f(x/a)

-f(x)

x

x

x

x

x

x0

第一部分 数学基础§0-1 常用函数 —变型

倍乘

y方向幅度变化

平移

(原点移至x0)

折叠

与f(x)关于y轴

镜像对称

取反

与f(x)关于x轴

镜像对称

比例缩放

a>1, 在x方向展宽a倍

a<1, 在x方向压缩a倍


0 1

x, 0<x<1

0 其它

例: f(x)={

f(x)

x

0

1

先折叠

再压缩

最后平移

f(-x)

f[-2(x-2)]

f(-2x)

x

-1

0

x

0

3/2

x

-1/2

0

练习:f(x)={

cos(x), |x|p/2

0 其它

求 f(-x/2+p/4)

§0-1 常用函数—变型(例)

求 f(-2x+4)

解: f(-2x+4)= f[-2(x-2)],包含折叠、压缩、平移


0 1

f(x)

cos(x), |x|p/2

0 其它

f(x)={

x

p/2

-p/2

0

f(-x)

注意:

在缩放前后的变化

x

-p/2

p/2

0

曲线下面积:

§0-1 常用函数—变型(练习)

求 f (-x/2+p/4)

解: f(-x/2+p/4)= f[- (x- p/2)/2],包含折叠、扩展、平移

先折叠, 偶函数折叠后不变

再扩展,最后平移


0 1 1 2

1 , x>0

1/2, x=0

0, x<0

定义: Step(x)={

0

Step(x)

1

x

0

x

§0-1 常用函数注意:1.函数在时域和空域各代表什么物理对象2. 一维向二维扩展,各代表什么物理对象

一. 阶跃函数 Step Function

代表:开关, 无穷大半平面屏


0 1 signum

定义: Sgn(x)={

1 , x>0

0, x=0

-1, x<0

Sgn(x)

1

0

x

-1

§0-1 常用函数 (续)二. 符号函数 Signum

与 Step函数的关系:

Sgn(x)=2 Step (x)-1

原型

代表“p”相移器、反相器


0 1 rectangle function

rect(x)

1

x

-1/2

0

1/2

§0-1 常用函数 (续)三.矩形函数 Rectangle Function

定义

原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1,矩形面积=1, 偶函数

快门; 单缝, 矩孔,区域限定


0 1

y

x0

x

a

0


0 1

y

a

b

x0, y0

0

x

a


0 1 triangle function

底宽:2|a|, 面积: S= |a|

底宽: 2

最大值:tri(0)=1

曲线下面积: S=1

tri(x)

1

1

x

x

-a+x0

x0

a+x0

-1

0

1

又写成:L(x)

要关注它和矩形函数的关系

§0-1 常用函数 (续)四、三角形函数 Triangle Function


0 1 sinc

sinc(x)

1

1

a+x0

x

-1

1

0

x

x0

-a+x0

§0-1 常用函数 (续)五、sinc函数

特点:

最大值:sinc(0)=1;lim sinc(x)=0

x

曲线下面积: S=1,偶函数

0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔

两个一级0点之间的主瓣宽度=2


0 1 sinc1

Sinc函数的重要性:

数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换

物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数

附: sinc2函数

sinc2(x)=[sinc(x)]2

sin2(px)

(px)2

sinc(x)

sinc2(x)

1

0

-1

1

x

§0-1 常用函数五.sinc函数(续)

二维sinc函数:

sinc(x)sinc(y)

sinc2(0)=1, S = 1

与sinc(x)相比,曲线形状不同,但曲线下面积相同,为什么?


0 1 gaussian function

Gaus(x) = exp(-px2)

Gaus(0) = 1

S = 1

是非常平滑的函数,即各阶导数均连续.

Gaus(x)

x

0

§0-1 常用函数 (续)六、高斯函数 Gaussian Function

二维情形:

Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)]

可代表单模激光束的光强分布


0 1 circular function

定义: circ(r) =

1

y

0

x

§0-1 常用函数 (续)七、圆域函数 Circular Function

circ函数是不可分离变量的二元函数

描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率


0 1

a

0


0 1 complex exponential function

w = 2pn

对于简谐振动,q = 2pn t

q:振子的位相角

A

q

0

§0-1 常用函数 (续)八、复指数函数 Complex exponential function

Aexp(jq)=Acosq +jAsinq

推广到二维:

Aexp[j 2p (fxx+fyy)]


0 1

注意

以上定义的函数,其宗量均无量纲. 在处理实际问题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子.

例: 以 rect(x) 代表单缝. 若x单位为cm, 则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝.若x单位为mm,则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝.


0 1

0-1. 已知函数

U(x)=Aexp(j2pf0x)

求下列函数,并作出函数的图形

(1) | U(x) |2

(2) U(x) + U*(x)

(3) | U(x) + U*(x) |2

0-2. 已知函数 f(x)=rect(x+2)+rect(x-2)

求下列函数,并作出函数的图形.

(1) f(x-1)

(2) f(x)sgn(x)

课堂练习(要求写在作业本上)


0 1

0-3. 画出下列函数的图形

(1)

(2)

(3)

(4)

课堂练习(要求写在作业本上)


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