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欢 迎 指 导 !. . 利用法向量求 点到平面的距离. 一、复习引入. 二、探索新知. 三、归纳小结. 四、巩固迁移. 五、反馈总结. 六、反思作业. 一、复习引入. 问题 1. 设. 则. AB. =. ( x 2 -x 1 , y 2 -y 1 , z 2 -z 1 ). 问题 2. 若 A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 则. (1). (2) 若 M ( x , y , z )是线段 AB 的中点, 则.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


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!


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利用法向量求

点到平面的距离

一、复习引入

二、探索新知

三、归纳小结

四、巩固迁移

五、反馈总结

六、反思作业


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一、复习引入

问题1


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AB

=

(x2-x1, y2-y1, z2-z1)

问题2

若A(x1 , y1 , z1), B(x2 , y2 , z2) , 则

(1)

(2)若M(x,y,z)是线段AB的中点,则


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如果n,那么向量n叫做平面的法向量.

问题3

平面的法向量

如果 是平面的法向量,

那么


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问题4

①设

A

②向量a在轴l上或在e方向(e是l上同方向的单位向量)上的投影:

l

O

B

A

O

B

l


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A

o

B

二、探索新知

?

已知平面 ,点A , 设 是平面 的

法向量,则点 A到 的距离AO的长如

何表示呢


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A

o

B

在直角三角形AOB中,得

即点 A到平面 的距离为


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A

o

B

其中,是平面 的

单位法向量


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A

o

B

B'

重点理解:

点A到平面 的距离 可以看成 (点B是平面 内任一点)在平面 的法向量 的方向上的射影的长度:

其中,是平面 的

单位法向量


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A

o

B

1


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A

A'

d

B

B'

即向量 在法向量 上的射影的长度


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教师引导,学生总结:

法一:设 是平面 的法向量,在 内取一点B, 则点 A到 的距离

法二:设 于O,利用 和点O在 内的向量表示,可确定点O的位置,进而求出 .

A

B

O

A

B

说明:

用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,利用平面的法向量,把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内的任意一点B所构成的向量 在法向量 方向上的射影的长度,此种方法具有程序化,不需技巧,可以人人学会。


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例 如图,已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.

解 :

G

D

C

F

A

B

E


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解:

如图建立空间坐标系,

F(2, 0, 0)

,E(4, 2, 0)

,

G(0,4,2),

设平面的法向量为

,则

G

z

D

y

C

∴x=-y,z=-3y.

F

令y=-1,

A

x

B

E

返回


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=0 ,

= 0 ,

z

=(1,1,3).

x

设面GEF的法向量为

y

解:如图建立空间直角坐标系,则G(0,O,2),F(4,2,O),E(2,4,0),B(0,4,O).

G

=(2,-2,0),

=(2,4,-2),

D

C

∴ 2x-2y=0,2x+4y-2z=0,

F

∴x=y,z=3y.

令y=1,则

A

B

E

=(2,0,0).

∴点B到面GEF的距离为


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三、归纳小结

(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点的坐标;

用法向量求点到平面距离的一般过程是:

(2)求出平面的法向量 ;

(3)作向量 (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点);

(4)求向量 在法向量 上的射影的长度

( 其中 是与 同方向的单位法向量)


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三、归纳小结

(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点的坐标;

用法向量求点到平面距离的一般过程是:

(2)求出平面的法向量 ;

(3)作向量 (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点);

(4)求向量 在法向量 上的射影的长度

( 其中 是与 同方向的单位法向量)


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D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

四、巩固迁移

变式题 :已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求点A 到平面A1C1D的距离.

z

y

x


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S

C

A

B

迁移题 如图,已知 ABC是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,且SA⊥平面ABC, SA= 3a, 求点A到平面SBC的距离.

z

y

x


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五、反馈总结

(1)建立空间直角坐标系是关键,求点的

坐标要准确;

(2)在求法向量的过程中,解方程组之后,

不能令x或y或z 为0;

(3)点到平面的距离公式 中,

点A为平面外一定点,点B为平面内任一点, 为平面 的法向量.

(4)公式实质为


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五、归纳总结

利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算问题 运用平面的法向量求立体几何中的距离问题时,首先要建立适当的坐标系,进而将向量坐标化,求出平面的法向量,再代入公式求解。需要注意的是:

(1)在求法向量的过程中,解方程组之后,不能令x或y或z 为0;

(2)建立空间直角坐标系是关键,求点的坐标要准确;

(3)对点到平面距离公式的推导过程要认真领会,

掌握公式: , 并会应用.


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D1

C1

A1

B1

D

C

A

B

六、反思与作业

反思: 通过本节课谈谈自己的收获

是什么?

作业:

在棱长为2的

正方体 中,

E、F分别是棱

的中点. 试用向量方法

求点 到平面EFBD的距离.

E

F


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法向量的应用:点到面的距离

z

y

x


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