Literatura

1. Literatura M. Bren, J. Gaber: Matematika, naloge iz linearne algebre M. Bren, S. Kapus, A. Žnidaršič: Matematika, naloge iz analize 1 J. Jesenko, M. Bren: Vaje iz matematike, 2. del J. Jesenko, F. Šifrer: Matematika v organizacijski teoriji in praksi, 1., 2. in 3. zvezek

2. ZAPOREDJA

3. Zaporedja: uvodni primeri PRIMER: glavnica, obresti in čas varčevanja. Na bančni račun vložimo 10 000 EUR. Obrestna mera je 3% letno. Kolikšno bo stanje na račun po 5 letih? Koliko časa bi morali varčevati, da bi bilo stanje na računu 20 000 EUR?

4. PRIMER. Nadaljujte dani zaporedji P, T, S, Č, P . . . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … PRIMER. Zapišite zaporedje ostankov pri deljenju zaporednih naravnih števil s številom 4. PRIMER. Veliki vezir je za svojo ozdravitev ranocelniku obljubil toliko žitnega zrnja, kolikor bi ga bilo na šahovnici, če bi na prvo polje postavil 1 zrno, na drugo 2, na tretje 4… Bo veliki vezir zmogel izpolniti svojo obljubo?

5. Zaporedja 1.1. Številska zaporedja 1.2. Lastnosti zaporedij 1.3. Konvergentna zaporedja in Cauchyjev pogoj 1.4. Računanje s konvergentnimi zaporedji 1.5. Zaporedja v

6. 1.1. Številska zaporedja Definicija. Številsko zaporedje je preslikava iz množice naravnih v množico realnih števil f: IN → IR Števila , , …, , … so členi zaporedja.

7. Podajanje zaporedij Funkcijski predpis Zaporedni členi oziroma Rekurzivni obrazec

8. Primeri. Splošni člen Rekurzija (Fibonaccijevo zaporedje)

9. Aritmetično zaporedje Definicija. Zaporedje je aritmetično, če je razlika med poljubnima dvema zaporednima členoma konstantna. - prvi člen, d – razlika (diferenca) zaporedja Zaporedni členi: Funkcija: (splošni člen) Rekurzija?

10. Vsota prvih n členov aritmetičnega zaporedja(aritmetična končna vrsta) Primer. Kolikšna je vsota vseh sodih naravnih števil, ki so manjša ali enaka 1000?

11. Naloga Dano je aritmetično zaporedje 1,4,7,10,… Zapišite splošni člen zaporedja. Izračunajte stoti člen zaporedja. Kateri člen tega zaporedja je enak 1000? Koliko členov tega zaporedja je manjših od 5000? Izračunajte vsoto prvih 200 členov tega zaporedja.

12. Geometrijsko zaporedje Definicija. Zaporedje je geometrijsko, če je količnik poljubnih dveh zaporednih členov konstanten. - prvi člen, q – količnik (kvocient) zaporedja Zaporedni členi: Funkcija: (splošni člen) Rekurzija?

13. Vsota prvih n členov geometrijskega zaporedja(geometrijska končna vrsta) Primer. Izračunajte vsoto geometrijske vrste

14. 1.2. Lastnosti zaporedij Končno zaporedje Neskončno zaporedje

15. DEFINICIJA Zaporedje je monotono naraščajoče natanko tedaj, ko je vsak člen zaporedja večji ali enak predhodnemu členu. Zaporedje je monotono padajoče natanko tedaj, ko je vsak člen zaporedja manjši ali enak predhodnemu členu. Strogo naraščajoče: Strogo padajoče:

16. Primer. Preverite, ali je dano zaporedje monotono (oz. strogo) naraščajoče ali monotono (oz. strogo) padajoče.

17. Omejenost zaporedij DEFINICIJA Zaporedje je navzgor omejeno natanko tedaj, ko obstaja tako realno število G, da velja za vsak neenakost Število G je zgornja meja zaporedja. Če je zaporedje navzgor omejeno, ima neskončno mnogo zgornjih mej. Najmanjša zgornja meja je natančna zgornja meja (oznaka: M)

18. DEFINICIJA Zaporedje je navzdol omejeno natanko tedaj, ko obstaja tako realno število g, da velja za vsak neenakost Število g je spodnja meja zaporedja. Če je zaporedje navzdol omejeno, ima neskončno mnogo spodnjih mej. Največja spodnja meja je natančna spodnja meja (oznaka: m)

19. DEFINICIJA. Zaporedje je omejeno natanko tedaj, ko je omejeno navzgor in navzdol. Velja: Vsako naraščajoče zaporedje je navzdol omejeno, njegova natančna spodnja meja je prvi člen . Vsako padajoče zaporedje je navzgor omejeno, njegova natančna zgornja meja je prvi člen .

20. Primer. Pokažite, da je sta dani zaporedji omejeni.

21. Stekališče, limita Okolica števila Naj bo ε ∈ IR in ε > 0: ε-okolica števila (oznaki: Uε(a) ali U(a, ε))je odprti interval dolžine 2εs središčem v a.

22. DEFINICIJA Število s je stekališče zaporedja natanko tedaj, ko je v poljubni ε-okolici števila s neskončno mnogo členov zaporedja. WEIERSTRASSOV IZREK Omejeno neskončno zaporedje ima vsaj eno stekališče.

23. DEFINICIJA. Število L je limita zaporedja natanko tedaj, ko je edino stekališče omejenega zaporedja. • Ekvivalentne izjave: • zaporedje ima limito L, • zaporedje konvergira k številu L, • zaporedje je konvergentno. • Če zaporedje nima limite, je divergentno.

24. Primer. Poiščite stekališča oziroma limito danih zaporedij.

25. VELJA • Vsako naraščajoče, navzgor omejeno zaporedje • je konvergentno. Njegova limita je njegova • natančna zgornja meja. • Vsako padajoče, navzdol omejeno zaporedje je • konvergentno. Njegova limita je njegova • natančna spodnja meja.

26. PRIMER. Število e in zakon naravne rasti Oglejmo si zaporedje Zaporedje je • naraščajoče an+1 > an, n = 1, 2, . . ., • navzgor omejeno an < 3 in je zato konvergentno. Velja:

27. 1.3. Konvergentna zaporedja in Cauchyjev pogoj IZREK. Število L je limita zaporedja natanko tedaj, ko so v vsaki ε-okolici limite vsi členi zaporedja od nekega dovolj poznega člena naprej. tako, da velja sklep Zunaj poljubne ε-okolice limite leži le končno mnogo členov zaporedja. Pravimo, da ležijo v poljubni okolici limite skoraj vsi členi zaporedja.

28. Primer. Dano je konvergentno zaporedje z limito L = 1. Naj bo ε = 0,001. Izračunajte, koliko členov danega zaporedja leži zunaj ε-okolice limite?

29. VELJA Limita zaporedja je tudi stekališče tega zaporedja. Stekališče zaporedja pa ni nujno njegova limita. IZREK. Če ima zaporedje več stekališč, je divergentno.

30. DEFINICIJA. Zaporedje zadošča Cauchyjevemu pogoju natanko tedaj, ko lahko za vsak ε > 0 najdemo tak , da velja za naravni števili m in n sklep: Enakovredna varianta zgornjega sklepa: IZREK. Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko zadošča Cauchyjevemu pogoju.

31. 1.4. Računanje s konvergentnimi zaporedji Veljajo naslednje trditve: • Limita konstantnega zaporedja je konstanta: • Če konvergentnemu zaporedju dodamo/odvzamemo končno mnogo členov, je preostalo zaporedje konvergentno z isto limito. • Vsako delno (neskončno) podzaporedje konvergentnega zaporedja je konvergentno z isto limito. • Člene več konvergentnih zaporedij lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo. Tako pridobljena zaporedja so prav tako konvergentna.

32. IZREK. Dani sta konvergentni zaporedji • in • Tedaj je • njuna vsota konvergentno zaporedje: • 2. njuna razlika konvergentno zaporedje: • 3. njun produkt konvergentno zaporedje: • 4. njun kvocient konvergentno zaporedje: • ,

33. Za konvergentni zaporedji velja

34. Primeri. Izračunajte dane limite.

35. 1.5. Zaporedja v zaprta realna števila DEFINICIJA. Okolica neskončnosti je vsak navzgor neomejen interval (a,∞), a ∈ IR. Okolica minus neskončnosti je vsak navzdol neomejen interval (−∞, b), b ∈ IR. DEFINICIJA. ∞ (oziroma −∞) je stekališče zaporedja natanko tedaj, ko je v poljubni njegovi okolici neskončno mnogo členov zaporedja.

36. DEFINICIJA. Zaporedje ima limito v neskončnosti oziroma nepravo limito natanko tedaj, ko je ∞ (−∞) njegovo edino stekališče. VELJA Zaporedje ima limito v neskončnosti natanko tedaj, ko so v poljubni okolici neskončnosti skoraj vsi členi zaporedja.

37. Vprašanja Kdaj je zaporedje konvergentno? Zapišite primer konvergentnega zaporedja. Zapišite primer naraščajočega in omejenega zaporedja. Ali je to zaporedje konvergentno? Če je konvergentno, zapišite njegovo limito. Zapišite primer geometrijskega zaporedja z dvema stekališčema, njegov splošni člen in prvih pet členov. Ali je to zaporedje konvergentno? Zapišite primer zaporedja z nepravo limito +∞. Zaporedje ima nepravo limito +∞, če je a) __________ b) __________

38. Motivacija PRIMER. Hoja k mizi K mizi, ki je 1m stran, se pomikamo tako, da z vsakim korakom razpolovimo razdaljo do mize.

40. PRIMER. Ahil in želva (Zenon, 490 - 435 pr.n.š.) Ahil začne loviti želvo, ko je ta 100 metrov pred njim. Ko preteče teh 100 metrov, jih želva, ki beži pred njim, preleze 10. Ko preteče Ahil teh 10 metrov, se želva odmakne za enega in ko preteče Ahil ta meter, se želva spet odmakne za desetino metra in . . . tako brez konca. Ahil nikoli ne ujame želve. Vsakič, ko preteče razdaljo, ki ga loči od želve, se mu ta odmakne za desetino te razdalje. (Kje je napaka?) PRIMER. Kolikšna je vsota 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = ?

41. 2. Številske vrste 2.1. Številske vrste in zaporedje delnih vsot 2.2. Geometrijska vrsta 2.3. Vrste s pozitivnimi členi 2.4. Kriteriji konvergence 2.5. Absolutno in pogojno konvergentne vrste

42. 2.1. Številske vrste in zaporedje delnih vsot DEFINICIJA. Naj bo številsko zaporedje. Številska vrsta je izraz . (1) Števila so členi vrste. Zapis: Seštevanje je binarna operacija, zato vrednost izraza (1) ni določena.

43. DEFINICIJA. Zaporedju priredimo zaporedje delnih vsot . . . . . . . . . . . .

44. Če je zaporedje delnih vsot konvergentno, torej če obstaja limita (in seveda ), definiramo vsoto vrste z limito S in pravimo, da je vrsta je konvergentna. Če ne obstaja, je vrsta divergentna.

45. IZREK (Cauchyjev pogoj). Vrsta je konvergentna natanko tedaj, ko lahko za vsak ε > 0 najdemo tak , da velja sklep POSLEDICA – potrebni pogoj za konvergenco: Zgornji pogoj pa ni zadosten pogoj za konvergenco. PROTIPRIMER. Harmonična vrsta je divergentna.

46. DEFINICIJA. Dano je zaporedje pozitivnih števil Izraz je alternirajoča številska vrsta. IZREK. Alternirajoča številska vrsta je konvergentna natanko tedaj, ko je PRIMER. Alternirajoča vrsta je konvergentna.

47. 2.2. Geometrijska vrsta DEFINICIJA. Dano je geometrijsko zaporedje Geometrijska vrsta je vrsta Zaporedje delnih vsot je konvergentno za −1 < q < 1:

48. Neskončna geometrijska vrsta je konvergentna, če je −1 < q < 1. Njena vsote je tedaj enaka Pri vseh ostalih vrednostih količnika q je divergentna. Primeri. Izračunajte vsoto danih geometrijskih vrst, če je to mogoče.

49. 2.3. Vrste s pozitivnimi členi DEFINICIJA. Vrsta s pozitivnimi členi je izraz , pri čemer je IZREK. Vrsta s pozitivnimi členi je konvergentna natanko tedaj, ko je zaporedje delnih vsot te vrste navzgor omejeno.

50. 2.4. Kriteriji konvergence Primerjalni kriterij Naj bosta invrsti s pozitivnimi členi in naj velja neenakost za vsak n ∈ IN. Tedaj je vrsta s členi minoranta, vrsta s členi pa majoranta. VELJA • če je majoranta konvergentna, je konvergentna tudi minoranta; • če je minoranta divergentna, je divergentna tudi majoranta.