Funciones reales

1. f(x) f(x) + g(x) g(x) x 1 Suma y diferencia de dos funciones • Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: • Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f)  Dom(g) • Diferencia: (f - g) (x) = f(x) - g(x). Por tanto: Dom(f - g) = Dom(f)  Dom(g) Final

2. EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = x+1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  g(1) = 1/0 = ∞ , que no existe. Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x+1 + 1 / ( x – 1) = (x2 – 1 +1) /(x-1) = x2 / (x-1) Como se ve Dom (f+g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios. La función suma es posible efectuarla en todo R excepto en x=1 EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = √x y g(x) = √-x Dom f(x) = R+ , pues x debe ser positivo para que exista una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R- , pues x debe ser negativo para que exista una imagen o valor de f(x) Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = √x +√-x Como se ve Dom (f+g)(x) = 0, intersección de los dominios. La función suma sólo existe cuando x=0 Apuntes 1º Bachillerato CT

3. Dom (-f) Dom (f) y =- f(x) y = f(x) 2 Función opuesta Si f es una función, se define su función opuesta -f de la siguiente forma: (-f)(x) = - f(x) siendo el dominio de -f el mismo que el de f (x, f(x)) (x, -f(x)) Final

4. puntos con imagen negativa y = f(x) y = |f(x)| 3 Valor absoluto de una función Si f es una función, se define el valor absoluto de f, |f|, como: |f|(x) = |f(x)|, para todo x que pertenece al dominio de f. Conocida la gráfica de y = f(x), ¿cómo construir la gráfica de y = |f(x)|? Simetrizamos las partes negativas respecto al eje OX Final

5. 4 Producto y cociente de dos funciones • Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: • Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x). • Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f)  Dom(g) • Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x)  0 se define: • Cociente: (f / g) (x) = f(x) / g(x). Por tanto: • Dom(f / g) = Dom(f)  Dom(g) - {x  R : g(x)  0} Final

6. EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = x – 1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞ , que no existe. Sea (f . g)(x) = f(x) . g(x) = ( x – 1) . 1 / ( x – 1) = (x– 1) / (x - 1) = 1 A pesar de que el resultado, (f.g)(x) = 1) es una constante, independiente de x , el Dom (f .g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios. EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = √x - 1 y g(x) = √ 2 - x Dom f(x) = V x є[1 , +∞) Dom g(x) = V x є (-∞ , 2] Sea (f .g)(x) = f(x) . g(x) = √x-1 .√2-x = √ - x2 + 3x - 2 Como se ve Dom (f+g)(x) = [1, 2], intersección de los dominios. Apuntes 1º Bachillerato CT

7. g f R R R x (2x-1)2 x 2x-1 = t t2 = (2x-1)2 g R R R f Rec(g) Rec(fog) Rec(f) Dom(g) Dom(fog) Dom(f) 5 Composición de funciones La función h(x) = (2x - 1)2 es la composición de dos funciones: g(x) = 2x-1 y f(t) = t2 Final h(x) = f(g(x)) = f(2x-1) = (2x - 1)2 = (f o g)(x) Dominio de la composición de funciones • El dominio de fog está formado por los x tales que • x está en el dominio de g • g(x) está en el dominio de f

8. Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones: (f o g)(x) = f [ g (x) ] ,, (g o f)(x) = g [ f (x) ] COMPOSICIÓN DE FUNCIONES g f X Z Y g(x) x f(g(x) fog Apuntes 1º Bachillerato CT

9. Ejemplo_1 Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2 Ejemplo_2 Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) Ejemplo_3 Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x)2 – 1 Apuntes 1º Bachillerato CT

10. Ejemplo_4 3 Sea f(x) = √ x ,, g(x) = √ x2 3 6 3 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x2 ) = √ x2 = √ x 3 3 (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x)2 = √ x Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) Ejemplo_5 Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 ,, h(x) = √x (f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = sen ((√ x)2 – 1) = sen (x – 1) (g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (sen √ x) 2 – 1 A veces entran en juego tres o más funciones para la composición de las mismas. Se han hecho dos de los seis ejemplos posibles. Apuntes 1º Bachillerato CT

11. 6 Funciones inyectivas Un función f tiene la propiedad de la recta horizontal en un dominio D, si para todo valor c del recorrido de la función, la recta y = c corta a la gráfica de f en un solo punto. f no tiene la propiedad de la recta horizontal f tiene la propiedad de la recta horizontal Formulación algebraica de la propiedad de la recta horizontal: una función f es inyectiva en D si para a,b  D tal que f(a) = f(b) se tiene que a = b Final

12. (f(x), x) • (f(x), x) • (x, f(x)) • (x, f(x)) Función inversa Si f inyectiva, la función inversa f, escrita f -1, satisface x = f -1(y)  y = f(x) • Como consecuencia: • El dominio de f es el recorrido de f -1 • El recorrido de f -1es el dominio de f • Si (x, y) está sobre la gráfica de y = f(x), (x, y) está sobre la gráfica de f -1. Por tanto las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Final f -1(x) f -1(x) f(x) f(x)

13. Sea y = f(x) una función real de variable real. Llamamos función INVERSA a la expresión y = f -1 (x) Condición: Si f(a) = b  f -1 (b) = a Relaciones entre una función y su inversa: (f -1 o f )(x) = f -1 [ f (x)] = x (f o f -1 )(x) = f [ f -1 (x) = x Es decir, que (f -1 o f )(x) = (f o f -1 )(x) = x Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, o sea respecto a la recta y = x Una función tiene función inversa sólo si cualquier línea horizontal corta a la gráfica una vez como máximo. FUNCIÓN INVERSA DE OTRA Apuntes 1º Bachillerato CT

14. Para hallar la función inversa, si la tiene, se despeja la variable x en la ecuación y= f(x) y después se intercambian las x por las y. Ejemplo 1 Sea f(x) = x2 - 1 y = x2 – 1  x = y2 – 1  y2 = x + 1  y = +/- √(x+1) La función resultante No es función, por lo tanto la función dada no tiene inversa. Ejemplo 2 Sea f(x) = 1 / (x – 2) y = 1 / (x – 2)  x = 1 / (y – 2)  x.y – 2.x = 1  y = (1 + 2.x) / x Luego f -1 (x) = (1 + 2.x) / x es la inversa de la función dada. Comprobemos: (f o f -1)(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] – 2) = x (f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x – 2)]) / [1 / (x – 2)] = x Apuntes 1º Bachillerato CT

15. Ejemplo 3 Sea f(x) = sen x - 1 y = sen x – 1  x = sen y – 1  sen y = x + 1  y = arc sen (x + 1) Luego f -1 (x) = arc sen (x + 1 ) Comprobemos: (f o f -1)(x) = sen [arc sen (x+1)] – 1 = (x + 1) – 1 = x (f -1 o f)(x) = arc sen (sen x – 1 + 1) = arc sen (sen x) = x Ejemplo 4 Sea f(x) = √ (x – 1) y = √ (x – 1)  x = √ (y – 1)  x 2= y – 1  y = x2+ 1 Luego f -1 (x) = x2+ 1 Comprobemos: (f o f -1)(x) = √ (x2+ 1– 1) = √ x2 = x (f -1 o f)(x) = [√ (x – 1)] 2+ 1 = x – 1 + 1 = x Apuntes 1º Bachillerato CT

16. Ejemplos gráficos 1 y 2 y = - 2.x y = 2.x + 1 y = - x / 2 y = (1/2).x - 2 En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa. Apuntes 1º Bachillerato CT

17. Ejemplos gráficos 3 y 4 y = x2 +1 y = ex y = ln x y = √ (x-1) En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa. Apuntes 1º Bachillerato CT

18. M' es cota superior de f(x) en D = R m' es cota inferior de f(x) en D = R El supremo S, es la menor de las cotas superiores M'' es cota superior de f(x) en D = R m'' es cota inferior de f(x) en D = R El ínfimo I, es la mayor de las cotas inferiores 8 Funciones acotadas • Una función y = f(x) está acotada superiormente (inferiormente) en un conjunto D si existe un número M (m) tal que f(x)  M (m f(x)) para todo x de D. Se dice que M (m) es una cota superior (inferior). • Una función acotada superior e inferiormente se dice que está acotada S y = f(x) I y = g(x) • y = f(x) está acotada • y = g(x) no está acotada Final

19. f(y) ] b ] b [ a [ a x y x y 9 Crecimiento y decrecimiento de una función f(x) f(y) f(x) Final Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b] f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b]

20. D S t s T 10 Máximo y mínimo de una función • El máximo de una función f en D es el mayor de los valores que toma f en D. • El mínimo de una función f en D es el menor de los valores que toma f en D. Máximo, de valor S en el punto s, de f(x) en el conjunto D Mínimo, de valor T en el punto t, de f(x) en el conjunto D Final