אנרגיה קינטית ועבודה

1. אנרגיה קינטית ועבודה באולימפיאדה בשנת 1996 הושג שיא בהנפה של 260 ק"ג (הרמה מעל הראש). בשנת 1957 נכנס פול אנדרסון מתחת למשטח, הניח את ידיו על שרפרף והרים את המשטח בעזרת כתפיו. על המשטח היו חלקי מכוניות וכספת מלאה עופרת במשקל כולל של 27900 ניוטון. מי עשה יותר עבודה בהרמת המשקל?

2. אנרגיה באופן עקרוני בעיות תנועה ניתנות לפתרון בעזרת חוק II של ניוטון. בעזרת חוק זה מוצאים את התאוצה, ואז בעזרת אינטגרציה פותרים את משואות התנועה ותנאי ההתחלה ומוצאים את המהירות והמיקום. m d2r / dt2 = m a = F v(t) = ∫a(t) dt r(t) = ∫v(t) dt

3. יש כמה בעיות עם הגישה הזאת 1. לא תמיד הכוח ידוע 2. גם אם הכוח ידוע לא תמיד ניתן לפתור את משואות התנועה. 3. הניתוח של התנועה דורש פרטים שלא תמיד ידועים. לדוגמה גוף מחליק במורד מישור משופע שיש לו עליות ומורדות. לא נוכל למצוא, ממשואות התנועה מה תהיה מהירותו כשיגיע לקצה המישור.

4. התברר עם השנים שיש טכניקה לטיפול בבעיות אלו. התברר שהטכניקה הזו שימושית גם במקרים בהם אין תנועה, כמו למשל ריאקציות כימיות או לסיטואציות של פונקציות ביולוגיות או תהליכים גיאולוגים. לטכניקה הזו קוראים אנרגיה. אנרגיה מופיעה בצורות רבות ולא תמיד קל למצוא לה הגדרה מדויקת. עבורנו אנרגיה היא גודל סקלרי המתאר מצב של גוף אחד או צבר של גופים.

5. אנרגיה היא מספר (סקלר) הקשור לקבוצת גופים. הפעלת כוח משנה למשל את מהירותו של אחד הגופים והאנרגיה של המערכת משתנה. התברר גם שאם מגדירים את האנרגיה בזהירות, אפשר, במקרים רבים, לנבא תוצאות של ניסויים. אחת הצורות של אנרגיה היא אנרגיה קינטית הקשורה למצב התנועה של הגוף. ככל שהוא נע יותר מהר האנרגיה הקינטית יותר גבוהה. במצב נייח האנרגיה הקינטית היא אפס. K = (½)mv2 [K] = kg (m/s)2 = Joule 1 Joule = 107 erg = 107 g(cm/sec)2 הערה: הגדרה זו של אנרגיה קינטית תופסת רק במהירויות קטנות יחסית למהירות האור.

6. עבודה כאשר פועל על גוף כוח, הוא מגדיל את מהירות הגוף ולכן מגדיל את האנרגיה הקינטית שלו. הכוח העביר אנרגיה ממקור הכוח לגוף. העברת אנרגיה דרך הכוח קרויה עבודה, W. העבודה W חיובית אם אנרגית הגוף גדלה ושלילית אם היא קטנה. עבודה W היא העברת אנרגיה. לעשות עבודה פרושה להעביר אנרגיה. יחידת העבודה גם היא ג’ול (Joule)

7. d חרוז נע על תיל מרחק d בהשפעת כוח קבוע F. תוך כדי כך מהירותו משתנה מ- v0ל -v . מהי עבודת הכוח? F  x v0 v Fx = max ax = Fx/m v2 =v02 + 2axd v2 -v02 = 2Fxd/m (½)mv2 – (½)mv02 = Fxd W = Fxd W = F cos  d W = F•d הערות: 1. הוכחה זו תופסת לגבי כוח קבוע בלבד. 2. הגוף חייב להיות קשיח. כל חלקיו חייבים לנוע יחד. [W] = N.m = kg m/s2 .m = kg (m/s)2 = Joule

8. סיכום • לחישוב העבודה הנעשית על גוף ע"י כוח לאורך העתק יש צורך להשתמש רק ברכיב הכוח לאורך ההעתק. 2. הרכיב המאונך להעתק אינו מבצע עבודה 3. הכוח עושה עבודה חיובית אם יש לו רכיב בכיוון ההעתק, ועבודה שלילית אם הרכיב מנוגד להעתק. משפט העבודה – אנרגיה קינטית אם כוח עושה עבודה W על גוף וכתוצאה מכך השתנתה האנרגיה הקינטית ב - K אזי קיים K = Kf – Ki = W

9. דוגמה בזמן סערה דוחפת הרוח ארגז לאורך העתקd = -3i בכוח הנתון ע"י F = 2i –6j כאשר הכוח ניתן בניוטון וההעתק במטרים. d F מהי העבודה שעושה הכוח? W = F•d = ( 2i – 6j) •(-3i) = -6 Joule האנרגיה הקינטית ההתחלתית של הארגז היא 10J. מהי האנרגיה הקינטית הסופית? Kf – 10 = -6 Kf = 4 J

10. עבודה הנעשית ע"י כוחות גרביטציוניים v כדור שמסתו m נזרק כלפי מעלה במהירות התחלתית v0. כלפי מטה פועל רק הכוח הגרביטציוני mg. mg v0 d העבודה שעושה כוח הגרביטציה mg Wg = mgd cos = -mgd העבודה שלילית כיון שהגוף נע בניגוד לכיוון כוח הגרביטציה. הכוח הגרביטציוני מעביר אנרגיה בכמות mgd מהאנרגיה הקינטית. לעומת זאת אחרי שהגוף הגיע לשיא הגובה והוא מתחיל ליפול העבודה תהיה Wg = mgd הכוח הגרביטציוני מעביר עכשיו אנרגיה לאנרגיה הקינטית של הגוף.

11. נניח שאנו מרימים אנכית גוף ע"י הפעלת כוח אנכי F. הכוח עושה עבודה חיובית W aבזמן שהגרביטציה עושה עבודהשלילית W g. השינוי באנרגיה הקינטית K = Kf – Ki = Wa + Wg

12. אם אין שינוי באנרגיה הקינטית, כלומר לגוף יש אותה מהירות לפני ואחרי ההרמה Wa + Wg = 0 Wa = - Wg העבודה שעושה הכוח החיצוני היא הערך השלילי של העבודה הנעשית ע"י כוח הגרביטציה. Wa = -mgd cos F F הנמכה הרמה d d mg mg  = 0°  = 180°

13. נחזור לספורטאים. זוכה מדלית הזהב הרים 260 ק"ג לגובה של 2 מטר. העבודה שעשה כוח הגרביטציה Wg = mgd cos  = 2548 • 2 • cos 180 = -5100 העבודה שעושה הספורטאי היא 5100 ג’ול. פול אנדרסון הרים 27900 ניוטון לגובה של 1 ס"מ. העבודה שהוא עשה Wa = -Wg = - mgd cos  = - 27900 • 0.01 • (-1) = 280 J

14. עבודה של כוח משתנה באופן כללי, הכוח הפועל על הגוף איננו קבוע אלא משתנה. דוגמה פשוטה לכך היא כוח משתנה בממד אחד. הגרף מתאר את ערכו של רכיב ה – x של הכוח הפועל. הוא תלוי במיקום הגוף, והוא פועל כאשר הגוף נמצא בין xi ל – xf.

15. כיון שאיננו קבוע, אנו מחלקים את המסלול לקטעים קטנים x שלאורכם הכוח כמעט קבוע, וערכו לאורך הקטע j, ניתן ע"י Fj,avg. עבודת הכוח לאורך אותו קטע תהיה Wj = Fj,avg xj וזהו שטח המלבן j.

16. העבודה שעושה הגוף היא סכום העבודות לאורך הקטעים השונים. W = Wj = Fj,avg xj זהו שטח כל המלבנים והוא שווה בקירוב לשטח שמתחת לעקומה. נוכל כעת להקטין את הגודל של כל קטע ושטח המלבנים ילך ויתקרב לשטח מתחת לעקומה. W = lim Fj,avg xj =  F(x)dx xj o

17. קפיץ כדי למתוח או לכווץ קפיץ צריך להפעיל כוח. ככל שהקפיץ מתוח או מכווץ יותר צריך להפעיל יותר כוח להמשך הפעולה. הקפיץ מפעיל כוח מחזיר, למצב שיווי המשקל והביטוי המתמטי ניתן ע"י F = - kx כאשר x הוא מידת המתיחות או הכיווץ של הקפיץ ביחס למצב שווי המשקל המוגדר בתור x = 0. הכוח תמיד מנוגד להעתק. k הוא "קבוע הכוח" של הקפיץ והוא נותן את גודל הכוח הדרוש למתיחת או כיווץ הקפיץ במטר אחד מהנקודה x=0.

18. העבודה שעושה הקפיץ בשינוי אורכו מ -xi עד xjתהיה xf Ws =  (-kx)dx = (½)kxi2 – (½)kxf2 xi אם ההתארכות הסופית קרובה יותר לנקודת שיווי המשקל מההתארכות ההתחלתית אזי העבודה חיובית. אם xi = 0 העבודה תהיה Ws = - (½)kx2 אם פועל כוח חיצוני Fa על הקפיץ ואורך הקפיץ משתנה ב – x. במשך אותה פעולה הכוח החיצוני עושה עבודה W a. השינוי באנרגיה הקינטית יהיה K = Kf – Ki = Wa + Ws

19. ובהנחה שהאנרגיה הקינטית אינה משתנה Wa = -Ws דוגמה גוף מונח על משטח חסר חיכוך, וקשור לקצהו של קפיץ החופשי להתנדנד. כוח בן 4.9N דרוש להחזיק את הקפיץ במנוחה כאשר 12 mm x1 =. כמה עבודה עושה הקפיץ על הגוף אם הוא נמתח ממצב שווי משקל עד ל- .x2 = 17 mm k = - F/x1 = - (-4.9)/ 0.012 = 408 N/m Ws = -(½)kx22 = -(½) • 408 • 0.0172 = -0.059 J הגוף מוזז ל x3=12 mm. כמה עבודה עושה הקפיץ? Ws= (½)kxi2 – (½)kxf2 = 408 • (0.0172 – 0.0122 )/2 = 0.030 J

20. דוגמה גוף שמסתו 400 גרם נע במהירות v = 0.5 m/s, ודוחס קפיץ שקבוע הכוח שלו k = 750 N/m. בכמה מתכווץ הקפיץ כאשר הגוף נמצא במנוחה רגעית. Kf – Ki = Ws = -(½) kd2 0 – (½) mv2 = -(½) kd2 d = ± v(m/k)½ = ±0.0115 m

21. משפט העבודה – אנרגיה קינטית עבור כוח משתנה xf xf W =  F(x)dx =  ma dx xixi ma dx = m(dv/dt)dx dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v(dv/dx) ma dx = m(dv/dx)v dx = mv dv vf W = mv dv = (½)mvf2 – (½)mvi2 vi W = Kf – Ki כלומר בדיוק אותה תוצאה כמו במקרה של כוח קבוע.

22. ניתוח תלת ממדי של העבודה F = Fxi + Fyj + Fzk dr = dx i + dy j + dz k dW = F•dr = Fxdx + Fydy + Fzdz rf xf yf zf W =F•dr = Fxdx + Fydy + Fzdz ri xi yi zi דוגמה: כוח של F = 3x2i + 4j פועל על חלקיק ומשנה רק את האנרגיה הקינטית שלו. כמה עבודה עושה הכוח כשהחלקיק נע מנקודה ( 2 , 3 ) לנקודה ( 3 , 0 ). 30 W = 3x2dx + 4dy = 7 J 2 3

23. הספק לעתים חשוב לדעת את קצב עשיית העבודה. עלייה וריצה לגובה של 3 קומות דורשות מגופנו את אותה עבודה אבל הריצה הרבה יותר קשה. ההספק מוגדר כקצב עשיית העבודה. P = d(Work)/dt [P] = J/s = watt = W חשמל משלמים לפי קילוואט שעה 1 kW • hour = 1000 watt • 3600 s = 3.6x106 J בכמות העבודה הזאת אפשר להרים משקל של טון לגובה של 360 מטר! Work = 1000 • 10 • 360 = 3.6x106 J

24. אם כוח קבוע (בזמן) F פועל על גוף, והגוף נע במהירות קבועה (קטר מושך רכבת). P = dW /dt =F cos  dx/dt = F cos  v = F•v ואם המהירות משתנה הביטוי לעיל נותן את ההספק הרגעי.