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第四講. 導函數的計算. 課程內容:. 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則. 課程內容:. 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則. 因為複雜的代數函數是基本代數函數經由加、減、乘、除、方根或合成運算的結果,因此為了求得複雜函數的導函數,先利用導函數的定義,建立一些基本代數函數的導函數。

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第四講

導函數的計算

網路教學課程 第四講


課程內容:

1.基本函數的導函數

2.微分法公式

3.連鎖法則

網路教學課程 第四講


課程內容:

1.基本函數的導函數

2.微分法公式

3.連鎖法則

網路教學課程 第四講


因為複雜的代數函數是基本代數函數經由加、減、乘、除、方根或合成運算的結果,因此為了求得複雜函數的導函數,先利用導函數的定義,建立一些基本代數函數的導函數。因為複雜的代數函數是基本代數函數經由加、減、乘、除、方根或合成運算的結果,因此為了求得複雜函數的導函數,先利用導函數的定義,建立一些基本代數函數的導函數。

如果從函數f到f '過程視為一種函數,通常以Dx(讀作”dee x”,稱為dee符號)表示此函數,即Dx:f→f ' ,或Dxf=f ' ,或Dxf(x)=f '(x),因此稱Dx為微分運算子。

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定理因為複雜的代數函數是基本代數函數經由加、減、乘、除、方根或合成運算的結果,因此為了求得複雜函數的導函數,先利用導函數的定義,建立一些基本代數函數的導函數。4-1:基本代數函數的導函數

(a) 若f(x)=k,k為常數,則f'(x)=0,或Dx(k)=0。

(b)若f(x)=x,則f'(x)=1,或Dx(x)=1。

(c)若f(x)=xn,n為正整數,則f‘(x)=nxn-1,或Dx(xn)=nxn-1。

證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,(a)與(b)留給讀者自行練習,這裡僅證明(c),其過程如下:

此結果稱為冪法則(power rule),即Dx(xn)=nxn-1。

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證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,(a)與(b)留給讀者自行練習,這裡僅證明(c),其過程如下:

此結果稱為冪法則(power rule),即Dx(xn)=nxn-1

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可微分函數的定義:證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,

若f '(c)存在,則函數f(x)在x=c可微分。若函數f(x)在區間Ⅰ的每一內點可微分,則稱f(x)在區間Ⅰ可微分。

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證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,1:證明函數f(x)=x2在區間(-∞,∞)可微分。

解:利用定理4-1(c),得f '(x)=2x且在區間(-∞,∞)存在,故f(x)在區間(-∞,∞)可微分。

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證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,2:證明函數 在區間(0,∞)可微分。

解:利用導函數的定義,得 且在區間(0,∞)存在,故f(x)在區間(0,∞)可微分。

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證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,3:證明函數 在區間(-∞,0)與(0,∞)可微分。

解:利用導函數的定義,得 且在區間(-∞,0)與(0,∞)存在,故f(x)在區間(-∞,0)與(0,∞)可微分。

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證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,4:決定函數f(x)=|x|在哪裡可微分。

解:利用導函數的定義,求f '(x),再決定f '(x)的定義域,即可決定函數f(x)可微分的地方,其過程如下:

即 。因此f '(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,∞)

,故函數f(x)在區間(-∞,0)∪(0,∞)可微分。

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從幾何意義也可以了解這樣的結果,如下圖證明:直接使用導函數的定義,就可以證得此定理,(a),曲線y=|x|在點(0,0)是尖角,所以沒有切線,故f'(0)不存在,當x>0,則曲線y=|x|的切線是y=x,其斜率為1,故f'(x)=1,當x<0,則曲線y=|x|的切線是y=-x,其斜率為-1,故f'(x)=-1,此幾何意義與 的代數意義相同,其圖形如下圖(b)。

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如果曲線上某一點的切線存在,那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形,下面定理對此事實有明確的陳述。如果曲線上某一點的切線存在,那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形,下面定理對此事實有明確的陳述。

定理4-2

若f'(c)存在,即函數f在c點可微分,則函數f在c點連續。

證明:必須證明 或 。

考慮

即 ,故證得函數f在c點連續。

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注意:此定理的逆敘述不成立,即函數如果曲線上某一點的切線存在,那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形,下面定理對此事實有明確的陳述。f在c點連續,不能保證函數在c點可微分,最典型的例子是例4,函數f(x)=|x|在任何實數連續,但是f '(0)不存在,即函數f在0點不可微分。

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如果曲線上某一點的切線存在,那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形,下面定理對此事實有明確的陳述。5:證明函數f(x)=[x]在整數點不可微分。

證明:令c為整數,先考慮右極限

其次考慮左極限

因為左、右極限不相等,所以f '(c)不存在,故函數f(x)=[x]在整數點不可微分。

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如果曲線上某一點的切線存在,那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形,下面定理對此事實有明確的陳述。6:證明函數 在0點不可微分。

證明:直接求f的導函數f',其過程如下:

因為f'(0)不存在,故 在0點不可微分。

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一般而言,函數在下列情形不可微分:如果曲線上某一點的切線存在,那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形,下面定理對此事實有明確的陳述。(i) 尖角的地方,如例4,函數f(x)=|x|在x=0處有尖角。(ii) 不連續的地方,如例5,函數f(x)=[x]在整數點不連續。 (iii) 垂直切線的地方,如例6,函數 在原點的切線是y軸,如下圖。

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課程內容:如果曲線上某一點的切線存在,那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形,下面定理對此事實有明確的陳述。

1.基本函數的導函數

2.微分法公式

3.連鎖法則

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所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。

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定理所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。4-3:

若函數f與g可微分,且k為常數,則

(a) kf可微分且(kf)'(x)=k‧f'(x),或Dx[k‧f(x)]=k‧Dxf(x)。

(b) f+g可微分且(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x),或Dx[f(x)+g(x)]=Dxf(x)+Dxg(x) 。

(c) f-g可微分且(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x),或Dx[f(x)-g(x)]=Dxf(x)-Dxg(x) 。

(d) f‧g可微分且(f‧g)'(x)=f(x)g'(x)+ f'(x)g(x),或Dx[f(x)g(x)]= f(x)Dxg(x)+ (Dxf(x))g(x)。此結果稱為乘積法則(product rule)。

(e) 可微分且 ,或

,當g(x)≠0。此結果稱為商法則(quotient rule)。

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證明:直接引用導函數的定義,即可證得,所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。(a)、(b)、(c)部分留給讀者自行練習,這裡僅證明(d)與(e),其過程如下:

即證明(d)。倒數第二個等號是引用極限運算性質,最後的等號是引用函數f與g可微分的性質。

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即證明所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。(e)。類似地,倒數第二個等號是引用極限運算性質,最後的等號是引用函數f與g可微分的性質。

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利用定理所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。4-1與定理4-3求導函數,可以避免冗長的計算過程,如下面例題,直接引用公式求多項式函數及有理函數的導函數。

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所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。7:若f(x)=x5+2x4-4x3+x2+5x+1,求f'(x)。

解:直接引用定理4-1與定理4-3(a)、(b)、(c),即可求得f'(x),其過程如下:

f'(x)=Dxf(x)=Dx(x5+2x4-4x3+x2+5x+1)

=Dx(x5)+2Dx(x4)-4Dx(x3)+Dx(x2)+5Dx(x)+Dx(1)

=5x4+8x3-12x2+2x+5

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所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。8:若 ,求f'(x)。

解:直接引用定理4-3(a)、(b)、(e)與定理4-1

,即可求得f'(x),其過程如下:

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所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。9:若f(x)=(2x12)(5x8),求f'(x)。

解:直接引用定理4-3(a)、(d)與定理4-1,即可求得 f'(x),其過程如下:

f'(x)=Dx[(2x12)(5x8)]=(2x12)Dx(5x8)+[Dx(2x12)](5x8)

=(2x12)(40x7)+(24x11)(5x8)

=80x19+120x19=200x19

另一種方法,先化簡,再引用公式,其過程如下:

f'(x)=Dx[(2x12)(5x8)]=Dx[10x20]=200x19

所得的結果跟前面的一樣。

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所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。10:若f(x)=(x5+x4+x3+x2+x+1)(2x2-x-5),求f'(x)。

解:此種情形直接引用乘積法則比較單純,如果乘開為多項式函數反而複雜,其計算過程如下:

f'(x)=Dx[(x5+x4+x3+x2+x+1)(2x2-x-5)]

= (x5+x4+x3+x2+x+1)Dx(2x2-x-5)

+[Dx(x5+x4+x3+x2+x+1)](2x2-x-5)

= (x5+x4+x3+x2+x+1)(4x-1)

+ (5x4+4x3+3x2+2x+1)(2x2-x-5)

如果需要化簡,才進行化簡,否則此式子就是答案。

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雖然例所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。9與例10不需要乘積法則,也可以求得導函數,但是求超越函數(transcendental function,如三角函數,反三角函數,自然指數函數及自然對數函數)乘積的導函數,就必須引用乘積法則,才能夠求得導函數,後面會再詳細討論。

已經知道,對於任意正整數n,Dx(xn)=nxn-1

,現在考慮n為整數的情形。

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定理所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。4-4

設n是任意整數,則Dx(xn)=nxn-1。

證明:當n大於或等於0的情形,定理4-1已經證明過。現在考慮n是負整數的情形,先將xn寫成分式,再引用商法則,其過程如下:

故得證。

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所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。11:若 ,求y'。

解:其實直接引用商法則,即可求得y',或考 慮乘積法則,其過程如下:

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課程內容:所謂微分法,就是求導函數的方法,雖然已經知道從導函數的定義,可以直接求得導函數,但是其過程過費時又枯燥,此處將建立一些微分法的運算公式,如此可省略冗長的計算過程,對於求複雜函數的導函數更為方便,下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。

1.基本函數的導函數

2.微分法公式

3.連鎖法則

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前一節已經討論過函數四則運算的微分法公式,這一節將討論函數合成運算的導函數公式,也就是合成函數的微分法,此微分法稱為連鎖法則前一節已經討論過函數四則運算的微分法公式,這一節將討論函數合成運算的導函數公式,也就是合成函數的微分法,此微分法稱為連鎖法則(chain rule)。因為有很多的函數可寫成函數的合成,所以使用連鎖法則求導函數是有必要的。

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例如求函數前一節已經討論過函數四則運算的微分法公式,這一節將討論函數合成運算的導函數公式,也就是合成函數的微分法,此微分法稱為連鎖法則h(x)=(x2+x+1)20的導函數,如果沒有連鎖法則,唯一的方法,就是將函數h(x)展開成四十次多項式函數,再求導函數,此種方法浪費時間,且容易發生錯誤。其實函數h可寫成函數g(x)=x20與函數f(x)=x2+x+1的合成,即h(x)=g(f(x)),因此引用連鎖法則,立即可求得正確的導函數。

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在討論連鎖法則之前,讓我們先瞭解德國數學家在討論連鎖法則之前,讓我們先瞭解德國數學家萊布尼茲所建立的導函數符號 。到目前為止,已經知道函數y=f(x)的導函數符號有兩種,其一是”prime”符號,如f',f'(x),或y',其二是”dee”符號,如Dxf,Dxf(x)或Dxy,這二種符號本身沒有任何數學意義,僅表示極限 。

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然而在討論連鎖法則之前,讓我們先瞭解德國數學家萊布尼茲符號不僅是記號,而且具有數學意義,其發展的過程如下:設變數x,從x1改變為x2,則x的改變量x2-x1稱為增量(increment),記為Δx(讀作”delta x”),即Δx=x2-x1,注意Δx不是Δ乘x,而是一個記號,且不一定是正值。

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現在考慮函數在討論連鎖法則之前,讓我們先瞭解德國數學家y=f(x),如果自變數從x改變為x+h,則其增量Δx=(x+h)-x=h,且應變數從f(x)改變為f(x+h),其增量Δy=f(x+h)-f(x),因此

是通過點 (x,f(x))與(x+Δx,f(x+Δx))的割線斜率,當Δx→0,割線斜率逼近切線斜率。

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若以在討論連鎖法則之前,讓我們先瞭解德國數學家萊布尼茲符號 表示切線斜率,則

,這裡 是一個記號,且讀作”dee y dee x”,並不是dy除以dx,所以記號 也表示微分算子,即跟Dx的意義相同。因此,前面所介紹的導函數公式仍然有效,唯符號不同。

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在討論連鎖法則之前,讓我們先瞭解德國數學家12:若y=x5-3x3+5x-10,求 。

解:直接引用定理4-1與定理4-3,其過程如下:

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在討論連鎖法則之前,讓我們先瞭解德國數學家13:求 。

解:直接引用商法則,其過程如下:

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現在,再回到連鎖法則的問題,如果某生產線有兩部機器現在,再回到連鎖法則的問題,如果某生產線有兩部機器f與g,原料x經機器f得到產品u,再經機器g得到產品y,即y=g(u)且u=f(x),因此Dxu是機器f的邊際產量,Duy是機器g的邊際產量,所以Duy與Dxu的乘積應該是整個生產線的邊際產量Dxy,即Dxy=Duy • Dxu,此結果就是連鎖法則的性質。

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定理現在,再回到連鎖法則的問題,如果某生產線有兩部機器4-5

令函數g與f的合成函數是y=(g ◦ f )(x),若f在x點可微分且g在u=f(x)可微分,則g ◦ f在x點可微分且 (g ◦ f )'(x)=

g'(f(x))f'(x),即Dxy=DuyDxu。

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證明:現在,再回到連鎖法則的問題,如果某生產線有兩部機器

因為g'(u)存在,所以函數 存在且 ,將此函數乘以Δu且整理g(u+Δu)-g(u)=g'(u) Δu+Δu ε(Δu),將u=f(x)及Δu=f(x+Δx)-f(x)代入,得g(f(x+Δx))-g(f(x))=g'(f(x))(f(x+Δx)-f(x))

+(f(x+Δx)-f(x)) ε(Δx),此式子等號兩邊除以Δx,得

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此式子等號兩邊取極限現在,再回到連鎖法則的問題,如果某生產線有兩部機器,得

即(g ◦ f )'(x)=g'(f(x))f'(x),若以dee符號表示之,則得Dxy=DuyDxu,故得證。

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注意:如果以萊布尼茲符號表示定理現在,再回到連鎖法則的問題,如果某生產線有兩部機器4-5的結果,即 ,此公式比”prime”及

”dee”符號的公式較容易記得,似乎是等號右邊消去du,即得左邊的式子。雖然此公式不能視為數學上的消去律,但是可以幫助記憶,且容易推廣到二個函數以上的連鎖法則,例如y=h(u),u=g(w)且w=f(x),則

。現在回到此節一開始提到的例子。

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現在,再回到連鎖法則的問題,如果某生產線有兩部機器14:若h(x)=(x2+x+1)20,求h'(x)。

解:先分解函數h,令y=g(u)=u20且u=f(x)=x2+x+1,則y=g(f(x))=h(x),再引用連鎖法則,其過程如下:

注意,最後一定要將u變數還原為x變數。

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現在,再回到連鎖法則的問題,如果某生產線有兩部機器15:若r(x)=[(x2+2)10+5(x2+2)]6,求r'(x)。

解:先分解函數r,令y=h(u)=u6,u=g(w)=

w10+5w及w=f(x)=x2+2,則y=h(g(f(x)))=

r(x),再引用連鎖法則,其過程如下:

最後三個步驟將u與w變數還原為x變數。

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下面定理是應用連鎖法則將冪法則推廣到有理指數下面定理是應用連鎖法則將冪法則推廣到有理指數(exponent)。

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定理下面定理是應用連鎖法則將冪法則推廣到有理指數4-6

設r是任意有理數,則Dx(xr)=rxr-1,這裡x不是函數xr定義域中區間的端點。

證明:因為r是有理數,所以 ,這裡p與q為互質的兩個整數,且p是正整數。首先,證明 ,直接引用定義,其推導過程如下:

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再引用連鎖法則,證明 ,其過程如下:

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,其過程如下:16:若 ,求f'(x)。

解:首先將函數f寫成冪函數形式,即

,再引用定理4-6,其過程如下:

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