統計の基礎第 12 回推定 7 月８日

統計の基礎第12回推定7月８日

復習Ｚ値 • 確率変数(X)と平均(m)の偏差が標準偏差(ｓ)の何倍かに対応する。 • 正規分布では、Ｚ値により(累積)確率分布が確定する。　⇒確率変数と確率(右側、左側、中間など)の　対応を計算できる。

Ｚ値表　　N(0,1^2)での　x=0から右側の面積 • Excel 左端からの面積 =NORM.S.DIST(Z,型) =NORM.S.INV(Pr) =NORM.DIST(x,μ,σ,型) =NORM.INV(Pr,μ,σ)

補足　　　　　外側の確率がα/2となるＺ値の意味　例　Ｚ0.025=-1.960 Ｚ0.975 =1.960

中心極限定理 • 標本平均の分布

【目標】 • 母集団の平均値等の推定について、考え方を理解するとともに、実際に算出できるようになる。

【構成】 • １．点推定２．区間推定(1) 母分散が既知の場合(2) 母分散が未知の場合・不偏分散・ｔ分布の利用(3) 信頼度３．比率(ベルヌーイ試行)での推定(1) 比率の平均と分散(2) 平均・標準偏差の推定４．収集標本数の決定参考．母分散の推定

１．点推定 • 標本データから母集団の平均(母平均;μ)を推定する。 • 標本平均(ｍ)とする。　　　大数の法則 • ただし、確率(実験確率)的に出現したものに過ぎず、その信頼性は明らかでない。

２．区間推定 • 一定の信頼度を設定し、それに対応する信頼区間を推定する。　　　○○％程度妥当である

(1) 母分散が既知の場合 • 標本平均は正規分布(Ｎ(m,σ2/n))となることを利用し　信頼度(例えば95％など)に相当するの中心の幅を区間とする。

標準正規分布で区間の端点での累積確率(例えば0.025あるいは0.975)に相当するＺ値(標準偏差に対する比率)標準正規分布で区間の端点での累積確率(例えば0.025あるいは0.975)に相当するＺ値(標準偏差に対する比率) • Excelでは"=NORMS.INV(累積確率)"

正規分布 • 平均と標準偏差で分布型が決定

(2) 母分散が未知の場合・不偏分散 • 偏差平方和をｎ－１で除した分散 • μでなくmを利用するためずれが生じる

・ｔ分布の利用 • 自由度ｎ－１のｔ分布となることを利用し同様に求める。 T(n-1)は、自由度n-1のt分布の意味 Excelでは"=T.INV(累積確率,自由度)"

自由度 • 変数のうち独立に選べるものの数 • 例えば合計があると、n-1となる

ｔ分布 • 　小標本から平均を推定するための分布

(3) 信頼度 • 信頼度を決める積極的根拠はなく、各分野で習慣的に用いられる水準がある　　よく用いられる信頼度　　　　学術研究　90％、95％、99％　　　　　製造品の品質管理では　9がさらに続くことも　　　　マーケティングの判断では、もっと低くいことも ※ヒッグス粒子の確認　シックス９・・・５σ

90％、95％、99％　→　1.645、1.960、2.575 (両側に危険域) • 1、2、3　→　34.13％、47.72％、49.87％ • 課題によっては、両側でなく、片側で判断することもある。

３．比率(ベルヌーイ試行)での推定(1) 比率の平均と分散 • 　成功　x=1，Pr(x)=p 不成功x=0,Pr(x)=q=1-p • 平均の期待値 1*p+0*q=p • 分散の期待値 (1-p)^2*p+(0-p)^2*q=qqp+ppq=pq(q+p)=pq

(2) 平均・標準偏差の推定 • 点推定　　p • 区間推定

区間の表現 • P±α％

４．収集標本数の決定 • 母集団標準偏差が既知で、一定の信頼度で一定幅の信頼区間を得るために必要な標本数を求める。 • 信頼区間の幅をｋ倍にするには、標本数をｋ^2倍にする必要がある。 • 実際の標本数の決定は、求められる信頼度の程度と調査費用・時間との関係で決める。

参考．母分散の推定 • 点推定 • 区間推定　　は、自由度n-1のχ二乗分布で、右側累積確率α/2となる位置

χ２分布 • 分散等に関する分布

【提出課題】 • 　サンプル数と信頼区間の関係を描く。　　　　→区間推計

【時間末レポート】 • サンプル数2100人、賛成比率0.3、信頼度95％で、母集団比率を区間推計せよ。

統計の基礎 第 12 回 推定 7 月８日