L’objectif est de présenter les principales étapes de construction d’un Modèle éléments finis

1. L’objectif est de présenter les principales étapes de construction d’un Modèle éléments finis La présentation est animée, avancez à votre vitesse par un simple clic Les techniques numériques relatives à la MEF sont présentées dans le chapitre 5 du cours. Elles sont mises en œuvre dans les scripts Matlab de l’application MEFLAB. Bonne lecture

2. Forces nodales Charge répartie Déplacements imposés Domaine continu Domaine discrétisé • Idées de base • Point de départ : Formulation Variationnelle • Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis • forme simple • approximation sur des variables physiques

3. Approximation Éléments Finis Pour chaque élément : Mêmes familles de fonctions pour (Galerkin) Formulation Variationnelle  PTV en Mécanique Efforts donnés sur

4. Notation matricielle Opérateur gradient en petites déformations Loi de comportement Approximation EF avec Matrice raideur élémentaire Pour les efforts internes

5. Pour les efforts externes Approximation EF Vecteur force généralisée élémentaire Assemblage On défini des vecteurs globaux En statique Système global Vous avez utilisé cette démarche pour l’étude des treillis et des portiques.

6. T1 T2 Exemple 1D T(s) « Pb de température » s 0 1 2 variables  approximation à 2 paramètres : T = a0+ a1 s Identification aux nœuds : Fonctions d’interpolation Variables nodales signification physique Exemple : approximation utilisant 3 éléments L’approximation n’assure pas la continuité de la dérivée C’est l’approximation utilisée pour l’élément barre Techniques numériques Approximation nodale

7. (1 s ) Linéaire (1 s s2 ) Quadratique Type Lagrange Interpolation Type Hermite (1 s s2 s3 ) 2 variables par nœud exemple : élément poutre v et  Cubique Éléments à une dimension Espace réel Base polynomiale

8. Les bases polynomiales sont complètes Les bases polynomiales sont incomplètes Éléments à deux dimensions Éléments triangulaires Éléments quadrilatéraux Éléments toriques

9. Les bases polynomiales sont complètes bases incomplètes bases incomplètes Éléments à trois dimensions Éléments tétraédriques Éléments prismatiques Éléments hexaédriques

10. Dréf Dréel s,t,u x,y,z Dérivation : on montre nœuds J matrice jacobienne de la transformation Fct de Nget ==> matrices[B]e Intégration : on montre Transformation géométrique La transformation géométrique permet de passer d’un même élément de référence aux éléments réels du maillage de la structure

11. Points d’intégration sur l’élément de référence Poids  Calcul des matrices élémentaires Pour chaque élément Pour chaque point d ’intégration Calcul de [J] et [J]-1 au point d ’intégration Construction de [D] et [B] Calcul de [B]T [D] [B] det[J] i Calcul de  [N]T [N] det[J] i Accumuler dans [K] et [M] Ng et Intégration numérique A étudier avec les scripts MEFLAB du T3 et Q4

12. Domaine continu Discrétisation géométrique Construction de l’approximation nodale Calcul des matrices élémentaires Assemblage Prise en Compte des Conditions aux limites et Résolution de l’équation matricielle Évaluation des grandeurs élémentaires Bilan

13. Nous venons de présenter la démarche éléments finis Vous l’avez déjà mise en œuvre sur les treillis et portiques En effectuant les calculs sur les éléments réels Vous devez maintenant étudier sa généralisation : éléments de référence transformations géométriques calculs numériques  Techniques Numériques