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Las combinaciones se forman también de r elementos de un conjunto disponible de n de ellos. Se diferencian de las permutaciones en virtud de que en las combinaciones interesa solamente la selección de elementos y no el orden de ellos. COMBINACIONES.

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COMBINACIONES

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Combinaciones

Las combinaciones se forman también de r elementos de un conjunto disponible de n de ellos. Se diferencian de las permutaciones en virtud de que en las combinaciones interesa solamente la selección de elementos y no el orden de ellos.

Bernardo F y Marco A. G.

COMBINACIONES

Para determinar el número de combinaciones de n objetos de orden r, que se representan mediante Cnro (nr) o nCr, considerando que están formadas las combinaciones Cnr, si a cada una se les permuta sus r objetos, tenemos r! maneras distintas de hacerlo, el producto r!xCnr nos da el total de permutaciones de n objetos dosponibles tomados de orden r, por lo tanto

r!xCnr=Pnr , despejando Cnr= Pnr/r! = n!/[r!(n-r)!].


Combinaciones

Solución: C52=5!/2!(5-2)!=5!/(2!x3!)=120/(2x6)=120/12=10

Que son: {DJ, DO, DP, DV, JO, JP, JV, OP, OV, PV}

Bernardo F y Marco A. G.

Ejemplo: Un comandante de la policía federal tiene a su disposición cinco personas (Daniel, José, Oscar, Pedro y Víctor), requiere para el turno vespertino elegir a dos de ellas para formar una pareja que realice, en cierta zona, el patrullaje correspondiente. ¿De cuántas maneras diferentes el comandante puede formar la mencionada pareja?

Ejemplo: ¿De cuántas formas diferentes un director técnico puede formar el equipo titular de basquetbol (cinco personas), si dispone de diez jugadores?

Solución: C105=10!/[5!(10-5)!]=10!/(5!x5!)=(10x9x8x7x6)/5!

C105=252 formas diferentes


Combinaciones

Bernardo F y Marco A. G.

NÚMEROS COMBINATORIOS

En matemáticas son muy importantes los números combinatorios, que se representan mediante (nr), donde: n es el numerador y r el orden, la expresión que nos da el número combinatorio es n!/[r!(n-r)!].

PROPIEDADES

1) Cuando los números combinatorios son de orden cero, toman el valor uno. (n0)=n!/[0!(n-0)!]=n!/(1xn!)=n!/n!

2) Si el numerador y el orden de los números combinatorios es igual, también toman el valor uno. (nn)=n!/[n!(n-n)!]=n!/(n!x0!)=n!/n!=1

3) Los números combinatorios de orden uno son iguales a n. (n1)=n!/[1!(n-1)!]=n!/(n-1)!=n


Combinaciones

Bernardo F y Marco A. G.

4) Si n es el numerador de dos números combinatorios con un orden cada uno de ellos, que al sumarse complementen dicho numerador (r+[n-r])=n, los números combinatorios son iguales. (nr)=(nn-r), desarrollando el último (nn-r)=n!/([n-r]!x[n-(n-r)]!)

(nn-r)=n!/([n-r]!xr!)L. Q. Q. D.

5) Si dos números combinatorios con igual numerador, pero uno con orden r y el otro con orden r+1, se suman; siempre se tiene otro número combinatorio con numerador n+1 y de orden n+1. (nr)+(nr+1)=(n+1r+1).

Demostración: (nr)+(nr+1)=n!/(r!x[n-r]!)+n!/([r+1]!x[n-(r+1)]!)

Aplicando la fórmula del factorial a los denominadores

(nr)+(nr+1)=n!/(r!x[n-r-1]!x[n-r])+n!/([r+1]xr!x[n-r-1]!)


Combinaciones

Bernardo F y Marco A. G.

Complementando denominadores para igualarlos

(nr)+(nr+1)=n!(r+1)/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!)+n!(n-r)/([r+1]!x[n-r-1]!x[n-r])

Efectuando operaciones

(nr)+(nr+1)=[n!(r+1)+n!(n-r)]/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!)

(nr)+(nr+1)=[n!(n+1)]/([r+1]xr!x[n-r-1]!x[n-r]!)

Aplicando la fórmula del factorial en numerador y denominado, tenemos: (nr)+(nr+1)=(n+1)!/([r+1]!x[n-r]!)

L. Q. Q. D.

EJERCICIOS

I) Trabajando con Excel Obtener el triángulo de Pascal.

II) Mediante los números combinatorios obtener el quinto término del binomio (a+b)7.


Combinaciones

Bernardo F y Marco A. G.

III) De un grupo de diez personas debe elegirse un comité formado por cinco. Calcular el número de comités diferentes que se pueden elegir, si:

  • Las diez personas son elegibles libremente

  • Dos de las personas elegibles no pueden aparecer juntas en el comité

  • Dos de las personas deben estar siempre juntas, dentro del comité o fuera de él

  • En el comité debe haber un presidente

IV) En un plano hay n puntos, sin que haya tres alineados. Calcular el número de rectas que se pueden definir con los puntos del plano.


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