第三章  一维油藏的数值模拟方法
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第三章 一维油藏的数值模拟方法. 一维油水两相水驱油的数值模拟方法 一维径向单相流的数值模拟方法. 第一节 一维油水两相水驱油的数值模拟方法. 一、数学模型 1. 假设条件 1) 符合达西渗流定律 2) 等温渗流 3) 油、水两相及油水两组分 4) 一维流动 5) 流体和岩石不可压缩; 6) 油藏岩石性质( k,  ) 沿一维 非均质 7) 不考虑毛管力和重力. 2. 组分质量守恒方程 由组分质量守恒方程的一般式逐步简化到上述假设条件。 1) 三维油气水三相 N 个组分 2) 三维油水两相两组分.

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第三章 一维油藏的数值模拟方法

  • 一维油水两相水驱油的数值模拟方法

  • 一维径向单相流的数值模拟方法


第一节 一维油水两相水驱油的数值模拟方法

  • 一、数学模型

  • 1. 假设条件

  • 1) 符合达西渗流定律

  • 2) 等温渗流

  • 3) 油、水两相及油水两组分

  • 4) 一维流动

  • 5) 流体和岩石不可压缩;

  • 6) 油藏岩石性质(k,)沿一维非均质

  • 7) 不考虑毛管力和重力


  • 2. 组分质量守恒方程

  • 由组分质量守恒方程的一般式逐步简化到上述假设条件。

  • 1) 三维油气水三相N个组分

  • 2) 三维油水两相两组分


  • 3) 一维油水两相两组分

  • 4) 若不考虑流体和岩石压缩性

  • 式中 为标准状况下流体的密度。

  • 令 ,将质量流量转变为体积流量。

  • 若不考虑油水两相之间的毛管力


(1)

  • 水组分

  • 油组分

  • 3. 辅助方程

  • 4. 未知数和方程数

(2)

(3)


L

油+水

0

  • 5. 初始条件和边界条件

  • 在岩心中饱和油和束缚水,然后在左端注入水,右端

  • 先出油,后出油和水,要求岩心中各点压力、饱和度随

  • 时间的变化。需知初始条件和边界条件。

  • I.C

  • B.C


  • 顺序求解(Sequential),先求P,再求S

  • 隐式压力显式饱和度 IMPES

  • 即Implicit Pressure Explicit Saturation

  • 隐式压力隐式饱和度 IMPIMS

  • 即Implicit Pressure Implicit Saturation

  • 所谓隐式,即用一个线性代数方程组求解一组未知函数;

  • 所谓显式,即用一个线性代数方程求解一个未知数。

  • 联立求解(Simultaneous),P、S同时求解

  • 半隐式(Semi-Implicit)

  • 全隐式(Fully-Implicit)


  • 2) 方程非线性系数的显式和隐式处理

  • Krl随Sl而变化,而Sl又是未知函数,随时间变化,因此Kr有以下几种处理:

    • 显式,即Sl取n时刻,为已知值。

    • 半隐式,即krl随时间而变化,用Taylor级数展开, 取前二项。

    • 隐式,即Sl取n+1时刻,因Sln+1为未知,采用迭代法,常用的为Newton-Raphson方法。


i-1

i

i+1

x

  • 3) 方程(1)(2)非线性系数项取上游权

流动由i-1到i

流动由i到i-1


  • 2、隐式求压力的方程

  • 为消除Sl项,(1)+(2)可得

  • 则 (4)


n-1 n

i=1 2 3

x

  • 对(4)式进行离散化,采用块中心网格,且网格大

  • 小相等,均为x

  • 采用二阶隐式差分格式后得:

(5)


  • 5)式可以分以下三种情况来讨论

  • 1)对于第2至n-1个网格,因无注入,也无采出 qv=0,只有网格间的流动,式(5)可写为:

  • 其中系数项 采用显式处理,并采用上游权原则:

  • 即 (6)


  • 2)对于第一个网格i=1, 注入为qv,(5)式中第二项,由于没有流体从0流到1网格,因此无此项,第一项系数采用上游权显示处理。

  • 两边除以 ,并令 Qv=qvA△x得:

(7)


  • 3 )对于第n个网格,i=n,产出为qv,(5)式中第一项,由于没有流体从n流到n+1网格,因此无此项,第二项系数采用上游权显式处理:

  • 两端除以A△x,并令Qv=qvA△x得:

  • (6)、(7)、(8)构成了i从1到n的线性代数方程组。

(8)


0

  • 矩阵方程如下:

  • 系数矩阵为三对角矩阵,可用追赶法求解i=1,2,,n 的 的值。

0


  • 3. 显式求饱和度方程

  • 方程(1)采用二阶隐式差分后,系数项 采用显式处理和上游权原则,可得

  • (9)式中Pn+1已从隐式压力方法求解得到,而求Sw可分以下三种情况:

(9)


  • 1)i=2,3, ,n-1 ,qv=0

  • (9)式可写为:

(10)


  • 2) i=1 ,

  • (9)式中只有第一项,可得:

  • 两端乘以 ,并令Qv=qvA△x

(11)


n-1

n

  • 3) i=n,

  • 因为

  • (9)式中只有第二项,可得:

  • 两端乘以Ax,并令

  • 所以

  • 利用(10)、(11)、(12)式即可求得 i=1,2,,n的

  • 的值。

(12)


第二节 一维径向单相流的数值模拟方法

  • 一、数学模型

  • 1. 假设条件

  • 1) 符合达西渗流定律

  • 2)等温渗流

  • 3) 单相流体

  • 4) 一维径向向井流动

  • 5)岩石不可压缩,流体微可压缩

  • 6) 油藏岩石性质(k,)沿径向不发生变化

  • 7) 不考虑重力


  • 2. 质量守恒方程

  • 由三维柱坐标质量守恒方程逐步简化到上述假设条件

  • 1) 三维单相非均质油藏可压缩流体和岩石

  • 2) 三维单相均质油藏可压缩流体和岩石

  • k=常数 =常数

  • 3) 一维单相均质油藏可压缩流体和岩石

  • 4) 一维单相均质油藏微可压缩流体,不可压缩岩石

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)


re

rw

re

rw

  • 3、初始条件和边界条件

  • 假设园形边界中心一口井,单相流体向井底流动,

  • 求在各种内外边界条件下的压力分布。

  • I.C

  • B.C 1) 外边界

  • 定压

  • 封闭


  • 2) 内边界

  • 定产

  • 定流压

  • 可求以下问题:

  • 1. 定压外边界条件下:

  • 1) 内边界定产,求不同时间沿径向压力分布和井底流压。

  • 2) 内边界定流压,求不同时间沿径向压力分布和产量。

  • 2.封闭外边界条件下

  • 1) 内边界定产,求不同时间沿径向压力分布和井底流压。

  • 2) 内边界定流压,求不同时间沿径向压力分布和产量。


二、差分方程组的建立

  • 1. 预备知识—不等距径向网格的建立

  • 必要性

  • 当单相流体向井底流动时,由于外边界附近,流动截面大,流速小,压力变化也小,因此网格尺寸要大;而在井底附近,流动截面小,流速大,压力变化也大,因此网格尺寸要小。因此沿径向可以采用不等距网格。

  • 等比级数变化


rw

r1

r2

r3

rn

x0

x1

x2

x3

xn

x

x

x

  • 将不等距网格r坐标转换成等距网格x坐标,即将等比级数取对数。


  • r与x的关系

  • 同时


  • 2. 将(4)式径向坐标r转换为x坐标

  • 左端项

  • 左端项=右端项

(6)


7)

  • 3. 对(6)式采用隐式差分格式,x方向为等距离步长△x

(8)

(9)


rw

r1

r2

r3

rn

i=0

1

2

3

n

  • 为了确定(9)式中的i、dij必须先计算Mi,因此必

  • 须确定x。

  • 若已知re、rw及确定的网格数n

所以


三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组

  • 1. 外边界定压,内边界定产

  • 要求从i=0至n个网格的压力线性代数方程组

  • i=n时,P=Pe 就不用求了。现只要求i=0至n-1个网格的线性代数方程组。

  • i=n-1

  • 利用(9)式可得

(10)


  • i三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组=0

  • 可由内边界条件来定

(11)


  • i三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组=1,2,……,n-2,可直接利用(9)式求得线性代数方程组。

  • 综合(9)、(10)、(11)式可得系数矩阵方程如下:

0

0


  • 2. 三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组外边界定压,内边界定流压

  • 由(11)式得

  • 由于Pwf已知,而d0中的Q为未知,得

  • i=n时

  • i=n-1时

同(10)式

  • i=0时

(12)


  • i三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组=1 时由(9)式可知

  • 上式中Pwf用(12)式代入

  • i=2,3,……,n-1,可利用(9)式直接求得线性代数方程组

  • 综合(9)、(10)、(12)、(13)式可得系数矩阵方程如下:

(13)

0

0

求得d0后,可求得


  • 3. 三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组外边界封闭,内边界定产

  • i=0

  • 同方程(11)

  • i=n

  • 可由外边界条件来定

  • 代入(9)式

(14)


  • i三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组=1,2,……,n-1,可直接利用(9)式求得线性代数方程组

  • 综合(9)、(11)、(14)式可得系数矩阵方程如下:

0

0


  • 4. 三、不同内外边界条件下的压力线性代数方程组外边界封闭,内边界定流压

  • i=n

  • 同方程(14)

  • i=2,3,……,n-1,可直接利用方程(9)来求得线性代数方程组

  • 综合(9)、(12)、(13)、(14)式可得系数矩阵方程如下:

  • 求得d0后,可求得

  • i=0

  • 同方程(12)

  • i=1

  • 同方程(13)

0

0


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