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§4 矩阵的逆

第四章 矩阵. §1 矩阵概念的一些 背景. §4 矩阵的逆. §5 矩阵的分块. §2 矩阵的运算　　. §6 初等矩阵. §3 矩阵乘积的行列 式与秩. §7 分块乘法的初等 变换及应用举例. §4.1 矩阵概念的一些背景. 一、矩阵的概念. 二、矩阵的相等. 三、一些特殊矩阵. 数表　 称为一个 矩阵 ．. 记作：. 一、矩阵的定义. 1 ．定义. 设矩阵. 若. 二、矩阵的相等. 定义. 则称 矩阵 A 与 B 相等 ，记作 A ＝ B ．. 零矩阵. 行阵.

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§4 矩阵的逆

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  1. 第四章 矩阵 §1 矩阵概念的一些 背景 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §2 矩阵的运算　　 §6 初等矩阵 §3 矩阵乘积的行列 式与秩 §7 分块乘法的初等 变换及应用举例

  2. §4.1 矩阵概念的一些背景 一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵

  3. 数表　 称为一个 矩阵． 记作： 一、矩阵的定义 1．定义

  4. 设矩阵 若 二、矩阵的相等 定义 则称矩阵A与B相等，记作 A＝B．

  5. 零矩阵 行阵 列阵 方阵 三、一些特殊矩阵

  6. 对角矩阵 单位矩阵 数量矩阵

  7. 设 矩阵 即 负矩阵 称为A的负矩阵，记作－A .

  8. §4.2 矩阵的运算 一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置

  9. 设 　 则矩阵 称为矩阵A与B的和，记作　 ．即 一、加法 1．定义

  10. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 说明 例如

  11. (1) 交换律 (2) 结合律 (3) (4) 定义 2．性质 3．减法

  12. 设 则 矩阵 其中 二、乘法 1．定义 称为 与 的积，记为 ．

  13. ①乘积 有意义要求A 的列数 = 的行数. ② 乘积 中第 行第 列的元素由 的第 行 乘 的第 列相应元素相加得到． 注意 如 不存在.

  14. 令 则（1）可看成矩阵方程 例1 线性方程组

  15. 例2． 例3． 而 无意义．

  16. 例4．

  17. ① 一般地， ② 未必有 或 ． 若 ，称A与B可交换． 即 且 时， 有可能 ． ③ 未必 ． 注意

  18. (5) 2．矩阵乘法的运算规律 (结合律) （分配律)

  19. 证：1）设 令　　 其中　　 的第i 行第l列元素为 的第i 行第l列元素为 结合律得证.

  20. 设 为 级方阵． 定义 称 为 的次幂. 个 3．矩阵的方幂 定义

  21. (3) 一般地 , 性质

  22. 例5．设 求 解:

  23. 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时， 由此归纳出 用数学归纳法证明之.

  24. 故对于任意 都有

  25. 设 　 则矩阵 称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积.记作： 即 三、数量乘法 1．定义

  26. 2．性质 注: 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的 线性运算.

  27. (6)若 A 为 n级方阵， (数量矩阵与任意矩阵可交换) (数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法)

  28. 设 的转置矩阵是指矩阵 记作 或 ． 四、转置 1．定义

  29. (5)　若 为方阵，则 2．性质

  30. 设 中 的元素为 从而 中 　的元素为 又　的第 i 行元素为　　 的第 j 列元素为　　 中的 元素为 证 (3)：

  31. 设n级方阵 (1) 若 满足 即 (2)若 满足 即 3．对称矩阵　反对称矩阵 定义 则称 A 为对称矩阵； 则称 A 为反对称矩阵.

  32. (1) 对称 对称 ; 反对称 反对称． (2)　 对称， 对称 ； 反对称， 反对称． 为奇数时， 性质 (3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零．

  33. 例7已知 皆为 n级对称矩阵，证明： 对称 证： 若AB对称，则有 反过来，若AB=BA，则有 所以 AB 对称.

  34. 例8设 A 为 n级实对称矩阵,且 ，证明： 设 证：

  35. 又 皆为实数

  36. §4.3 矩阵乘积的行列式与秩 一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩

  37. 则 其中 引入 行列式乘法规则

  38. 定理1设 为数域 上的 级矩阵，则 推论1为数域上的 n级方阵，则 一、矩阵乘积的行列式

  39. 设 为数域 上的 级方阵， 若 ，则称 为非退化的； 若 ，称 为退化的． 注： 级方阵 非退化 ； 级方阵 退化 二、非退化矩阵 定义

  40. 推论2设 为数域 上的 级矩阵，则 非退化 都非退化 退化 或 退化 非退化 且 都非退化 . 证：

  41. 令 设 的行向量组为 定理2设 为数域 上的矩阵，则 的行向量组为 三、矩阵乘积的秩 证： 则向量组合

  42. 同理， 所以 ． 故 可由 线性表示. 即有

  43. 推论3如果 ，则

  44. §4.4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程

  45. ② 可逆矩阵A的逆矩阵　　也是可逆矩阵，且 ① 可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作 ③ 单位矩阵 E 可逆，且 一、可逆矩阵的概念 定义 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵. 注：

  46. 设　 是矩阵　　　　　中元素 的代数 二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 1、伴随矩阵 定义 余子式，矩阵 称为A的伴随矩阵. 性质：

  47. 同理, 证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得,

  48. 2、定理3：矩阵A可逆当且仅当　　　 （即A 非退化的），且 证：若　　　　由 得 所以，A可逆，且 反过来，若A可逆，则有 两边取行列式，得

  49. 3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 则A、B皆为可逆矩阵，且 证： 从而　　　　 即有， 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 再由　　　　

  50. 例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.

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